Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1. giản mà thầy giao cho mang tính bắt buộc và hời hợt, khi gặp phải một bài toán khó các em bỡ ngỡ và lúng túng không biết cách giải nên đành cho qua. Bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập còn đơn giản, chưa sâu, chưa đáp ứng đầy đủ yêu cầu của dạng toán này, tuy nhiên học sinh cũng chưa hệ thống được phương pháp giải. Việc rèn luyện tư duy toán học không phải chỉ qua những bài toán đơn giản dễ nhận biết mà còn phải rèn luyện qua những bài toán khó để thấy được cái hay, cái sáng tạo, thông minh trong toán học, từ đó có tình cảm với bộ môn, yêu thích môn Toán hơn. Khi dạy phần này, nhất là đối với học sinh khá, giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn, vì thế mà nội dung giảng dạy chưa thống nhất. 2.2: Những giải pháp cũ thường thực hiện Khi giảng dạy về chuyên đề này tôi thấy giáo viên bộ môn đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp: + Phương pháp giảng giải + Phương pháp vấn đáp + Phương pháp hoạt động nhóm + Phương pháp đặt và giải quyết vấn đề Những phương pháp trên mặc dù đã được giáo viên đưa vào giảng dạy, tuy nhiên ở một số thầy cô việc áp dụng chưa thật linh hoạt, giáo viên vẫn là trung tâm mà chưa chú ý đến người học. Học sinh tiếp thu bài thụ động, chưa tích cực tham gia khám phá kiến thức mà chỉ chép bài theo hướng dẫn của giáo viên. Nhiều em học sinh tâm sự rằng dạng bài chứng minh bất đẳng thức khó quá, làm bài tập không biết bắt đầu từ đâu và dựa vào yếu tố nào, khi học cảm thấy chán vì khó hiểu. Chính vì vậy mà học sinh không thích thú, chất lượng khảo sát về nội dung này đầu học kỳ 2 năm học: 2014- 205 như sau: 5
2. a b; c > 0 a.c > b.c *) Tính chất 3 (Cùng nhân): a b; c d a+c > b+d *) Tính chất 5 (Trừ vế cho vế của hai bất đẳng thức ngược chiều): a b; c b-d *) Tính chất 6 (Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều): a b 0; c > d 0 a.c > b.d *) Tính chất 7 (Nâng lên lũy thừa nguyên dương hai vế của bất đẳng thức): +) Đối với phép lũy thừa bậc chẵn: a b 0 an > bn hay a b an > bn ( n Z , n chẵn ) +) Đối với phép lũy thừa bậc lẻ: a b an > bn ( n Z , n lẻ ) *) Tính chất 8 (Khai căn hai vế): +) Đối với phép khai căn bậc chẵn: a b 0 a b ( Khai phương của hai vế không âm ) Tổng quát: a b 0 2n a 2n b ( n Z ) +) Đối với phép khai căn bậc lẻ: a b 3 a > 3 b Tổng quát: a b 2n 1 a > 2n 1 b ( n Z ) *) Tính chất 9 (Chia vế cho vế của hai bất đẳng thức ngược chiều): a b a b 0 ; 0 0 a b 3.1.3. Các hằng bất đẳng thức và một số bất đẳng thức kinh điển: *) a2 0 ; a2 0; a 0 . 7
3. ➢ Bất đẳng thức Chebysev: Một vài dạng cơ bản của bất đẳng thức chebysev: a) Với a ≥ b ≥ c và x ≥ y ≥ z ta có: +) (a+ b+ c)(x+ y+ z) ≥ 3(az+ by+ cx) +) 3(ax+ by+ cz) ≥ (a+ b+ c)(x+ y+ z) b) Với a1 a2 an và b1 b2 bn ta có: +) a1 a2 an . b1 b2 bn n a1bn a2bn 1 anb1 +) n a1b1 a2b2 anbn a1 a2 an b1 b2 bn Bất đẳng thức Beruoulli: Với mọi x 0 +) Khi 0 n 1, ta có: x n n 1 nx +) Khi n 0 hoặc n 1, ta có: x n n 1 nx Chú ý: Cần tích lũy thêm một số hằng bất đẳng thức khác để khi giải toán sử dụng chúng như những bổ đề. 1 1 4 +) a 0 ; b 0 a b a b 1 4 +) 2 a 0 ; b 0 ab a b a b +) 2 a.b 0 b a 1 1 1 9 +) a 0 ; b 0 ; c > 0 a b c a b c 1 4 +) 3 a 0 ; b 0 ; c > 0 abc a b c +) a2 c2 . b2 c2 a2 d 2 . b2 d 2 a b . c d 2 2 +) a2 b2 c2 d2 a c b d a ; b ; c ; d 0 Dấu bằng xảy ra khi ad = bc n a b an bn +) a 0 ; b 0 ; n N 2 2 a2 b2 c2 c b a +) b2 c2 a2 b a c a2 b2 c2 a b c +) b c c a a b 2 9
4. 2 2 2 2 m m m m n p q 1 0 (luôn đúng) 2 2 2 2 m n 0 m 2 n m 2 p 0 m p m 2 Dấu bằng xảy ra khi 2 m 2 q 0 m n p q 1 2 q m 2 1 0 m 2 2 Bình luận cho phương pháp 1: ➢ Để chứng minh bất đẳng thức, chẳng hạn A > B hay A B A – B > 0 B – A 0 Đó là điều kiện tương đương như định nghĩa. *) Phương pháp 2: Dùng các phép biến đổi tương đương M 1 1 Ví dụ 1: Cho a > 0; b > 0; a + b =1. Chứng minh: 1 1 9 a b Lời giải: 1 1 a 1 b 1 1 1 9  9 ( Quy đồng làm phép cộng ) a b a b ab a b 1 9ab ( Nhân cả hai vế với số dương ab để khử mẫu) a b 1 8ab ( Chuyển vế đổi dấu số hạng ) 1 4ab 2 a b 4ab ( Thay 1 = a + b ) 2 a b 0 ( Luôn đúng ) 1 1 Vậy 1 1 9 với a > 0 ; b > 0 ; a + b =1 a b 1 Ví dụ 2: Cho a + b > 1. Chứng minh rằng: a4 b4 8 Lời giải: Ta có : a + b > 1 > 0. Bình phương hai vế không âm ta được: 11
5. Ta có: a2 b2 2 (1) Ta lại có: 2ab a2 b2 2 hay 2ab 2 (2) Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều (1) và (2) ta được: 2 a2 2ab b2 4 a b 4 a b 2 ( Khai phương hai vế không âm ) 2 a b 2 Vậy a b 2 với a2 b2 2 Bình luận cho phương pháp 2: ➢ Trong phương pháp biến đổi tương đương ta sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi . ➢ Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng ➢ thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng (Nếu A 0 +) m > n am an với m ; n Z ; a 1 Cần chỉ rõ các điều kiện đó khi biến đổi tương đương. Ở ví dụ 3 ta đã vận dụng phương pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức nhưng khi trình bày lời giải ta đã trình bày theo kiểu “Phân tích” nghĩa là ta phải xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh biến đổi tương tương thành bất đẳng thức đã đúng. Đi từ kết luận Đến điều đã biết Ở ví dụ 4 ta đã vận dụng phương pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức nhưng khi trình bày lời giải ta đã trình bày theo kiểu “Tổng hợp” nghĩa là ta phải xuất phát từ bất đẳng thức đã biết biến đổi tương tương thành bất đẳng thức cần chứng minh. Điều đã biết Điều cần chứng minh *) Phương pháp 3: Phương pháp phản chứng Ví dụ 1: Cho 4 số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ac 2.(b+d). Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a 2 4b , c2 4d Lời giải: Giả sử 2 bất đẳng thức: a 2 4b , c2 4d đều đúng khi đó cộng các vế ta được a2 c2 4(b d) (1) 13
6. ➢ Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p q” Muốn chứng minh p q (với p : giả thiết đúng, q : kết luận đúng) phép chứng minh được thực hiên như sau: Giả sử không có q ( hoặc q sai) suy ra điều vô lý hoặc p sai. Vậy phải có q (hay q đúng) Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó . Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau : A - Dùng mệnh đề phản đảo : “P Q” B – Phủ định rôi suy trái giả thiết C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau E – Phủ định rồi suy ra kết luận : *) Phương pháp 4: Phương pháp quy nạp 1 1 1 1 Ví dụ 1: Chứng minh rằng : 2 n N;n 1 (1) 12 22 n2 n Lời giải: 1 1 Với n =2 ta có 1 2 (đúng). Vậy BĐT (1) đúng với n =2 4 2 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 1 1 1 1 1 Thật vậy khi n =k+1 thì (1) 2 12 22 k 2 (k 1)2 k 1 Theo giả thiết quy nạp 1 1 1 1 1 1 1 2 2 12 22 k 2 (k 1)2 k k 1 2 k 1 1 1 1 1 1 12 (k 1)2 k 1 k 1 2 k k 1 1 1 k(k 2) (k 1) 2 k2+2k 0. Chứng minh rằng (1) 2 2 Lời giải: Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 k 1 a b ak 1 bk 1 Thật vậy với n = k+1 ta có (1) 2 2 k a b a b ak 1 bk 1 . (2) 2 2 2 ak bk a b ak 1 abk akb bk 1 ak 1 bk 1 Vế trái (2) . 2 2 4 2 15
7. ➢ Cách chứng minh quy nạp: +) Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = 1 hoặc n = n0 là giá trị tự nhiên bé nhất thừa nhận được của n. +) Thừa nhận bất đẳng thức đúng với n = k ( k > 1 hoặc k > n 0 )rồi suy ra bất đẳng thức đúng với n = k +1 *) Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức kinh điển hoặc sử dụng một số hằng bất đẳng thức đã biết để làm cơ sở (làm bổ đề ) trong khi chứng minh: a2 b2 c2 a b c Ví dụ 1: Cho a; b; c > 0. Chứng minh rằng: b c c a a b 2 Lời giải: Cách 1: Sử dụng cô si: a2 b c a2 b c a a2 b c 2  2  a a b c 4 b c 4 2 b c 4 b2 c a b2 c a b b2 c a 2  2  b b c a 4 c a 4 2 c a 4 c2 a b c2 a b c c2 a b 2  2  c c a b 4 a b 4 2 a b 4 a2 b2 c2 a b c a b c a b c b c c a a b 2 2 a2 b2 c2 a b c Vậy với a ; b ; c > 0 b c c a a b 2 Cách 2: Dùng Bunhiacopski: 2 2 2 a b c 2 2 2  b c a c a b b c a c a b 2 a b c  b c  a c  a b b c a c a b 2 2 2 a b c 2  2 a b c a b c b c a c a b a2 b2 c2 a b c b c a c a b 2 a2 b2 c2 a b c Vậy với a ; b ; c > 0 b c c a a b 2 17
8. a2 c2 b2 c2 a2 d 2 b2 d 2 a b c d Lời gải: Áp dụng Bunhiakopski, ta có: 2 a2 c2 c2 b2 ac cb a2 c2 c2 b2 ac cb (1) 2 a2 d 2 d 2 b2 ad db a2 d 2 d 2 b2 ad db (2) Từ (1) và (2) suy ra: a2 c2 b2 c2 a2 d 2 b2 d 2 ac cb ad db a2 c2 b2 c2 a2 d 2 b2 d 2 a b c d Bình luận cho phương pháp 5: ➢ Khi chứng minh bất đẳng thức nhiều khi không thể sử dụng được cách chứng minh theo định nghĩa hay biến đổi tương đương thông thường hay sử dụng quy nạp, phản chứng. Khi đó ta có thể nghĩ đến phương pháp chứng minh dựa vào bất đẳng thức kinh điển hay một số hằng bất đẳng thức khác để làm bổ đề cho việc chứng minh. ➢ Việc vận dụng bất đẳng thức nào để làm bổ đề còn tùy thuộc vào việc nhìn nhận từ đầu bài. *) Phương pháp 6: Phương pháp làm trội, làm giảm: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với n N ; n 2, ta có: 1 1 1 2 n 3  2 n 2 2 3 n Lời giải: 1 1 1 Đặt A  2 3 n a) Ta phải chứng minh A 2 n 3 1 2 2 Ta có: 2 k 1 k k N ; k 2 k k k k 1 k Do đó: A 2  n 1 n  4 3 3 2 A 2  n 1 2 2 n 1 2 2 2 n 1 3 19
9. 1 1 1 Đặt A 1  2 3 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1   n 1  n 2 3 4 5 6 7 8 9 15 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 2  3   n 1  n 2 3 2 7 2 15 2 2 1 1 1 1 1 A 1  2  4 8   2n 1 2 22 23 2n 1 A 1 1  1 ( cã n thõa sè 1 ) A n 1 1 1 Vậy 1  n với n N ; n 2 2 3 2n 1 Bình luận cho phương pháp 6: ➢ Khi chứng minh bất đẳng thức, 5 phương pháp đầu tiên có thể không sử dụng được, nhiều khi ta phải vận dụng phương pháp làm trội hay làm giảm để chứng minh bất đẳng thức. ➢ Khi làm trội một biểu thức có khi ta làm trội, làm giảm cả biểu thức, có khi ta phải chia biểu thức thành nhiều nhóm rồi làm trội trong từng nhóm.Việc làm trội hay làm giảm luôn hướng tới mục tiêu so sánh bắc cầu hay rút gọn được biểu thức mới rồi so sánh tiếp. ➢ Cần biết được sự tăng giảm khi làm trội, làm giảm biểu thức dạng đa thức, biểu thức dạng phân thức, biểu thức dạng căn thức +) Với phân thức có tử và mẫu dương: - Phân thức đó càng tăng khi tăng tử, giữ nguyên hay giảm mẫu. - Phân thức đó càng giảm khi tử giảm, giữ nguyên hay tăng mẫu. +) Với biểu thức chứa dấu căn : - Khi làm tăng giá trị của biểu thức trong dấu căn thì biểu thức chứa căn đó cũng tăng theo. - Khi làm giảm giá trị của biểu thức trong dấu căn nhưng vẫn không âm thì biểu thức chứa căn đó cũng giảm theo. *) Phương pháp 7: Phương pháp đồ thị và hình học: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: với a, b, c, d > 0 ta có: 2 2 a2 b2 c2 d 2 a c b d Lời giải: 21
10. H 2 2 2 2 AB = a c ; BC = b c ; B AD = a2 d 2 ; CD = b2 d 2 Ta có: AC = a b ; BD = c+d A C Ta sẽ chứng minh: AB.BC + CD.AD AC.BD A C AB.BC AB.CH Thật vậy: AB.BC 2.S ABC D Tương tự ta có: AD.CD AD.CK AD.CD 2.S ACD Suy ra : AB.BC + AD.CD 2.S ABCD AC.BD K Suy ra: a2 c2 b2 c2 a2 d 2 b2 d 2 a b c d Vậy a2 c2 b2 c2 a2 d 2 b2 d 2 a b c d (với a,b,c,d > 0) Chú ý: Trong tứ giác có hai đường chéo vuông góc, tổng của tích hai cạnh liên tiếp này với hai cạnh liên tiếp còn lại không nhỏ hơn tích hai đường chéo. Bình luận cho phương pháp 7: ➢ Khi chứng minh bất đẳng thức nhiều khi không vận dụng được các phương pháp đại số hoặc vận dụng được nhưng lời giải phức tạp, song bên cạnh đó ta có thể vận dụng phương pháp đồ thị và hình học để chứng minh làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn. *) Phương pháp 8: Phương pháp tam thức bậc hai: ➢ Định lí về dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c ( a 0 ). Ta có: b2 4ac +) Nếu 0 thì a. f x 0 2 b +) Nếu 0 thì f x a. x 0 2a +) Nếu 0 thì f x a. x x1 x x2 Trong trường hợp này ta có bảng xét dấu của f x như sau: x x1 x2 f x a. f x 0 0 a. f x 0 0 a. f x 0 ( Ngoài cùng ) ( Trong trái ) ( Ngoài cùng ) 23
11. Lời giải: x 1 x 2 x 3 x 4 1 x 1 x 2 x 3 x 4 1 0 . Đặt t = x2 5x 5 . Ta có: x2 5x 4 x2 5x 6 1 0 t 1 t 1 1 0 t2 1 1 0 t2 0 ( Luôn đúng ) Vậy x 1 x 2 x 3 x 4 1 a b c 3 Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1) b c c a a b 2 Lời giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= y z x ; b = z x y ; c = x y z 2 2 2 y z x z x y x y z 3 Ta có (1) 2x 2y 2z 2 y z x z x y y x z x z y 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 6 x x y y z z x y x z y z y x z x z y Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( 2; 2 ; 2 ) x y x z y z Suy ra điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho a,b,c > 0 và a+b+c 0 x y z 1 1 1 1 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x y z 3. 3 xyz , và: 3. 3 x y z xyz 1 1 1 1 1 1 x y z . 9 . Mà x+y+z < 1. Vậy 9 (đpcm) x y z x y z Bình luận cho phương pháp 9: ➢ Khi chứng minh bất đẳng nhiều khi ta sử dụng phương pháp đặt biến phụ để đưa về bài toán chứng minh đơn giản hơn. ➢ Nhiều khi không thực hiện được việc đặt biến phụ ngay mà phải trải qua một số thao tác biến đổi song mới đặt được biến phụ. ➢ Việc chọn lựa biến phụ như thế nào cũng quan trọng, ta thường đạt biểu thức chứa căn làm biến phụ hoặc một biểu thức chứa biến có sự lặp lại làm biến phụ để trở về bất tam thức hay bất đơn giản hơn. ➢ Khi đặt biến phụ ta phải xét điều kiện cho biến mới trên cơ sở biểu thức 25
12. Bài 5: Chứng minh rằng: a) a2 b2 c2 a b c b) a2 b2 c2 d 2 a b c d Bài 6: Chứng minh rằng: 3 a) a2 b2 c2 a b c b) a4 b4 2 4ab 4 2 a b a b Bài 7: Chứng minh rằng: ab với a > b > 0 2 8b ❖ Bài tập vận dụng chứng minh bằng phản chứng: ( PP3 ) Bài 8: Cho ba số a, b, c khác nhau đôi một. Chứng minh rằng tồn tại một trong các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn a b c 2 Bài 9: Chứng minh rằng không có ba số dương a, b, c thỏa mãn cả ba bất đẳng 1 1 1 thức. a 2 ; b 2 ; c 2 b c a Bài 10: Chứng minh rằng không có các số a, b, c nào thỏa mãn cả ba bất đẳng thức. b c a ; c a b ; a b c ; Bài 11: Chứng minh rằng không có ba số dương a, b, c thỏa mãn cả ba bất đẳng thức. 4a 1 b 1 ; 4b 1 c 1 ; 4c 1 a 1 ; ❖ Bài tập vận dụng chứng minh bằng quy nap: ( PP4 ) Bài 12: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n ta có: n 1 1 2 3  n n 2 1 Bài 13: Cho 1 n  a ,a ,,a 0 thoả mãn a a  a . 1 2 n 1 2 n 2 1 Chứng minh rằng: (1 a )(1 a )(1 a ) 1 2 n 2 Bài 14: Cho 1 n  , ai ,bi R, i 1,2, ,n . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2  anbn ) (a1 a2  an )(b1 b2  bn ) Bài 15: Cho 1 n  , ai ,bi R, i 1,2, ,n . Chứng minh rằng: a a  a a 2 a 2  a 2 ( 1 2 n ) 2 1 2 n n n ❖ Bài tập vận dụng bất đẳng thức kinh điển hoặc hằng bất đẳng thức khác để làm bổ đề: ( PP5 ) Bài 16: Chứng minh rằng với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì ta có: a2 b2 c2 2 ab bc ca a b c Bài 17: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 2 b c a c a b 1 1 1 1 Bài 18: Chứng minh rằng:  1,999 .1999 2.1998 3.1997 1999.1 1 3 5 2n 1 1 Bài 19: Chứng minh rằng:    với n N,n 2 2 4 6 2n 3n 1 ❖ Bài tập vận dụng chứng minh theo cách làm trội, làm giảm: ( PP6 ) Bài 20: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n 2 ta có: 27
13. b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 1 1 1 1 1 Bài 3: Cho 0 a3 + b3 + c3 b) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) 0. Chứng minh rằng: (1 + a)2 + + 1≥ 16 a2 a Bài 15: Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b – 1 + b a – 1 ab Bài 16: Cho 3 số a, b, c không âm. Chứng minh rằng: 1 1 1 a) (a + b + c)( + + ) ≥ 9 a b c 1 1 1 9 b) (a + b + c)( + + ) ≥ a + b b + c c + a 2 Bài 17: Cho 4 số dương a, b, c, d . Chứng minh rằng: a) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d) 29
14. 2 a 2 b 2 c 1 1 1 + + + + a3 + b2 b3 + c2 c3 + a2 a2 b2 c2 Bài 33: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc a2 b2 c2 a + b + c ab bc ca b) + + ≥ ≥ + + b + c c + a a + b 2 a + b b + c c + a Bài 34: Cho ba số a, b, c tuỳ ý. Chứng minh rằng: a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc Bài 35: Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 a) + + ≥ 9 b) + + ≥ 9 a b c a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab Bài 36: Cho a, b, c > 0 thoả a + b + c k. Chứng minh rằng: )(1 + \f(1,b))(1 + \f(1,c)) ≥ (1 + \f(3,k))3 a2 b2 c2 a b c Bài 37: Cho ba số a, b, c 0. Chứng minh rằng: + + ≥ + + b2 c2 a2 b c a Bài 38: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a – b b – c c – a 1 a) ha + hb + hc ≥ 9r b) + + 8(ac + bd) Bài 40: Cho ax + by ≥ xy, x,y > 0. a2 Bài 41: Cho a3 > 36 và abc = 1. Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc + 3 a) Chứng minh rằng: f(x) > 0 x a2 b) Chứng minh rằng: + b2 + c2 > ab + bc + ca 3 4. Kết quả thu được sau khi áp dụng sáng kiến. Từ nhận thức của bản thân trên cơ sở thực tiễn chọn đề tài và các biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu của học sinh, tôi thấy đã đạt được một số kết quả cụ thể như sau: Với việc trình bày các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, cùng với các ví dụ minh họa ngay sau đó, sẽ giúp tăng cường bài giảng cho các thầy cô giáo, giúp các em học sinh dễ hiểu và biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo các phương pháp đã học để làm cơ sở cho các bài tập khác về chứng minh bất đẳng thức. 31