Đề thi thử học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Trường THCS Việt Hưng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Trường THCS Việt Hưng (Có đáp án)

1. Vậy H vừa là trực tâm vừa là trọng tâm nên tam giác ABC đều. 0,25 (x3 y3 ) (x2 y 2 ) Cho x 1, y 1. Chứng minh rằng : 8 (x 1)(y 1) (x3 y3 ) (x2 y 2 ) x3 x2 y3 y 2 x2 (x 1) y 2 (y 1) Đặt P (x 1)(y 1) (x 1)(y 1) (x 1)(y 1) 0,5 x2 y2 y 1 x 1 Vì x 1, y 1. x2 y 2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương và y 1 x 1 0,25 x 2 y2 x 2 y2 2xy Ta có: 2 (*) 5 y 1 x 1 (x 1)(y 1) (x 1)(y 1) Mặt khác áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương x 1 và 1, y 1 (2,0 và 1. 0,5 điểm) 1 x 1 x 1 y 1 y Ta có: x 1 (1) ; y 1 (2) . 2 2 2 2 Nhân (1) với (2) theo vế ta được : xy 2xy x 1. y 1 8 (*) . 0,25 4 (x 1)(y 1) Từ (*) và ( ) ta có điều phải chứng minh. 0,25 x 2 y2 y 1 x 1 Dấu “=” xảy ra x 1 1 x y 2 . 0,25 y 1 1 Hết