Đề thi thử học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Đợt 1 - Năm học 2014-2015 - Trường THCS Việt Hưng (Có đáp án)
Câu 4 (3,0 điểm):
1.Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm I nằm trong đường tròn khác điểm O. Qua I vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau.
a) Chứng minh rằng: Tổng IA² + IB² + IC² + ID² không phụ thuộc vị trí của điểm I trong đường tròn tâm O.
b) Trong trường hợp điểm I cố định khác điểm O, hãy xác định vị trí của hai dây AB, CD để diện tích tứ giác ACBD đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
10 trang
28/12/2023
4560
Bạn đang xem tài liệu "Đề thi thử học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Đợt 1 - Năm học 2014-2015 - Trường THCS Việt Hưng (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- de_thi_thu_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_9_dot_1_nam_hoc_2014_2.doc
Nội dung text: Đề thi thử học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Đợt 1 - Năm học 2014-2015 - Trường THCS Việt Hưng (Có đáp án)
- Áp dụng bất đẳng thức: x2 + y2 2xy ta có : AB2 + CD2 2. AB.CD. => S R2 - OI2 không đổi. Dấu bằng xáy ra khi và chỉ khi OE = OF 0,25 tứ giác OEIF là hình vuông. Khi đó CD và AB tạo với tia IO cố định một góc 450. Vậy diện tích lơn nhất của tứ giác ABCD bằng R2 - OI2 khi hai dây AB và CD tạo với tia IO cố định một góc bằng 450. 0,25 2 B M H C A N D E Gọi độ dài cạnh hình vuông ABCD là a. Trên tia đối của tia DC lấy điểm E sao cho DE = BM. 0,25 => ADE = ADM ( c.g.c) => AE = AM và B· AM E· AD . => E· AN 450 => AMN = AEN ( c.g.c) 0,25 0,25 Kẻ AH MN => AH = AD = a ( không đổi). Do điểm A cố định nên ta suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn ( A, a ) cố định. 0,25 5 Với x = 0 thì y = 1. 0,25 Xét x khác 0, ta có: 4y2 = ( 2x2 + x)2 + 3x2 + 4x + 4 > ( 2x2 + x)2 Mặt khác: 4y2 = (2x2 + x +2 )2 -5x2 < ( 2x2 + x +2)2 0,25 4y2 = ( 2x2 + x +1 )2 4(1 + x + x2 + x3 + x4 ) = ( 2x2 + x +1 )2 0,25
- PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ DỰ BỊ MÔN TOÁN - VÒNG 1 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 5 câu, 01 trang) C©u 1 ( 2.0 ®iÓm ) 3 3 1 1 a) Chøng minh ®¼ng thøc: 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG MÃ ĐỀ:Toán- V1-07 LỚP 9 MÔN TOÁN - VÒNG 1 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm câu, trang) Câ Ý Nội dung Điể u m 1 a . Đk : x 0; y 0; x.y 1. 0.5 ® 1 Quy đồng rút gọn ta được: A = 0.5 ® x.y b 1 1 1 1 0.5 ® 6 A . 9 x y x y 0.5 ®
- n n n n 11(9 64 ) 2(64 9 ) 0,25 11.k 2.(64 9).q (với p, q là số nguyên) 0,25 11.k 110.q11(đ.p.c.m) 0,25 b Với mọi m, đường thẳng (d) không đi qua gốc toạ độ O(0; 0). 0.5 ® m = 4, ta có đường thẳng y = 1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1). m = 3, ta có đường thẳng x = -1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2). 0.5 ® m 4, m 3 thì (d) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại: 1 1 A 0; và B ; 0 . m 3 m 4 Hạ OH vuông góc với AB, trong tam giác vuông AOB, ta có: 1 1 OA , OB m 3 m 4 2 1 1 1 2 2 2 7 1 1 2 2 2 m 3 m 4 2m 14m 25 2 m OH OA OB 2 2 2 . Suy ra OH2 2 OH 2 (3). Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là 2 , đạt được khi và chỉ khi m = 7 . 2 Kết luận: m = 7 . 2 E 0,25 E' M I T N' N M' Q O F' F c H¹ OT MN;OQ EF 0,25 0,25 0,25 0,25
