Tài liệu ôn tập Toán 9 - Bài: Phương pháp chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Nội dung text: Tài liệu ôn tập Toán 9 - Bài: Phương pháp chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

1. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG LÀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN A.Kiến thức cần nhớ. Các phương pháp chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn: 1 - Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. 2 - Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn. 3 - Nếu góc BAx có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm trong góc đó thì Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn . B. Bài tập. Bài 1: Cho hình thang ABCD( AB//CD ), Aˆ 900 và AB + CD = BC. Chứng minh rằng đường tròn đường kính AD tiếp xúc với AB, CD và BC A B H O E D C Hướng dẫn cách làm.
2. Gọi O là tâm đường tròn đường kính AD. BO cắt CD tại E. + OA  AB ,OD  DC suy ra AB,CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AD. + Chứng minh tam giác AOB bằng tam giác DOE ra suy ra OB = OE, AB=DE + Chứng minh tam giác BCE cân ( vì CE=CB) + Chứng minh OC là phân giác của góc BCD + Kẻ OH vuông góc với BC và có OD vuông góc với CD suy ra OD=OH Mà OD =R nên OH = R Suy ra BC tiếp xúc với (O) Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A tù trên cạnh BC lấy điểm M sao cho. Đường thẳng qua C song song với AM cắt BA tại N. a. Chứng minh : AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC b. Chứng minh : BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC. N A y B M z C Hướng dẫn cách làm.
3. a. Chứng minh BAM : BCA (g-g) BAM ACB (1) Trên nửa mặt phẳng bờ là AM không chứa điểm C vẽ Ay là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC Ta có yAˆM ACˆM 2 ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AM). Từ (1)và (2) yAˆM BAˆM tia AB  Ay Suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM. c. Chứng minh BAM BNC và BAM ACM Suy ra BNC ACM (1) Trên nửa mặt phẳng bờ là AC không chứa điểm N vẽ Cz là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC Ta có zCˆA ANˆC 2 ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cungAC). Từ (1)và (2) zCˆA ACˆM tia CM  Cz CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC hay CB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm (O) (AB<AC) . Lấy M là trung điểm của AC. Đường tròn tâm( O’) đường kính MC cắt đường tròn tâm (O) tại D và cắt BC tại N. a. Chứng minh 4 điểm A,M,N,B cùng nằm trên một đường tròn và AB.CN = AC.MN. b. Chứng minh 3 điểm B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của đường tròn đường (O’). c. AB cắt OO’ tại E. Chứng minh tứ giác BMOE là hình bình hành. d. Chứng minh rằng NM là phân giác của góc AND. A D M O' B O N C E
4. Hướng dẫn cách làm a. Chứng minh A thuộc đường tròn đường kính BM, N thuộc đường tròn đường kính BM. Suy ra 4 điểm A,M,N,B cùng nằm trên đường tròn đường kính BM + Chứng minh tam giác CAB đồng dạng với tam giác CNM suy ra AB AC MN CN Suy ra AB.CN= AC.MN b. Chứng minh BD  DCvàMD  DC suy ra 3 điểm B,M,D thẳng hàng. Chứng minh OM là đường trung bình của tam giác ACB suy ra OM//AB Mà AB  AC . Suy ra OM  AChayOM  MC Suy ra OM là tiếp tuyến của đường tròn(O’) b. Chứng minh OO’ là đường trung bình của tam giác CMB . Suy ra OO’// MB Hay OE// MB mà BE//OM( Vì OM//AB) . suy ra tứ giác BMOE là hình bình hành. c. Chứng minh ANM ABM , MND MCD và ABM MCD Suy ra ANM MND suy ra NM là phân giác của góc AND
5. Bài 4: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA. Qua C kẻ dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN. a. Chứng minh 4 điểm B,C,H,K cùng nằm trên cùng một đường tròn. b. Chứng minh AH.AK = R 2 . c. Chứng minh MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHK. K M x H A B C O N
6. Hướng dẫn cách làm a. Chứng minh :K thuộc đường tròn đường kính HB, C thuộc đường tròn đường kính HB Suy ra 4 điểm B,C,H,K cùng nằm trên đường tròn đường kính HB. AH AC b. Chứng minh tam giác ACH đồng dang với tam giác AKB AB AK R Suy ra AH.AK=AB.AC mà AB.AC= 2R. R 2 . Vậy AH.AK= R 2 2 c. Chứng minh : Suy ra MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHK. - Chưng minh AM AN MKˆA AMˆN (1) - Trên nửa mặt phẳng bờ là MH không chứa điểm K vẽ tia Mx là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKH - Ta có xMˆH MKˆA (2) ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dâyvà góc nội tiếp cùng chắn cung MH) - Từ (1) và (2) xMˆH AMˆH tia MA trùng tia Mx MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHK