Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Tứ Kỳ

Nội dung text: Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Tứ Kỳ

1. PA PB PC k PA 1, PB 2k, PC 3k PE 2 BP2 PE 2 8k 2 , mặt khác 1 2 3 tam giác ABP và tam giác CBE bằng nhau (c.g.c) APB CEP , PA = EC PE 2 EC 2 9k 2 PC 2 theo Định lí đảo Pythagoras PEC 900 APB CEP PEC PEB 1350 . Bài 5. Cho tứ giác ABCD thỏa mãn ABC ACD và BAC CAD , hình chiếu của A trên BC là và trên CD là Q. Chứng minh trực tâm tam giác APQ nằm trên BD. Lời giải. Theo giả thiết ABC ACD và BAC CAD A tam giác ABC và tam giác ACD đồng dạng (g.g), AP và BP CQ AQ là các đường cao tương ứng suy ra (1) PC QD B H D Từ P kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại H, Q P C BP BH (2), AQ vuông góc CD PH vuông góc AQ; BC HD BH CQ Từ (1) và (2) theo Định lí đảo Thales HD QD HQ song song BC, kết hợp giả thiết AP vuông góc BC HQ vuông góc với AP H là trực tâm tam giác APQ . Bài 6. A P E Q I J M B D C Page 5
2. CE là phân giác của tam giác ABC, AD, BH, CE đồng quy CO là đường phân giác của OD CD BC ADC (2) OA CA 2CA HC Từ D kẻ đường thẳng DK  AC BH // DK HK 2 OD HK CH BC 2 CA2 AB2 BC (3), từ (1), (2) và (3) OA HA 2HA CA2 AB2 BC 2 CA BC 2CA CA3 AB2CA CA2 BC AB2 BC BC3 (BC3 CA3 ) BC 2CA CA2 BC AB2CA AB2 BC 2BC.CA2 (BC CA)(BC 2 CA2 AB2 ) 2BC.CA2 (a b)(a2 b2 c2 ) 2ab2 . Bài 7 . Cho hình thang vuông ABCD, vuông tại A và B (BC < AD), đồng thời thỏa mãn AB AD CD BC AD . Chứng minh ADC 2ABE , trong đó E là trung điểm AD. Lời giải. Gọi M là trung điểm cạnh AB, kéo dài CM cắt AD tại N, theo giả thiết BC song song AD theo Định lý Thales B C AN = BC và MN = MC. M Mặt khác theo giả thiết CD BC AD N D A E DN DA AN DA BC DC tam giác DCN cân DM vuông góc với CN và CDM MDN . E là trung điểm AD EA = ED, kết hợp AB AD AM AE , tam giác ABE và ADE là hai tam giác vuông bằng nhau (c.g.c) ABE ADM ADC 2ABE . Bài 8 . Cho tam giác ABC, D là điểm trên cạnh BC, phân giác góc ADC cắt cạnh AC tại E, EB cắt AD tại P, CP cắt cạnh AB tại Q. Chứng minh góc DQ là phân giác góc ADB . Page 7
3. Lời giải. Tam giác ABE và tam giác BAD là hai tam A giác vuông bằng nhau BD = AE tam P K giác AHE và tam giác BHD bang nhau (c.g.c) B M D C HA = HB Tương tự KA = KC. E Theo giả thiết H là trực tâm tam giác ABM, H K là trực tâm tam giác ACM CK vuông góc với AM, và BH vuông góc với AM CK song song BH Áp dụng Định lý Thales PC KC KA PH HB AH AP song song với KC, CK vuông góc với AE AP vuông góc AE hay AP vuông góc AM PAM 900 tam giác MAP vuông tại A. Bài 11. Cho tam giác vuông ABC (vuông tại A), D là điểm trên AB, H là hình chiếu của D trên BC, và E trên AC sao cho DE = DH, gọi I là trung điểm của HE. Chứng minh BEH HCI . A D Lời giải. Theo giả thiết DH = DE tam giác DHE là E I tam giác cân, cũng từ giả thiết IH = IE DI vuông góc B C H K với HE. Gọi K là hình chiếu của E trên BC tam giác DHB và EKC là các tam giác vuông DH song song với EK, do tam giác ABC vuông tại A ABC ACB 900 Page 9
4. AN AD DN là phân giác góc ADC , D là trung điểm BD BD = DC NC DC AM AN theo Định lí Thales đảo MN song song với BC , mặt khác E, F là trung điểm MB NC AB và AC BC 2EF . BD AD BD BM BM MA AB BC 2EF BD AD 2 1 1 AD AD MA MA AM MN MN AD.EF MN 1 1 2 hay (1) AD EF MN OM EM OM PM EPQF là hình thang và cộng hai vế ta có: PQ EP EF PE OM OM EM PM EM MP 1 1 1 1 ; PQ EF EP PE EP PQ EF OM 1 2 2 2 2 1 1 2 Mặt khác (2), từ (1) và OM 2OM OM OM OM ON MN PQ EF MN 1 1 1 1 1 1 (2) AD = PQ. AD EF PQ EF AD PQ Bài 13. Cho tam giác ABC, phân giác AD và BE là phân giác của góc BAC, ABC thỏa mãn ADE BED . Chứng minh tam giác ABC cân. EDC DEC ADE BED Lời giải. Đặt k , với k là số thực dương, EDC DEC A đặt ADE EDC k , BED  E DEC k . I C J Gọi I là giao điểm AD và BE EID AIB 900 B C 2 D Page 11
5. BE EC BE AD EC AD AD AB AD là phân giác DC CB CE AD AB AC và góc ACB chung CED đồng dạng với CAB CED là tam CD CD BC BC giác cân ECD CDE 1800 DBC ABD DBC DCE 2DBC , BD BE BDE BED 2 CED 1800 2ECD 1800 4DBC 1800 DBC DEB DEC 1800 4DBC 1800 2 9DBC 1800 DBC 200 ABC ACB 400 BAC 1000 . Bài 16. Cho tam giác ABC, thỏa mãn 2B 3C 1800 , số đo các cạnh là ba số nguyên liên tiếp. Tính diện tích tam giác ABC. 0 Lời giải. Theo giả thiết 2B 3C 180 từ đó ta có A 2B 3C A B C A B 2C góc A lớn nhất cạnh BC lớn nhất do đó B C trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD AC D 1800 C ADC DAC 2 1800 C ADB 1800 ADC 1800 , thay 2B 3C 1800 vào ta nhận được 2 2B 3C C ADB 1800 1800 (B C) A 2 BC AB AB AB CBA đồng dạng với ABD (g.g) AB BD BC CD BC AC BC 2 BC.AC AB2 AB2 BC(BC AC) , theo giả thiết số đo ba cạnh là các nguyên liên tiếp, chứng minh trên cạnh BC lớn nhất BC AC 1 hoặc BC AC 2 Nếu BC AC 1 BC chỉ có bằng 4 AC = 3 và AB = 2 thỏa mãn. Nếu BC AC 2 AB2 2BC phương trình không thỏa mãn đề bài. Đường đẳng giác A Cho tam giác ABC, AM, AN là hai đường đẳng giác Page 13 B M N C
6. MA = MH = MD MBN MDA DAM DBC MBD MBN DBN DBC DBN NBC H là trực tâm, O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC tam giác OBC cân ABH ABD OBC ABM OBC MBD ABD MBD OBC NBC OBN BM và BO là cặp đẳng giác của góc B đối vớ i tam giác ABN, ta luôn có AH và AO là cặp đường đẳng giác xuất phát đỉnh A Từ đó ta suy ra M và O là hai điểm đẳng giác của tam giác ABN BNO ANM DNM . Tứ giác BMDN nội tiếp DNM MBD ONB MBD NBC ON song song với BC. Page 15