Đề thi tuyển sinh môn Toán (Chuyên) vào Lớp 10 THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Năm học 2014-2015 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh môn Toán (Chuyên) vào Lớp 10 THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Năm học 2014-2015 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

1. AM AD DMA và DAB đồng dạng AB DB AN AM AE AD AN.AM AE.AD   (1) AB AB EB DB AB2 EB.DB Gọi I là giao điểm của DE và AB (AB là đường kính, từ gt của M,N suy ra D và E nằm về hai phía của AB nên I nằm giữa A và B) AD AI Chứng minh DIA và BIE đồng dạng EB IE 0,25 AE AI AIE và DIB đồng dạng DB ID AE.AD AI.AI = EB.DB IE.ID IE IA AIE và DIB đồng dạng IE.ID IA.IB IB ID AE.AD AI.AI IA 0,25 = = (2) EB.DB IA.IB IB AM.AN IA Từ (1) và (2) suy ra = (3) AB2 IB 0,25 Do AM.AN không đổi, IA + IB = AB không đổi, từ (3) ta có I cố định. IV 3 1,00 Ta có: ID.IE = IA.IB = OA2 - OI2 Tương tự ID.IE = KD2 - KI2 (*) 0,25 và AM.AN = KM2 - KA2 ( ) IA Từ (*),( ) ta có KI2 - KA2 = AM.AN - IA.IB  AB2 - IA.IB m là số IB 0,25 dương không đổi. Kẻ KH vuông góc với AB tại H suy ra HI2 - HA2 = KI2-KA2 = m 0,25 hay (HI - HA)(HI + HA) = IA.(2HA + IA) = m Do I, A cố định, m không đổi suy ra H cố định. 0,25 Vậy K luôn thuộc vào đường thẳng vuông góc với AB tại H xác định như trên. V 1,00 Đặt x y 1 a x y a 1 x y 2 a 1 2 0,25 x2 y2 a2 2a 9 (vì xy = 4) a2 2a 9 9 A a 2 a a 0,25 9 9 Do x y 0 a 0 a 2 a. 6 . Dấu “=” xẩy ra khi a = 3 0,25 a a A 6 2 4 . Dấu “=” xẩy ra khi a = 3 x y o x 5 1 x 5 1 Khi đó xy 4 Vậy MinA = 4 khi 0,25 y 5 1 y 5 1 x y 2