Đề thi chọn học sinh giỏi Tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2015-2016 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi Tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2015-2016 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

1. O· BN O· PM (cùng bù với O· PN ) hay O· BC O· PM (1) Mặt khác: O· MC O· NC 900 tứ giác OMCN nội tiếp O· MN O· CN hay O· MP O· CB (2). 0,25 Từ (1) và (2) ta được hai tam giác OBC và OPM đồng dạng. PM OP OM . BC OB OC Chứng minh tương tự ta được: +) Hai tam giác OQN và OAC đồng dạng QN ON QN OM (do OM = ON) 0,25 AC AC AC OC PQ OP +) Hai tam giác OPQ và OBA đồng dạng BA OB PM QN PQ MP NQ PQ Vậy ta được: (đpcm) BC AC AB a b c 0,25 b) Trên đoạn thẳng NC lấy điểm I sao cho MF = NI. Chứng minh IQ đi 4 2 1,00 qua trung điểm của NF. Ta có tứ giác AOQM nội tiếp ·AMO ·AQO ·AQO 900 AQB 1 vuông tại Q QE BE AB BEQ cân tại E 0,25 2 E· QB E· BQ E· QB Q· BC (do Q· BC E· BQ ) EQ / /BC Mặt khác: E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC EF / /BC 0,25 E,Q, F thẳng hàng QF / /NI (1) MF NI Lại có: CM =CN, MF = NI (gt) FI / /MN FI / /NQ (2) CM CN 0,25 Từ (1) và (2) ta được tứ giác FINQ là hình bình hành, do đó IQ đi qua 0,25 trung điểm của NF. Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 5 x y z 1,00 P . y z 2x z x 2y x y 2z 1 1 1 1 Chứng minh: Với hai số thực dương a, b ta có: (*) , a b 4 a b 0,25 dấu bằng xảy ra khi a = b. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x 1 1 x 1 x x 1 0,25 . y z 2x 4 2 y z 2x 4 y z 2x y z 2x 4 1 1 1 1 1 Áp dụng (*): 0,25 y z 2x (x y) (x z) 4 x y x z