Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

1. Hình học TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG phẳng THỨ BA CỦA TAM GIÁC . A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM. 1. Trường hợp đồng dạng thứ ba : góc - góc ▪ Nếu hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau (góc – góc). ▪ Ta có VABC,VA B C GT Aˆ µA , Bˆ Bµ KL VABC ∽ VA' B 'C ' 2. Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vào tam giác vuông . ▪ Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. µ µ µ µ 0 GT VABC,VA B C ,C C , A A 90 KL VABC ∽ VA B C B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh hai tam giác đồng dạng ▪ Chứng minh hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau. Ví dụ 1. Cho hình thang ABCD (AB PCD) có D· AB D· BC . Chứng minh VABD ∽ VBDC . Lời giải Ta có ·ABD B· DC VABD ∽ VBDC (g.g). Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A(Aˆ 90 ) , O thuộc cạnh BC . Trên cạnh AB , AC lần lượt lấy hai điểm M , N sao cho M· ON ·ABC . Chứng minh VBMO ∽ VCON . 1
2. Lời giải Ta có B· MO 180 ·ABC M· OB . Mà M· ON ·ABC B· MO 180 M· ON M· OB C· ON . Chú ý M· BO O· CN VBMO ∽ VCON (g.g). Dạng 2: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài các cạnh, chứng minh hệ thức cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau. ▪ Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng. Từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau, các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC . Trên AB , AC lần lượt lấy các điểm D , E sao cho ·ACD ·ABE và CD cắt BE tại O . Chứng minh a) AD  AB AE  AC ; b) OC OD OB OE . Lời giải a) Xét VACD và V ABE có Aˆ chung và · · ACD = ABE Þ VACD ∽ VABE (g.g). Từ đó suy ra AD  AB AE  AC . b) Xét VOBD và VOCE có B· OD E· OC (đối đỉnh) và O· BD O· CE VOBD ∽ VOCE (g.g). Từ đó suy ra OC OD OB OE . Ví dụ 4. Cho hình thang ABCD (AB PCD) có D· AB D· BC . Tính độ dài cạnh BD biết AB 4 cm, DC 9 cm. Lời giải Ta có ·ABD B· DC VABD ∽ VBDC (g.g). AB BD BD AB  DC 49 6 cm. BD DC 2
3. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Bạn Khanh vẽ hai tam giác ABC và A’B’C’ như hình vẽ bên Chứng minh VABC ∽VA' B 'C ' . Bài 2. Cho hình vẽ bên. Chứng minh. a) VAMN ∽ VABC ; b) AM  AC AN  AB . Lời giải a) Xét VAMN và VABC có Aˆ chung; · · và ANM = ACB Þ VAMN ∽ VABC (g.g). AM AB b) Từ kết quả câu a), ta có AM  AC AN  AB . D AN AC Bài 3. Cho hình vẽ bên. E a/ Chứng minh VEBA∽VBDC ; 5cm b/ Tính độ dài các đoạn thẳng CD, BE, BD và ED (làm tròn kết A 7,5cm B 6cm C quả đến hàng phần mười); c/ So sánh diện tích tam giác BDE với tổng diện tích của hai tam giác AEB và BCD. Bài 4. A 12,5 cm B Cho hình vẽ bên biết ABCD là hình thang (AB //CD). a/ Chứng minh VDAB ∽VDBC ; b/ Tính độ dài đoạn thẳng BD (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). D 28,5 cm C 3
4. Bài 5. Cho hình vẽ sau : a/ Chứng minh VABD ∽VBCA; x 4,5 cm b/ Tính độ dài x và y ; 3 cm c/ BD là tia phân giác của góc B. Tính độ dài đoạn thẳng BC y và BD. Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Tia phân giác của Bˆ cắt AH , AC lần lượt tại D , E . a) Chứng minh VBAD ∽ VBCE và V BHD ∽ V BAE . DH EA b) Chứng minh . DA EC c) Biết AB 3 cm, BC 5 cm. Tính độ dài H B , HC . Đáp số { HB 1,8 cm, HC 3,2 cm} Lời giải a) Xét V BAD và VBCE có ·ABD E· BC và B· AD E· CB (góc có cặp cạnh tương ứng vuông góc) VBAD ∽ VBCE (g.g).  Xét V BHD và V BAE có B· HD B· AE 90 và H· BD ·ABE VBAD ∽ VBCE (g.g). DH BD DA DH EA b) Từ kết quả câu a), ta có . EA BE CE DA EC · · ° c) Xét V ABH và VCBA có Bˆ chung và AHB = BHC = 90 Þ VAMN ∽ VABC (g.g). BH BA BA2 32 9 BH 1,8 cm. BA BC BC 5 5 HC BC BH 5 1,8 3,2 cm. Bài 7. Cho tam giác ABC có Aˆ 60 , Bˆ 80 . Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD BC . Chứng minh a) VABC ∽ VACD ; b) AC 2 AB2 AB  BC . 4
5. Lời giải a) Tính được ·ACB 40 , lại có VBCD cân tại B nên ·ABC B· CD 40 VABC ∽ VACD (g.g). 2 b) Từ kết quả câu a), ta có AC 2 AB  AD AB(AB BC) AB2 AB  BC . Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I . Chứng minh AI 2 AD  AE . Lời giải Ta có AI là tia phân giác của B· AC I·AD I·AE 45 . Theo tính chất góc ngoài ·ABC ·AID I·AB I·BC 45 . 2 ·ABC ·AEI ·ABC I·CB 45 . 2 Do đó VADI ∽ VAIE AI 2 AD  AE . Bài 9. Bạn Hoàng muốn đo chiều cao của một cây dừa mọc thẳng đứng trong sân, bạn dùng một cây cọc AB dài 1,5m và chiều dài thân mình để đo. Bạn nằm cách gốc cây 3m (tính từ chân của bạn) và bạn cắm cọc thẳng đứng dưới chân mình thì bạn thấy đỉnh thân cọc và đỉnh cây thẳng hàng với nhau. Em hãy giúp bạn tính chiều cao của cây dừa, biết bạn Hoàng cao 1,7m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Lời giải Chứng minh ABM ഗ DCM (g.g) AB BM => DC CM 1,5 1,7 => => DC = 4,1 (m) DC 4,7 5
6. Bài 10. Cho hình vẽ, hãy tính chiều rộng AB của khúc B sông (làm tròn đến hàng phần mười). Biết AC = 79,6 m; CD = 34,2m; DE = 18,6m Lời giải 34,2 m D A 79,6 m C ABC và DEC có: B· AC = C· DE = 900 (gt) và 18,6 m E ·ACB = D· CE . Vậy: ABC ∽ DEC (g – g) AB AC AB 79,6 Þ = Þ = Þ AB » 43,3m DE CD 18,6 34, 2 Bài 11. Để đo chiều cao của cột đèn ta làm như sau: Đặt tấm gương phẳng nằm trên mặt phẳng nằm ngang, mắt của người quan sát nhìn thẳng vào tấm gương, người quan sát di chuyển sao cho thấy được đỉnh ngọn đèn trong tấm gương và góc ABC = góc A’BC’. Cho chiều cao tính từ mắt của người quan sát đến mặt đất là AC = 1,6m; khoảng cách từ gương đến chân người là BC = 0,8m; khoảng cách từ gương đến chân cột đèn là BC’ = 1,5m. Tính chiều cao của cột đèn là A’C’. Lời giải Xét ∆BCA và ∆BC’A’ có B· CA B·C ' A' 900 ; ·ABC ·A'BC ' (gt) ∆BCA ∽ ∆BC’A’ (g.g) BC AC 0,8 1,6 nên A’C’ = 3(m). Vậy cột đèn cao 3(m). BC ' A'C ' 1,5 A'C ' B Bài 12. Một cột cờ AB vuông góc với mặt đất và có bóng là AC dài 6 m. Cùng lúc đó, người ta dựng một cây cọc MN cao 2 m và có bóng N trên mặt đất là MQ dài 1,2 m. Hỏi chiều cao của cột cờ là bao nhiêu mét? Biết các chùm ánh sáng là song song với nhau. Lời giải A C M Q 6
7. B N 2m A 6m C M 1,2m Q Xét △ABC và △ MNQ và: Aµ= M¶ = 900 µ µ µ C = Q hoặc Bµ = N ⇒△ABC ∽ △ MNQ (g.g) AB AC = ⇒ MN MQ 2.6 ⇒ AB = = 10 m 1,2 Vậy cột cờ cao 10m. Bài 13. Một người cao 1,5 mét có bóng trên mặt đất dài 2,1 mét. Cùng lúc ấy, một cái cây gần đó có bóng trên mặt đất dài 4,2 mét. Tính chiều cao của cây. Lời giải Ta có: EF // BC F Cµ (đồng vị). Xét ABC và DEF ta có: Aµ Hµ 900 và Cµ F (cmt) AC AB AC.DE 4,2.1,5 ABC ∽ DEF AB 3m . DF DE DF 2,1 7
8. Bài 14. Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Gần đấy có một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 80m (như hình vẽ). Em hãy cho biết tòa nhà có bao nhiêu tầng biết rằng mỗi tầng cao 3,5m. B E 7m 4m 80m D F A C Lời giải Xét ABC ∽ DEF g g AB AC AB 80 80.7 AB 140 m DE DF 7 4 4 Vậy tòa nhà cao 140m. Số tầng tòa nhà là: 140: 3,5 = 40 (tầng) D. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1. Cho tam giác ABC , D thuộc cạnh AC sao cho ·ABD Cˆ . Chứng minh VABC ∽ VADB . Lời giải Xét VABC và V ADB có Aˆ chung; · và ABD = Cˆ Þ VABC ∽ VADB (g.g). Bài 2. Cho tam giác ABC , kẻ đường phân giác AD . Trên tia đối của D A lấy điểm F sao cho F· BD B· AD . Chứng minh VABF ∽ VADC . Lời giải Ta có B· AF D· AC , sử dụng tính chất góc ngoài thu được A·DC = A·BD + B·AD = A·BD + F·BD · · Þ ADC = ABF Þ VABF ∽VADC (g.g). Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Chứng minh 8
9. a) AB2 BH  BC ; b) AH 2 HB  HC . Lời giải a) Xét V ABH và VCBA có Bˆ chung và · · ° AHB = CAB = 90 Þ VABH ∽ VCBA (g.g). AB BC AB2 BH  BC . BH AB  b) Xét V AHB và VCHA có ·AHB ·AHC 90 và B· AH Cˆ (do a) VAHB ∽ VCHA (g.g). AH HC AH 2 HB  HC . HB AH Bài 4. Cho tam giác ABC có Aˆ Cˆ . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho B· AD Cˆ . Biết AB 5 cm, BC 10 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng D B , DC . Lời giải Ta có VBAD ∽ VBCA (g.g). BD BA BA2 52 BD 2,5 cm. BA BC BC 10 Từ đó DC BC BD 10 2,5 7,5 cm. 9