Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Phân tích đa thức thành nhân tử

Nội dung text: Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 1/39 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG - Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử. - Phương pháp đặt nhân tử chung ngược lại với phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức: AB AC A(B C); AB AC A(B C) - Nhân tử chung là tích của phần hệ số với phần biến và được xác định như sau: +) Phần hệ số: Là ƯCLN của các hệ số có mặt trong hạng tử +) Phần biến: Là phần biến có mặt trong tất cả các hạng tử của đa thức đó, mỗi biến lấy với số mũ nhỏ nhất +) Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết tất cả các hạng tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (dựa vào tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) A 5xy x2 y2 2x2 y b) B 2x x y 3y y x c) 20yz y z 5 2y 2z z2 Lời giải a) Đa thức có 3 hạng tử là: 5xy; x2 y2 ;2x2 y +) Nhân tử chung của phần hệ số là: UCLN 5;1;2 1 +) Nhân tử chung của phần biến là: xy Vậy nhân tử chung của đa thức trên là: 1.xy xy Ta có: A 5xy x2 y2 2x2 y xy 5 xy 2x b) Không nên khai triển vì biểu thức sẽ làm bài toán phức tạp hơn. Nhận thấy nếu đổi dấu hạng tử thứ 2 thì đa thức xuất hiện nhân tử chung là: x y Ta có: B 2x x y 3y x y x y 2x 3y c) Ở hạng tử thứ hai có nhân tử chung là 2; nên sau khi đưa ra ngoài ngoặc thì ta tiếp tục thấy nhân tử chung của đa thức là: y z Ta có: 20yz y z 10 y z z2 10z y z 2y x *) Chú ý: - Để tìm “nhân tử riêng” là hạng tử bên trong ngoặc ta lấy đa thức chia cho nhân tử chung
2. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 2/39 - Đôi khi để làm xuất hiện nhân tử chung, ta phải đổi dấu của các hạng tử Dạng 1: phân tích đa thức thành nhân tử Cách giải: Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất pân phối của phép nhân đối với phép cộng Bài 1: Phân các đa thức sau tích thành nhân tử a. x3 2x b. 3x 6y c. 5 x 3y 15x x 3y d. 3 x y 5x y x Lời giải a) Ta có: x3 2x x x2 2 b) Ta có: 3x 6y 3 x 2y c) Ta có: 5 x 3y 15x x 3y 5 x 3y 1 3x d) Ta có: 3 x y 5x y x x y 3 5x Bài 2: Phân các đa thức sau tích thành nhân tử a. 4x2 6x b. x3 y 2x2 y2 5xy 2 2 c. 2x2 x 1 4x x 1 d. x y 1 y 1 y 5 5 Lời giải a) Ta có: 4x2 6x 2x 2x 3 b) Ta có: x3 y 2x2 y2 5xy xy x2 2xy 5 c) Ta có: 2x2 x 1 4x x 1 2x x 1 x 4 2 2 2 d) Ta có: x y 1 y 1 y y 1 x y 5 5 5 Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. 2 x 1 3 5 x 1 2 x 1 b. x y x 3 y x y 2 xy x y c. xy x y y x y 2 y2 x y d. x(x y)2 y(x y)2 xy x2 Lời giải a) Ta có: 2 x 1 3 5 x 1 2 x 1 x 1 2x2 9x 6 b) Ta có: x y x 3 y x y 2 xy x y x y x x y 2 y2 c) Ta có: xy x y y x y 2 y2 x y x y xy 2
3. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 3/39 d) Ta có: x(x y)2 y(x y)2 xy x2 (x y)2 (x y) x(x y) (x y) x y 2 y2 Bài 4: Phân tích thành nhân tử a. 5x2 y 10xy2 b. 13x4 y 3 26x2 y2 z2 39xy2 z3 1 c. 9x2 y 2 15x2 y 21xy2 d. x(x2 4) 4(x 2) 2 Lời giải a) Ta có: 5x2 y 10xy2 5xy(x 2y) b) Ta có: 13x4 y 3 26x2 y2 z2 39xy2 z3 13xy2 (x3 y 2xz2 3z3 ) c) Ta có: 9x2 y 2 15x2 y 21xy2 3xy 3xy 5x 7y 1 1 d) Ta có: x(x2 4) 4(x 2) x 2 x x 2 2 2 2 Dạng 2: Tính nhanh Cách giải: Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng Bài 1: Tính hợp lý a. A 75.20,9 52.20,9 b. B 86.15 150.1,4 c. C 93.92 14.16 d. D 98,6.199 990.9,86 Lời giải a) Ta có: A 75.20,9 52.20,9 20,9(75 25) 2090 b) Ta có: B 86.15 150.1,4 15 86 14 1500 c) Ta có: C 93.32 14.16 93.32 7.32 32 93 7 3200 d) Ta có: D 98,6.199 990.9,86 98,6.199 99.10.9,86 98,6.199 99.98,6 9860 Bài 2: Tính hợp lý a. A 85.12,7 5.3.12,7 b. B 8,4.84,5 840.0,155 c. C 0,78.1300 50.6,5 39 d. D 0,12.90 110.0,6 36 25.6 Lời giải a) Ta có: A 85.12,7 5.3.12,7 1270 b) Ta có: B 8,4.84,5 840.0,155 840 840.0,155 8,4.15,5 c) Ta có: C 0,78.1300 50.6,5 39 1300 d) Ta có: D 0,12.90 110.0,6 36 25.6 72 0,12.90 6.18;110.0,6 11.6;36 6.6
4. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 4/39 Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức Cách giải: Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau a. A x(x 1) y(x 1) với x 2; y 1 b. B x5 (x 2y) x3 y(x 2y) x2 y2 (x 2y) với x 10; y 5 Lời giải a) Ta có: A x(x 1) y(x 1) (x 1)(x y) 1 A 1 với x 2; y 1 b) Ta có: B x5 (x 2y) x3 y(x 2y) x2 y2 (x 2y) (x 2y)(x5 x3 y x2 y2 ) 0 với x 10; y 5 Bài 2: Tính giá trị biểu thức 5 a. A t(10 4t) t 2 (2t 5) 2t 5 với t 2 b. B x(x y)2 y(x y)2 xy2 x2 y với x y 7; xy 9 Lời giải 5 a) Ta có: A t(10 4t) t 2 (2t 5) 2t 5 (2t 5)(t 2 2t 1) 0 với t 2 b) Ta có: B x(x y)2 y(x y)2 xy2 x2 y (x y) x y 2 xy 280 với x y 7; xy 9 Bài 3: Tính giá trị các biểu thức sau a. A a b 3 b 3 b với a 2003,b 1997 b. B b2 8b c 8 b tại b 108,c 8 c. C xy x y 2x 2y tại xy 8, x y 7 d. D y2 x2 y 1 mx2 my m tại x 10, y 5 Lời giải a) Ta có: A a b 3 b 3 b b 3 a b A 12000 b) Ta có: B b2 8b c 8 b b 8 b c A 10000 c) Ta có: C xy x y 2x 2y x y xy 2 C 42 d) Ta có: D y2 x2 y 1 mx2 my m x2 y 1 y2 m D 0 Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau Tính giá trị của biểu thức 9x4 15x3 6x2 5 , biết 3x2 5x 2 Lời giải
5. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 5/39 Ta có: 9x4 15x3 6x2 5 3x2 3x2 5x 6x2 5 3x2.2 6x2 5 5 Vậy giá trị của biểu thức bằng 5 Dạng 4: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải: Ta thực hiện theo 3 bước sau - Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái, vế phải bằng 0 A 0 - Phân tích vế trái thành nhân tử để được dạng tích, chẳng hạn A.B 0 B 0 - Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A 0 và B 0 rồi kết luận Bài 1: Tìm x , biết a) 6x(5x 2) (5x 2).2 0 b) (x 2 1)(x 2) 2x 4 c) 8x(x 2017) 2x 4034 0 d) (x 1) (x 1)2 x x2 e) x4 5x3 8x 40 0 f) 0 2 8 Lời giải 5x 2 0 2 1 a) Ta có: 6x(5x 2) (5x 2).2 0 5x 2 6x 2 0 x ;  6x 2 0 5 3 2 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S ;  5 3 b) (x 2 1)(x 2) 2x 4 (x2 1)(x 2) 2(x 2) 0 (x 2)(x2 3) 0 x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S 2 x 2017 c) 8x(x 2017) 2x 4034 0 8x(x 2017) 2(x 2017) 0 1 x 4 1  Vậy phương trình có tập nghiệm S 2017;  4 d) (x 1) (x 1)2 x(x 1) 0 x 0; 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S 0; 1 e) x4 5x3 8x 40 0 x3 x 5 8 x 5 0 x 5 x 2 x2 2x 4 0 x 2; 5 Vậy phương trình có tập nghiệm S 2; 5 x x2 x x f) 0 1 0 x 4;0 2 8 2 4 Vậy phương trình có tập nghiệm S 4;0
6. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 6/39 Bài 2: Tìm x , biết a) 4 x 2 x 4 2 b) x4 16x2 0 c) x8 36x4 0 d) x 5 3 x 5 0 e) 5 x 2 x2 4 0 Lời giải 2 7  a) Ta có: 4 x 2 x 4 4 x 2x 7 0 x 4;  2 7  Vậy phương trình có tập nghiệm S 4;  2 b) Ta có: x4 16x2 0 x2 x2 16 0 x 4;0;4 Vậy phương trình có tập nghiệm S 4;0;4 c) Ta có: x8 36x4 0 x4 x4 36 0 x 0 Vậy phương trình có tập nghiệm S 0 3 2 x 5 1 d) Ta có: x 5 x 5 0 x 5 1 x 4;5;6 x 5 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S 4;5;6 e) Ta có: 5 x 2 x2 4 0 x 2 3 x 0 x 2;3 Vậy phương trình có tập nghiệm S 2;3 Dạng 5: Chứng minh các bài toán số nguyên Cách giải: Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lý thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên Bài 1: Chứng minh rằng a) A n2 (n 1) 2n(n 1) luôn chia hết cho 6 với mọi n Z b) B (4n 3)2 25 luôn chia hết cho 8 n n2 n3 c) C là số nguyên 3 2 6 Lời giải a) Ta có: A n2 (n 1) 2n(n 1) n(n 1)(n 2)2,3 A6 b) Ta có: B (4n 3)2 25 8(n 2)(2n 1)8 đpcm c) Ta có: C n3 3n2 2n n(n 1)(n 2)6 đpcm
7. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 7/39 Bài 2: Chứng minh rằng a) A 25n 1 25n 100n N b) B 50n 2 50n 1 245n N c) n3 n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n Lời giải a) A 25n 1 25n 100n N Ta có: A 25n 1 25n 25n.24 4.6.25.25n 1 100.6.25n 1 100 đpcm b. B 50n 2 50n 1 245n N Ta có: B 50n 2 50n 1 245.10.50n 245,n N đpcm c) n3 n n n2 1 n n 1 n 1 6 vì tích 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 và 3 nên chia hết cho 6 Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố: A 5n3 9n2 15n 27 Lời giải Ta có: A 5n3 9n2 15n 27 (5n 9)(n2 3) 5n 9 1(do : n2 3 1) . Vậy n 2 là giá trị cần tìm. Bài 4: Chứng minh rằng a) Chứng minh rằng 315 316 317 chia hết cho 13 b) Chứng minh rằng hiệu các bình phương hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8. Lời giải a) Ta có: 315 316 317 315 1 3 32 315.13 chia hết cho 13 b) Gọi hai số lẻ bất kì là 2a 1 và 2b 1 ( a,b Z ) Ta có: 2a 1 2 2b 1 2 4a2 4a 1 4b2 4b 1 4a2 4a 4b2 4b 4a a 1 4b b 1 Ta thấy a a 1 và b b 1 đều là tích của hai số nguyên liên tiếp, chúng chia hết cho 2 Do đó 4a a 1 và 4b b 1 đều chia hết cho 8 Vậy 2a 1 2 2b 1 2 chia hết cho 8 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 10x3 a) 8x3 2x b) 5x 25x2 9
8. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 8/39 x3 x6 c) 5x3 x 1 x 1 d) x9 27 729 Lời giải a) Ta có: 8x3 2x 2x 4x2 1 2x 2x 1 2x 1 3 2 10x 2 2 b) Ta có: 5x 25x 5x 1 5x x 9 9 c) Ta có: 5x3 x 1 x 1 x 1 5x3 1 3 6 3 x x 9 3 1 x 6 d) Ta có: x x x 27 729 27 729 Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x(y x)2 x2 2xy y2 b) x(x y)2 y(x y)2 xy2 x2 y Lời giải a) Ta có: x(y x)2 x2 2xy y2 (x y)2 (x 1) b) Ta có: x(x y)2 y(x y)2 xy2 x2 y (x y) x y 2 xy Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau a) A m2 (m n) n2m n3 tại m 2017,n 2017 b) B n3 3n2 n(3 n) tại n 13 Lời giải a) Ta có: A m2 (m n) n2m n3 (m n)(m2 n2 ) 0 tại m 2017,n 2017 b) Ta có: B n3 3n2 n(3 n) 1820 Bài 4: Tìm x , biết rằng a) 2 x 2 x 2 3 t b) 8x3 72 0 c) x 1,5 6 2 1,5 x 2 0 d) 2x3 3x2 3 2x 0 e) x3 4x 14x(x 2) 0 f) x2 (x 1) x(x 1) x(x 1) 0 Lời giải a) Ta có: 2 x 2 x 2 3 x 2 b) Ta có: 8x3 72 0 x 3;0;3 6 2 3 c) Ta có: x 1,5 2 1,5 x 0 x 2
9. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 9/39 3 2 2 2 3 d) Ta có: 2x 3x 3 2x 0 x 2x 3 2x 3 0 x 1 2x 3 0 x  2  e) Ta có: x3 4x 14x(x 2) 0 x x 2 x 2 14x(x 2) x(x 2)x 2 14 0 x(x 2) x 12 0 x 0;2;12 f) Ta có: x2 (x 1) x(x 1) x(x 1) 0 x 1 x x 1 x(x 1) 0 x(x 1) x 2 0 x 0;1; 2 Bài 5: Chứng minh rằng a) A 15n 15n 2 113,n N t b) B n4 n2 4,n Z Lời giải a) Ta có: A 15n 15n 2 113.2.15n 113 b) Ta có: B n4 n2 n2 (n 1)(n 1) n n 1 .n n 1   2 2 Vậy B4
10. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 10/39 PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC *) Phương pháp: Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc dưới dạng lũy thừa của một đa thức đơn giản Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) A x2 2x 1 b) B x2 6x 9 x4 c) C x3 2x3 x2 Lời giải Phân tích định hướng: a) Nhận thấy đây là vế trái của hằng đẳng thức a b 2 a2 2ab b2 Áp dụng ta có: A x2 2x 1 x 1 2 b) Nhận thấy 3 hạng tử đầu tiên và hạng tử cuối đều có thể đưa về được bình phương, sau đó xuất hiện hằng đẳng thức a2 b2 a b a b 2 2 Ta có: B x2 6x 9 x4 x2 6x 9 x2 x 3 2 x2 x 3 x2 x 3 x2 c) Ta thấy đa thức có nhân tử chung là x , sau đó gặp vế phải hằng đẳng thức a b 2 a2 2ab b2 Ta có: C x3 2x3 x2 x2 x2 2x 1 x2 x 1 2 Các hằng đẳng thức đáng nhớ: 1) A2 B2 A B A B 2) A3 B3 A B A2 AB B 2 3) A3 B3 A B A2 AB B 2 4) A2 2AB B2 A B 2 5) A2 2AB B2 A B 2 6) A3 3A2 B 3AB2 B3 A B 3 7) A3 3A2 B 3AB2 B3 A B 3 8) A B C 2 A2 B2 C 2 2 AB BC CA Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử Cách giải: Chuyển đa thức đã cho về đúng dạng của hằng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử