Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Hình thoi

Nội dung text: Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Hình thoi

1. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 1/6 HÌNH THOI A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa ▪ Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. ▪ Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi AB = BC = CD = DA . ▪ Nhận xét: hình thoi là một hình bình hành đặc biệc. 2. Tính chất ▪ Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành. Trong hình thoi: ▪ Hai đường chéo vuông góc với nhau. ▪ Mỗi đường chéo là đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi mà nó đi qua. 3. Dấu hiệu nhận biết ▪ Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi. ▪ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. ▪ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi. ▪ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh mà nó đi qua là hình thoi. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình thoi ▪ Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thoi. Ví dụ 1. Cho góc xOy và tia phân giác Ot. Từ điểm M thuộc Oz kẻ MA // Oy và MB // Ox ( với A Ox; B Oy x ). Chứng minh tứ giác OAMB là hình thoi. Chứng minh: t Ta có MA // Oy suy ra MA // OB (1) M MB // Ox suy ra MB // OA (2) A Từ (1) và (2) suy ra OAMB là hình bình hành . (*) Mà OM là phân giác của góc AOB (**) Từ (*);(**) suy ra OAMB là hình thoi . (theo dấu hiệu nhận biết hình thoi). O Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có 2 đường cao B y AH = AK . Chứng minh ABCD là hình thoi.
2. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 2/6 A B D O H K C Chứng minh: Xét hai tam giác vuông AHB và AKD ta có : AK = AH (gt). = (ABCD là hình bình hành). AD AB ABCD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi ). Dạng 2: Vận dụng tính chất của hình thoi để chứng minh các tính chất khác ▪ Vận dụng các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình thoi. Ví dụ 3. Cho hình thoi ABCD có Bˆ 60 . Kẻ AE  DC , AF  BC . Chứng minh a) AE AF ; b) Tam giác AEF đều. Lời giải a) Vì AC là phân giác của B· CD (do ABCD là hình thoi) nên A cách đều hai cạnh BC và CD . Hay AE AF . b) Hình thoi ABCD có AB BC và ·ABC 60 nên VABC đều. Do đó đường cao AF cũng là đường phân giác, suy ra C· AF 30 . Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được C· AE 30 . Suy ra E· AF 60 , vậy VAEF đều. Dạng 3: Tính độ dài cạnh, góc, diện tích hình thoi. ▪ Vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết bài toán liên quan. Ví dụ 4. Hai đường chéo của hình thoi có độ dài 16cm và 12cm. Tính :
3. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 3/6 a/ Diện tích hình thoi b/ Cạnh hình thoi c/ Độ dài đường cao hình thoi. Lời giải A a/ AC = 16cm; BD = 12cm. 1 1 S AC.BD .16.12 96 (cm2 ). ABCD 2 2 B D O b/ OA = 8cm; OD = 6cm. H Áp dụng định lý Py ta go vào tam giác vuông OAD, ta có : AD2 OA2 OB2 82 62 100 C AD 10 (cm). c/ Kẻ đường cao DH. Ta cũng có : SABCD AB.DH 10.DH 96 DH 96 :10 9,6(cm).
4. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 4/6 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho tam giác ABC , phân giác AD . Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E , qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F . Chứng minh EF là phân giác của ·AED. Lời giải Tứ giác AEDF có AF PDE và AE PDF nên là hình bình hành. Mặc khác đường chéo AD là phân giác của B· AC nên AEDF là hình thoi. Do đó đường chéo EF là phân giác của ·AED. Bài 2. a) Cạnh của một hình thoi bằng 25 , một đường chéo bằng 14 . Tính độ dài đường chéo còn lại. b) Cho hình thoi DEFG như hình vẽ bên. Tính x . Lời giải a) Hình thoi ABCD có AC 14 và AB 25. Áp dụng các tính chất của hình thoi, ta có AC OA 7; OB AB2 OA2 24. 2 Suy ra BD 2OB 48. b) Vì DEFG là hình thoi và Dˆ 70 nên D· GF 180 Dˆ 110 . 1 Hơn nữa, GE là phân giác của D· EF (hình thoi DEFG ). Do đó x D· GE D· EF 55 . 2
5. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 5/6 Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD . Gọi E , F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB , CD . Chứng minh tứ giác AECF là hình thoi. Lời giải Hình bình hành ABCD có AD PBC và AD  AC . Suy ra BC  AC . VACD vuông tại A có AF là đường trung tuyến, CD nên AF CF . 2 VABC vuông tại C có CE là đường trung tuyến, AB nên CE AE . 2 Lại có AB CD (do ABCD là hình bình hành), Vậỵ AF CF CE AE , hay AECF là hình thoi. Bài 4. Cho hình thoi ABCD tâm O . Độ dài AC 8 cm, BD 10 cm. Tính độ dài cạnh hình thoi. Lời giải Theo tính chất của hình thoi: AC BD OA 4 cm và OB 5 cm. 2 2 Và VOAB vuông tại O nên áp dụng Định lí Pytago ta có AB OA2 OB2 41 cm. Bài 5. Cho hình thoi ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh AB , BC , CD , DA lấy theo thứ tự các điểm M , N , P , Q sao cho AM CN CP AQ . Chứng minh: a) M , O , P thẳng hàng và N , O , Q thẳng hàng; b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Lời giải a) Tứ giác AMCP có AM CP và AM PCP (hình thoi ABCD ) nên là hình bình hành. Mà O là trung điểm AC (hình thoi ABCD ) nên O là trung điểm MP . Tứ giác ANCQ có AQ CN và AQ PCN (hình thoi ABCD ) nên là hình bình hành.
6. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 6/6 Mà O là trung điểm BD (vì hình thoi ABCD ) nên O là trung điểm NQ . Vậy M , O , P thẳng hàng và N , O , Q thẳng hàng. b) Tứ giác MNPQ có MP cắt NQ tại trung điểm O của mỗi đường nên là hình bình hành. Hình thoi ABCD có AC là phân giác của B· AD và B· CD, suy ra OM OQ và ON OP . Do đó OM OP ON OQ hay MP NQ , hay MNPQ là hình chữ nhật. Bài 6. Cho tam giác ABC , qua điểm D thuộc cạnh BC , kẻ các đường thẳng song song với AB và AC , cắt AC và AB theo lần lượt ở E và F . a) Tứ giác AEDF là hình gì? b) Điểm D ở vị trí nào trên BC thì ADEF là hình thoi. Lời giải a) Tứ giác AEDF có AF PDE và AE PDF nên là hình bình hành. b) Để hình bình hành AEDF là hình thoi thì AD là phân giác của góc B· AC . a) b) --- HẾT ---