Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Định lí Thales trong tam giác

Nội dung text: Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Định lí Thales trong tam giác

1. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 1/13 Hình học ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC. phẳng A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM. 1.Đoạn thẳng tỉ lệ. Hai đoạn thẳng AB và CD được gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng MN và PQ nếu có tỉ lệ thức AB MN = . CD PQ 2. Định lí Thales . A ▪ Định lí: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ta trên M N d hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ AM AN ▪ Trong hình vẽ, nếu MN // BC thì . MB NC AM MB AM MB AB AM AN B C Do đó . Suy ra ; AN NC AN NC AC AB AC ▪ Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam A giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương d ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại M N của tam giác. ▪ Trong hình vẽ, nếu có một trong hai tỉ lệ thức : AM AN MB NC , thì ta cũng có MN // BC; B C AB AC AB AC 4. Hệ quả của định lí Thales đảo ▪ Hệ quả: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh A của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một d tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của M N tam giác đã cho. Cho tam giác ABC, đường thẳng d song song với cạnh BC lần lượt cắt các cạnh AB; AC tại M và N. Khi đó , ta B C có : AM AN MN ; AB AC BC
2. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 2/13 ▪ Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng d song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. A E D a A B C B C D a E B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng ▪ Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ. Ví dụ 1. Đoạn thẳng AB gấp 5 lần đoạn thẳng CD , đoạn thẳng A B gấp 7 lần đoạn thẳng CD . 5 a) Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và A B . ĐS: . 7 b) Cho biết đoạn thẳng MN 55 cm và M N 77 cm; hỏi hai đoạn thẳng AB và A B có tỉ lệ với đoạn thẳng MN và M N không? ĐS: Có tỉ lệ. Lời giải AB 5CD 5 a) . A B 7CD 7 MN 55 5 AB MN b) . Vậy hai đoạn thẳng AB và A B tỉ lệ với đoạn thẳng MN và M N M N 77 7 A B M N . Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ ▪ Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lí Ta-lét. ▪ Bước 2: Sử đụng độ dài các đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng.
3. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 3/13 Ví dụ 2. Tính x trong các trường hợp sau. a) b) c) ĐS: x 2 . ĐS: x 6,8. ĐS: x 2,8. Lời giải a) AM AN MB NC x 4 . 5 10 x 2 b) KN KO KL KM 4 5 . x 5 3,5 x 6,8 c) PS PT SQ TR 4 5 . x 8,5 5 x 2,8 Ví dụ 2. Cho hình thang ABCD có (AB PCD) và AB CD . Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD , BC theo thứ tự tại M , N . Chứng minh MA NB MA NB MD NC a) ; b) ; c) . AD BC MD NC DA CB Lời giải Gọi giao điểm của AD và BC là E .
4. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 4/13 EA EB a) Vì AB PCD nên và AB PMN nên AD BC EA EB . AM BN MA NB Từ 2 điều trên suy ra . AD BC MA AD EA AM b) Theo ý a) ta có nên theo tính chất NB BC EB BN MA AD AM MD MA NB của tỉ lệ thức suy ra . Vậy . NB BC BN NC MD NC MD DA MA c) Theo ý b) ta có nên theo tính chất của tỉ lệ thức suy ra NC CB NB MD MD MA AD . NC NC NB BC MD NC Vậy . DA CB Dạng 3: Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng ▪ Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ nhờ hệ quả của định lý Ta-lét. ▪ Bước 2: Sử dụng độ dài các đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng cần tìm. Ví dụ 3. Tính x trong các trường hợp sau a) b) Lời giải MN AM 2 2 2 a) MN BC 6,5 2,6 (đvđd). BC AB 3 2 5 5 b)
5. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 5/13 OP PQ ON MN x 5,2 2 3 52 x (dvdd) 15 Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , MN PBC (M AB, N AC) , AB 24 cm, AM 16 cm, AN 12 cm. Tính độ dài của các đoạn thẳng NC và NB . Lời giải AM AN Theo định lí Ta-lét thì . AB AC AB  AN 2412 AC 18(cm) , AM 16 NC AC AN 6 cm. Lại có tam giác ANB vuông tại A . Tính được NB AN 2 AB2 12 5. Dạng 4: Sử dụng định lý Ta-lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song ▪ Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giác. ▪ Bước 2: Sử dụng định lý đảo của định lý Ta-lét để chứng minh các đoạn thẳng song song. Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD (AB PCD) . Gọi trung điểm của các đường chéo AC và BD lần lượt là M , N . Chứng minh rằng MN , AB và CD song song với nhau. Lời giải OC OD Gọi giao điểm của hai đường chéo là O . Vì AB PCD nên OA OB OC OA OD OB . OA OB AC BD Suy ra . OA OB Từ AC 2AM và BD 2BN . 2AM 2BN AM BN Suy ra . OA OB OA OB AM OA BN OB OM ON Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có hay . OA OB OA OB Áp dụng định lý Ta-lét đảo suy ra MN P AB mà AB PCD (do ABCD là hình thang) nên MN P AB PCD .
6. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 6/13 Dạng 5: Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét để chứng minh hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau ▪ Bước 1: Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, sử dụng hệ quả để lập các đoạn thẳng tỉ lệ. ▪ Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nếu cần) để tính độ dài các đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức có được từ hệ quả, từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau. Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có BC 15 cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK KI IH . Qua I, K vẽ các đường thẳng EF PBC, MN PBC . a) Tính độ dài các đoạn thẳng EF và MN . b) Tính diện tích tứ giác MNEF , biết rằng diện tích của tam giác ABC là 270 cm 2 . Lời giải EF AE AK 1 a) Ta có . BC AB AH 3 1 Suy ra EF BC 5 (cm). 3 MN AM AI 2 Ta có . BC AB AH 3 2 Suy ra MN BC 10 (cm). 3 b) Vì SABC 270 nên AH  BC 540 . Suy ra AH 36 nên IK 12 . IK(EF MN) Suy ra S 90(cm2 ). ABCD 2 Ví dụ 7. Cho hình thang ABCD(AB PCD) . Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC và các đường chéo BD, AC lần lượt tại M , N, P,Q . Chứng minh
7. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 7/13 MD CQ a) . b) MN PQ . AD BC Lời giải MD DN CQ a) Ta có . AD DB CB MN MD CQ PQ b) Ta có . AB AD CB AB C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho biết độ dài của MN gấp 5 lần độ dài của PQ và độ dài đoạn thẳng M N gấp 12 lần độ dài của PQ . 5 a) Tính tỉ số của hai đoạn thẳng MN và M N . ĐS: . 12 b) Cho biết đoạn thẳng DE 9 cm và D E 10,8 dm, hỏi hai đoạn thẳng MN và M N có tỉ lệ với đoạn thẳng DE và D E không? ĐS: Không tỉ lệ. Lời giải MN 5PQ 5 a) . M N 12PQ 12 DE 9 1 5 MN b) . D E 108 12 12 M N Vậy hai đoạn thẳng MN và M N không tỉ lệ với đoạn thẳng DE và D E . Bài 2. Tính x trong các trường hợp sau. a) b) ĐS: x 3,25. ĐS: x 6,3. Lời giải a)
8. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 8/13 AF AE FB EC 6,5 4 . x 2 x 3,25 b) DI DK IE KF x 9 . 10,5 24 9 x 6,3 Bài 3. Cho góc xAy khác góc bẹt. Trên tia Ax lấy các điểm B , C . Qua B và C vẽ hai đường thẳng song song, cắt Ay lần lượt tại D và E . Qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt tia Ax tại F . AB AD AC AD AB AD AC AD a) So sánh và ; và . ĐS: ; . AC AE AF AE AC AE AF AE b) Chứng minh AC 2 AB  AF . Lời giải AB AD AC AD a) Theo định lí Ta-lét ta có ; . AC AE AF AE AB AC b) Từ a) ta có suy ra AC 2 AB  AF . AC AF Bài 4. Tính x trong các trường hợp sau. a) b) ĐS: x 15,3 . ĐS: x 28 . Lời giải AD AE 17 x a) x 15,3. DB EC 10 9 MI MK 16 20 b) x 28 . MN MP x 20 15
9. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 9/13 AB AC Bài 5. Cho tam giác ABC , đường thẳng d cắt AB , AC lần lượt tại B , C sao cho . AB AC Chứng minh AB AC BB CC a) ; b) . B B C C AB AC Lời giải AB AC Từ suy ra d PBC (theo định lí Ta-lét đảo). B B AC AB AC a) Vì B C PBC nên theo định lí Ta-lét ta có ; B B C C BB CC b) Vì B C PBC nên theo định lí Ta-lét ta có . AB AC Bài 6: Cho góc xOy . Trên tia Ox , lấy theo thứ tự 2 điểm A,B sao cho OA 2cm,AB 3cm. Trên tia Oy , lấy điểm C với OC 3cm . Từ B , kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy tại D . Tính độ dài CD . y Lời giải D Xét OBD có: AC / /BD (gt) AO OC Þ = (định lí Ta-let trong tam giác) AB CD C AB.OC 3.3 Þ CD = = = 4,5(cm) OA 2 O x A B Bài 7: Tìm x trong hình M 3 N A 2 12 O 24 16 M N x x y 5,2 B C P Q Biết MN / / PQ Hình 2 Hình 1 Hình 3 Lời giải OP PQ Hình 1. Trong tam giác ABC, OPQ, MN / /PQ ta có: ( hệ quả của định lí Ta-let) ON MN x 5,2 5,2.2 52 x cm 2 3 3 15 Hình 2. Ta có: EF  AB; EF  QD Suy ra AB / /QD .
10. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 10/13 OF FQ Trong OQF,QF / /EB suy ra: ( hệ quả của định lí Ta-let) OE EB x 3,5 3.3,5 x 5,25 cm 3 2 2 Hình 3.Áp dụng định lí Pytago trong AMN, µA 900 ta có: MN 2 AM 2 AN 2 162 122 MN 400 20 cm AM AN Trong AMN, MN / /BC suy ra: ( hệ quả của định lí Ta-let) AB AC 16 12 24.12 AC 18 cm ; NC 18 12 6 cm 24 AC 16 AM MN Trong AMN, MN / /BC suy ra: ( hệ quả của định lí Ta-let) AB BC 16 20 24.20 BC 30 cm 24 BC 16 Bài 8. Cho tam giác ABC có cạnh BC a . Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD DE EB . Từ D, E kẻ các đường thẳng song song với BC cắt AC theo thứ tự tại M , N . Tính theo a độ dài các đoạn thẳng DM và EN . Lời giải AD DM 1 a Áp dụng định lý Ta-lét ta có = = Þ DM = . AB BC 3 3 AD DM 1 2 Tương tự ta có = = Þ EN = 2DM = a . AE EN 2 3 Bài 9. Cho hình thang cân ABCD(AB PCD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BD và AC . Biết rằng MD 2MO , đáy lớn CD 5,6 cm. CD AB a) Tính độ dài đoạn thẳng MN . b) Chứng minh MN . 2 Lời giải OD OC OD OC OD OC a) Vì AB PCD nên . DB AC 2MD 2NC MD NC