Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thị xã năm học 2023-2024 môn Toán 8 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Thị xã năm học 2023-2024 môn Toán 8 (Có đáp án)

1. BD HSG – Toán 8 ĐT: 0905.884.951 – 0929.484.951 UBND THỊ XÃ HOÀI NHƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ PHÒNG GD – ĐT Năm học: 2023 – 2024 Môn: TOÁN 8 – Ngày thi: 13/04/2024 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ---------- oOo ---------- x4 2 x 2 1 x 2 3 Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức: A . x6 1 x 4 x 2 1 x 4 4 x 2 3 a) Tìm điều kiện xác định của A . b) Rút gọn A . c) Tính giá trị lớn nhất của A . Bài 2. (4,0 điểm) a) Cho ba số a , b , c thỏa mãn điều kiện: 4a2 2 b 2 2 c 2 4 ab 4 ac 2 bc 6 b 10 c 34 0 . Tính giá trị của biểu thức: B a 4 2024 b 4 2024 c 4 2024 . b) Biết m , n , p là độ dài ba cạnh của một tam giác. 2 Chứng minh rằng: m2 n 2 p 2 4 m 2 n 2 0 . Bài 3. (4,0 điểm) a) Cho a , b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng ab a b 1 chia hết cho 48 . b) Cho a và b là các số tự nhiên của hai số tự nhiên thỏa mãn 2a2 a 3 b 2 b . Chứng minh rằng: a b và 3a 3 b 1 là các số chính phương. Bài 4. (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P . a) Tứ giác AMDB là hình gì? b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng AB , AD . Chứng minh EF AC và ba điểm E , F , P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỷ số hai cạnh liên tiếp của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P . PD 9 d) Giả sử CP BD và CP 2,4 cm ; . Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật PB 16 ABCD . Bài 5. (3,0 điểm) Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác ABC . Tia AO cắt BC tại D . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho DE DB ; trên cạnh AC lấy điểm F sao cho DF DC . a) Chứng minh: DA là tia phân giác của EDF . b) DE cắt OB tại I ; DF cắt OC tại K . Tam giác IOK là tam giác gì? Vì sao? Bài 6. (1,0 điểm) Cho tam giác OAB có O 120  , OA a , OB b và đường phân giác của góc O là OC c . 1 1 1 Chứng minh: . a b c ----------  HẾT  ---------- GV: Lê Hồng Quốc " Lửa thử vàng, gian nan thử sức " Trang 1
2. BD HSG – Toán 8 ĐT: 0905.884.951 – 0929.484.951 ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HSG TOÁN 8 – HOÀI NHƠN 2023 x4 2 x 2 1 x 2 3 Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức: A . x6 1 x 4 x 2 1 x 4 4 x 2 3 a) Tìm điều kiện xác định của A . b) Rút gọn A . c) Tính giá trị lớn nhất của A . a) Ta có  x 6 1 0 , với mọi x 2 4 2 2 1 3  x x 1 x 0 , với mọi x . 2 4  x4 4 x 2 3 0 , với mọi x .  Do đó A xác định với mọi x . x4 2 x 2 1 x 2 3 b) Ta có: A x6 1 x 4 x 2 1 x 4 4 x 2 3 x4 2 x 2 1 x 2 3 x2 1 x 4 x 2 1 x4 x 2 1 x 2 1 x 2 3 4 2 2 4 2 x 2 x 1 x 1 x x 1 x4 x 2 x2 1 x 4 x 2 1 x2 1 x 4 x 2 1 2 2 x x 1 x 2 . x2 1 x 4 x 2 1 x4 x 2 1 x 2  Vậy A . x4 x 2 1 c) Ta có: x4 1 2 x 4  1 2 x 2 x4 x 2 1 x 2 . Dấu "" xảy ra khi x 4 1 x 1. x2 x 2 Do đó A 1. x4 x 2 1 x 2  Vậy Amax 1 khi x 1. Bài 2. (4,0 điểm) a) Cho ba số a , b , c thỏa mãn điều kiện: 4a2 2 b 2 2 c 2 4 ab 4 ac 2 bc 6 b 10 c 34 0 . Tính giá trị của biểu thức: B a 4 2024 b 4 2024 c 4 2024 . b) Biết m , n , p là độ dài ba cạnh của một tam giác. 2 Chứng minh rằng: m2 n 2 p 2 4 m 2 n 2 0 . a) Ta có: 4a2 2 b 2 2 c 2 4 ab 4 ac 2 bc 6 b 10 c 34 0 4a2 b 2 c 2 4 ab 4 ac 2 bc b 2 6 b 9 c 2 10 c 25 0 2a b c 2 b 3 2 c 5 2 0 . Vì 2a b c 2 0 , b 3 2 0 , c 5 2 0 với mọi a , b , c . 2 2a b c 0 2a b c 0 a 4 2 Do đó b 3 0 b 3 0 b 3 . 2 c 5 0 c 5 0 c 5  Vậy B 4 4 2024 3 4 2024 5 4 2024 02024 1 2024 1 2024 2 . GV: Lê Hồng Quốc " Chớ thấy sóng cả mà ngã tay chèo " Trang 2
3. BD HSG – Toán 8 ĐT: 0905.884.951 – 0929.484.951 2 b) Ta có A m222 n p 4 m 22222 n m n p 2 mn m 222 n p 2 mn m n 2 p2 m n 2 p 2 mnpmnpmnpmnp . m n p 0 m n p 0 Vì m , n , p là độ dài ba cạnh của một tam giác nên A 0 . m n p 0 m n p 0  Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 3. (4,0 điểm) a) Cho a , b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng ab a b 1 chia hết cho 48 . b) Cho a và b là các số tự nhiên của hai số tự nhiên thỏa mãn 2a2 a 3 b 2 b . Chứng minh rằng: a b và 3a 3 b 1 là các số chính phương. a) Theo đề a 2 k 1 2 , b 2 k 1 2 với k . Ta có: ababab 1 1 1211211161 k 2 k 2 kkk 2 1 Vì k 1; k ; k 1 là ba số nguyên liên tiếp nên k 1 k k 1  3 16 k 1 k2 k 1  48 .  Vậy bài toán được chứng minh. b) Ta có: 2a2 a 3 b 2 b 3 a2 b 2 a b a 2 a b 3 a 3 b 1 a2 . Gọi d ƯCLN a b,3 a 3 b 1 (với d là số tự nhiên). Khi đó:  3 a b 3 a 3 b 1  d 6a 1  d 1 .  a2 d 2 a d 2 . Từ 1 và 2 , suy ra: 1  d d 1, nên a b,3 a 3 b 1 1 .  Từ và , suy ra: a b và 3a 3 b 1 đều là các số chính phương. Bài 4. (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P . a) Tứ giác AMDB là hình gì? b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng AB , AD . Chứng minh EF AC và ba điểm E , F , P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỷ số hai cạnh liên tiếp của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P . PD 9 d) Giả sử CP BD và CP 2,4 cm ; . Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật PB 16 ABCD . Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD . a) Vì O , P lần lượt là trung điểm của AC và CM OP là đường trung bình của ACM OP AM AM BD tứ giác AMDB là hình thang. b)  Ta có: FEA MAE (vì AEMF là hình chữ nhật) DBA BAC (vì ABCD là hình chữ nhật) MAE DBA (vì AM BD và cặp góc MAE , DBA so le trong) GV: Lê Hồng Quốc " Lửa thử vàng, gian nan thử sức " Trang 3
4. BD HSG – Toán 8 ĐT: 0905.884.951 – 0929.484.951 Do đó FEA BAC , mà FEA và BAC là cặp góc đồng vị EF AC 1 .  Gọi I là tâm hình chữ nhật AEMF . Vì I , P lần lượt là trung điểm của MA và MC IP là đường trung bình của ACM IP AC 2 . Lại có E , I , F thẳng hàng 3 . Từ 1 , 2 và 3 ba điểm E , F , P thẳng hàng. c) Xét AEF và BAC , ta có: AEF BAC (cmt); EAF ABC 90  . AE BA Suy ra AEF BAC (g - g) AF BC BA AE Mà không đổi không đổi. BC AF  Vậy yêu cầu bài toán được chứng minh. d) Ta có CBD DCP (g - g) CP PB 9PB CP2 PB  PD CP2 PB  PD CP 16 16CP 2 16 2,42 PB2 PB2 10,24 9 9 PB 3,2 cm PD 1,8 cm BD 5 cm . Áp dụng định lí Pytago cho các tam giác vuông BCP và CDP , tính được: BC 4 cm ; CD 3 cm . Khi đó  CABCD 2 BC CD 2 4 3 24 cm 2  SABCD BC  CD 4  3 12 cm . Bài 5. (3,0 điểm) Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác ABC . Tia AO cắt BC tại D . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho DE DB ; trên cạnh AC lấy điểm F sao cho DF DC . a) Chứng minh: DA là tia phân giác của EDF . b) DE cắt OB tại I ; DF cắt OC tại K . Tam giác IOK là tam giác gì? Vì sao? a) Vì O là giao điểm ba đường trung trực OA OB OC AOB , BOC , COA là       các tam giác cân tại O AB1 1 1 ; BC2 1 2 ; CA2 2 3 . Vì DE DB DBE cân tại D DBE DEB    B1 B 2 A 1 ADE 4 .  Từ 3 và 4 suy ra B2 ADE 5 .  Tương tự ta chứng minh được C1 ADF 6 . Từ 5 và 6 DA là tia phân giác của EDF . b) Chứng minh được: OBD ODI OD2 OI  OB . 2 OCD ODK OD OK  OC OI OB OK  OC mà OB OC OI OK IOK cân tại O . GV: Lê Hồng Quốc " Chớ thấy sóng cả mà ngã tay chèo " Trang 4
5. BD HSG – Toán 8 ĐT: 0905.884.951 – 0929.484.951 Bài 6. (1,0 điểm) Cho tam giác OAB có O 120  , OA a , OB b và đường phân giác của góc O là OC c . 1 1 1 Chứng minh: . a b c Qua A vẽ đường thẳng song song với OC cắt OB tại D OAD đều AD DO a . BD AD Vì AD CO nên BO CO a b a a a 1 1 1 1 . b c b c a b c ----------  CHÚC CÁC EM MAY MẮN  ---------- GV: Lê Hồng Quốc " Lửa thử vàng, gian nan thử sức " Trang 5