Đề cương ôn tập Toán Lớp 8 - Chương 4: Định lí Ta-Lét

Nội dung text: Đề cương ôn tập Toán Lớp 8 - Chương 4: Định lí Ta-Lét

1. CHƯƠNG 4. ĐỊNH LÍ THALÈS Bài 1. ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC. I. LÝ THUYẾT. 1 1) Đoạn thẳng tỉ lệ. Ví dụ 1: Cho các đoạn thẳng ở Hình 1. A B AB 3 Nếu chọn độ dài đoạn trên cùng là 1. Thì tỉ số . C D CD 4 Kết luận: Hình 1 . Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo. Ví dụ 2: Cho bốn đoạn thẳng AB 2cm, CD 4cm, EF 5cm, MN 10cm AB 2 1 EF 5 1 Khi đó ta có hai tỉ số và . Thấy rằng hai tỉ số này bằng nhau CD 4 2 MN 10 2 AB EF Nên tạo thành một tỉ lệ thức . CD MN Kết luận: . Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' và C 'D' nếu có tỉ lệ AB A'B' AB CD thức hay . CD C 'D' A'B' C 'D' 2) Định lí Talès trong tam giác. Ví dụ 3: Cho ΔABC , từ điểm M AB vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N . Như Hình 2. Khi đó hãy tính các tỉ số sau AM AN a) và AB AC A AM AN b) và MB NC M N MB NC c) và AB AC B C Giải Hình 2 AM 2 AN 2 AM AN a) Ta được và AB 3 AC 3 AB AC AM AN AM AN b) Ta được 2 và 2 MB NC MB NC MB 1 NC 1 MB NC c) Ta được và AB 3 AC 3 AB AC Kết luận: . Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. ( Định lí Talès thuận) . Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại. ( Định lí Talès đảo) 1
2. Ví dụ 4: Cho ΔABC và DE∥ AC như Hình 3. A Lập các tỉ số theo định lí Talès. Giải D BD BE DA EC BD BE ΔABC có DE∥ AC nên ; ; . BA BC AB BC DA EC B E C Ví dụ 5: Cho Hình 4. Chứng minh rằng MN ∥ AB. Hình 3 Giải A AM BN Ta có AM MC 1 và BN NC 1 MC NC M AM BN ΔABC có 1 MN ∥ AB. MC NC II. LUYỆN TẬP. B N C Bài 1: Tìm x trong các hình sau Hình 4 A B B x 3 2 x EF // BC 1 2 M N M H E F x 4 1 1 2 3 B C A C A C Hình 5 Hình 6 Hình 7 Giải AE AF 2 x Hình 5. ΔABC có EF ∥BC x 2. EB FC 1 1 HM  AB BH BM 1 2 Hình 6. Vì HM ∥ AC x 4. AC  AB HA MC 2 x Hình 7. Vì N· MA M· AC mà N· MA, M· AC so le trong MN ∥ AC BN BM x 3 9 Khi đó x . NA MC 3 4 4 Bài 2: Cho ΔABC có trung tuyến AM . Qua trọng tâm G kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E. ( Hình 8) A AD 2 a) Chứng minh AB 3 b) Chứng minh AE 2EC. D G E Giải C AD AG 2 B M a) ΔABM có DG∥BM Hình 8 AB AM 3 AE AG b) ΔAMC có GE∥MC 2 AE 2EC. EC GM 2
3. Bài 3: Cho Hình 9. Biết AB 9, AC 12, IB 6, KC 8. B Chứng minh IK ∥BC. 6 Giải 9 IB 6 2 KC 8 2 I ΔABC có và AB 9 3 AC 12 3 A K 8 C IB KC Nên IK ∥BC. 12 AB AC Hình 9 III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1: Viết các hệ thức theo Định lí Talès trong các hình sau: B A B E Q N A D C B M C C H A Hình 1 Hình 2 Hình 3 Bài 2: Cho Hình 4. Chứng minh DE∥ AC. A C 4 A 3 B 10 M 6 D 3 4 6 I O 3,5 4 B E C 2 A N B 7 C 5 Hình 6 Hình 4 Hình 5 Bài 3: Cho Hình 5. Chứng minh BC ∥MN . Bài 4: Cho Hình 6. Chứng minh AB∥IO. Bài 5: Cho hình thang ABCD có AB∥CD . Lấy điểm I trên cạnh AB, từ I kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC, BC lần lượt tại O và K . ( Hình 7) AI AO a) Chứng minh . A B ID OC AO BK I K b) Chứng minh O OC KC c) Chứng minh AI .KC ID.BK D C Hình 7 Bài 6: Cho Hình 8. M N a) Trên tia AC lấy D sao cho AD 2 2 3 Trên tia AB lấy E sao cho AE 3. Chứng minh MN ∥DE A 6 b) Chứng minh MN ∥BC. 4 B C Hình 8 3
4. Bài 7: Cho ΔABC, AD là đường trung tuyến, M là điểm nằm trên A đoạn AD. BM cắt AC tại E, CM cắt AB tại F . Lấy điểm N trên tia đối của tia DM sao cho DN DM . Chứng minh EF ∥BC. F E ( Hình 9) M Bài 8: Cho ΔABC . Điểm O nằm trong tam giác. Lấy điểm D trên C OA, từ D kẻ DE∥ AB E OB và DF ∥ AC F OC B D OE OD A a) Chứng minh . ( Hình 10) N OB OA Hình 9 OF OD D b) Chứng minh . OC OA c) Chứng minh EF ∥BC. E O F B C Bài 9: Cho ΔABC có AD là trung tuyến. Hình 10 Trọng tâm là điểm G, đường thẳng đi qua G cắt AB, AC lần lượt tại E, F . Từ B và C kẻ các đường thẳng song song với EF cắt AD lần lượt tại M , N . ( Hình 11) BE MG a) Chứng minh . A A AE AG BE CF b) Chứng minh 1. AE AF F N G G E M M H B D C B O C N K Hình 11 Hình 12 Bài 10: Cho ΔABC có trung tuyến AO , trọng tâm G, đường thẳng đi qua G cắt AB, AC lần lượt tại M , N . Từ B, C kẻ các đường thẳng song song với MN cắt AO lần lượt tại H, K . AB AC Chứng minh 3. ( Hình 12) AM AN 4
5. Bài 2. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC I. LÝ THUYẾT. 1) Định nghĩa đường trung bình của tam giác. A Ví dụ 1: Cho ΔABC , Lấy M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC. ( Hình 1) M N Khi đó đoạn thẳng MN gọi là đường trung bình của ΔABC. Kết luận: . Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm B C Hình 1 Hai cạnh của tam giác. Ví dụ 2: Hãy chỉ ra đường trung bình của tam giác trong các hình sau Giải Hình 2. A B IK là đường trung bình ΔABC. KH là đường trung bình ΔABC. I K E M Hình 3. MD là đường trung bình ΔABC. B H C A D C DE là đường trung bình ΔABC. Hình 2 Hình 3 2) Tính chất đường trung bình của tam giác. Kết luận: . Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó BC Cụ thể: ΔABC có MN là đường trung bình thì MN ∥BC và MN ( Hình 1). 2 . Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trong điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trong điểm của cạnh thứ ba. DA DB A Cụ thể: ΔABC có AE CE. ( Hình 4). DE∥BC Lúc này DE sẽ là đường trung bình ΔABC. D E Ví dụ 3: Cho ΔABC , M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại D. ( Hình 5) B C a) Chứng minh MD AN . Hình 4 b) Chứng minh MDCN là hình bình hành. A Giải MA MB M a) ΔABC có BD DC hay D là trung điểm BC. N MD∥ AC AC Nên DM là đường trung bình ΔABC MD AN . B D C 2 Hình 5 b) Tứ giác MDCN có MD∥ NC, MD NC nên là hình bình hành. II. LUYỆN TẬP. 5
6. Bài 1: Tìm số đo x trong các hình sau: A A A 3 I M N 12 9 D x x x B C B E C B K C Hình 6 Hình 7 Hình 8 Giải MA MB Hình 6. ΔABC có MN là đường trung bình BC 2MN x 2.3 6 NA NC DA DB AC 12 Hình 7. ΔABC có DE là đường trung bình DE 6 EB EC 2 2 Hình 8. Ta có µA Iµ mà µA , Iµ đồng vị nên IK ∥ AC IB IA AC 9 ΔABC có KB KC hay IK là đường trung bình IK IK ∥ AC 2 2 Bài 2: Cho ΔABC cân tại A, đường cao AM , N là trung điểm của AC . Từ A kẻ tia Ax song song với BC cắt MN tại E. ( Hình 9) A E x a) Chứng minh MB MC. b) Chứng minh ME∥ AB. N c) Chứng minh AE MC. Giải a) ΔABC cân tại A nên AM vừa là đường cao cũng là B M C trung tuyến BM CM . Hình 9 MB MC b) ΔABC có MN là đường trung bình MN ∥ AB hay ME∥ AB. NA NC c) Tứ giác ABME có AE∥BM , AB∥ME nên ABME là hình bình hành AE BM MC. A Bài 3: Cho ΔABC có trung tuyến AM . Trên AC lấy điểm E, F sao cho AE EF FC, BE cắt AM tại O. ( Hình 10) E a) Chứng minh OEFM là hình thang. O F b) Chứng minh BO 3.OE Giải B M C EF FC a) ΔBCE có MF là đường trung bình MF ∥BE Hình 10 BM MC Nên tứ giác OEFM là hình thang. 6
7. EA EF 1 b) ΔAMF có OA OM nên OE là đường trung bình OE MF mà OE∥MF 2 1 1 1 1 3 MF BE OE . BE BE OB BE BO 3OE. 2 2 2 4 4 III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. A M B Bài 1: Cho hình thang ABCD. Lấy M , N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA . ( Hình 1) Q N a) Chứng minh MN ∥ AC. b) Tứ giác MNPQ là hình gì? D P C Bài 2: Cho ΔABC có hai đường trung tuyến BM , CN cắt Hình 1 nhau tại G. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GB, GC. ( Hình 2) A a) Chứng minh MN IK . b) Tứ giác MNIK là hình gì? Bài 3: Cho hình thang ABCD có AB∥CD. Gọi M , N lần lượt N M G là trung điểm của AD và BC và MN ∥ AB. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của MN với BD và AC. Biết AB 6cm. ( Hình 3) I K B C a) Tính MI . Hình 2 b) Chứng minh MI KN . A B A B O M N I K K D E F C D C Hình 3 Hình 4 Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O. Trên cạnh CD DC lấy điểm E sao cho ED , AE cắt BD tại K . Từ O kẻ đường thẳng song song với AE 3 cắt CD tại F . ( Hình 4) a) Chứng minh OF là đường trung bình ΔACE. b) Chứng minh DE EF FC. c) Chứng minh KO KD. Bài 5: Cho ΔABC nhọn, đường cao AH . Kẻ HE, HF A lần lượt vuông góc với AB, AC. Lấy điểm M sao cho E là trung điểm của HM , điểm N sao cho F là trung N I điểm của HN . I là điểm điểm của MN . ( Hình 5) M a) Chứng minh ΔAMN cân. F E b) Chứng minh MN ∥EF . B H C c) Chứng minh AI  EF . Hình 5 7
8. Bài 6: Cho hình thang ABCD có AB∥CD , µA Dµ 900 và CD 2AB. Gọi H là hình chiếu của D trên AC và M , N lần lượt là trung điểm của HC, HD. A B a) Chứng minh MN AB. ( Hình 6) H b) Chứng minh ABMN là hình bình hành. c) Chứng minh B· MD 900 . N M D C Hình 6 Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD . Kẻ BK  AC. Lấy M , N lần lượt là trung điểm của AK, DC. Kẻ CI  BM I BM A B I và CI cắt BK tại E. ( Hình 7) E a) Chứng minh EB EK . M b) Chứng minh MNCE là hình bình hành. K c) Chứng minh MN  BM . D N C Hình 7 Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2AD. Vẽ BH  AC. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của AH, BH, CD. A B a) Chứng minh MNCP là hình bình hành. ( Hình 8) b) Chứng minh MP  BM . M I N J c) Gọi I là trung điểm của BP , J là giao điểm H của MC và NP. Chứng minh IJ ∥HN . D P C Hình 8 Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có AB 2AD. Gọi M M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD ( Hình 9) A B a) Chứng minh AMND là hình thoi. E F b) Chứng minh AN ∥MC. c) Gọi E là giao điểm của AN và DM , F là giao D N C điểm của MC với BN . Chứng minh EF ∥DC. Hình 9 d) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để MENF là hình vuông. Bài 10: Cho ΔABC . Lấy các điểm D, E lần lượt trên AB, AC A sao cho BD CE. Gọi M , N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE và BC. ( Hình 10) D I E a) Chứng minh MK IN . b) Chứng minh MN  IK . M N Bài 11: Cho ΔABC cân tại A, đường cao AH . B C Gọi D là hình chiếu của H trên AC. Lấy I, J A K Hình 10 lần lượt là trung điểm của HD, DC . ( Hình 11) a) Chứng minh IJ  AH . b) Chứng minh AI  BD. D I J B H C Hình 11 8
9. Bài 12: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M thay đổi trên đoạn AB M A, B . Vẽ các hình vuông AMCD và BMEF về cùng một phía đối với AB. ( Hình 12) E F a) Chứng minh AE BC, AE  BC. b) Gọi G, I, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, N CE, EB . Chứng minh GINK là hình vuông D C K I A M G B Hình 12 9
10. Bài 3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC I. LÝ THUYẾT. 1) Tính chất đường phân giác của tam giác. A Ví dụ 1: Cho ΔABC , tia phân giác B· AC cắt BC tại D. BD BA BD DC Khi đó ta có các tỉ số sau hoặc . DC CA BA CA Kết luận: B D C . Trong một tam giác, đường phân giác của một góc Hình 1 chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng đó. BD BA . Trong ΔABC nếu D BC và thỏa mãn thì AD là đường phân giác của µA. DC CA Ví dụ 2: Cho ΔABC có BE là tia phân giác ·ABC. A AE Tìm tỉ số bằng với tỉ số . AB E Giải AE CE BE là phân giác ΔABC nên . AB CB B C Hình 2 Ví dụ 3: Cho Hình 3.Tìm số đo x. Giải A · x ΔABC có BD là đường phân giác ABC D AD CD x 3 9 3 Nên x . 3 AB BC 3 5 5 . Đường phân giác góc ngoài của một tam giác cũng có B 5 C tính chất tương tự. Cụ thể: ( Hình 4) Hình 3 A ΔABC có AD là tia phân giác góc ngoài. 1 DB BA DB DC 2 hoặc DC CA BA CA C II. LUYỆN TẬP. D B Bài 1: Cho ΔABC cân tại C có AB 3cm, AC 5cm. Đường Hình 4 phân giác AD cắt đường trung tuyến CM tại I . ( Hình 5) A IC a) Tính tỉ số . D IM M I CD b) Tính tỉ số . CB B C Giải Hình 5 AB 3 a) Ta có MA MB . và ΔABC cân tại C nên AC BC 5cm 2 2 IC IM IC BC 3 10 ΔBMC có BI là đường phân giác nên 5: . BC BM IM BM 2 3 10