Đề cương ôn tập Toán Lớp 8 - Chương 3: Tứ giác

Nội dung text: Đề cương ôn tập Toán Lớp 8 - Chương 3: Tứ giác

1. CHƯƠNG 3. TỨ GIÁC. Bài 1. TỨ GIÁC I. Lí THUYẾT. 1) Tứ giỏc lồi. C Vớ dụ 1: Cho cỏc hỡnh sau B Ở Hỡnh 1, Hỡnh 2 đều được gọi là B cỏc tứ giỏc. A D A D Kết luận: Hỡnh 1 C Hỡnh 2 . Tứ giỏc ABCD là hỡnh gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đú khụng cú hai đoạn thẳng nào cựng nằm trờn một đường thẳng. . Tứ giỏc lồi là tứ giỏc mà hai đỉnh thuộc một cạnh bất kỡ luụn nằm về một phớa của đường thẳng đi qua hai đỉnh cũn lại. Cụ thể: Hỡnh 1 là tứ giỏc lồi, Hỡnh 2 khụng phải là tứ giỏc lồi. Chương trỡnh học chỳng ta chỉ xột đến bài toỏn là cỏc tứ giỏc lồi. . Trong tứ giỏc ABCD thỡ cỏc điểm A, B, C, D là cỏc đỉnh, cỏc đoạn thẳng AB, BC, CD, DA là cỏc cạnh. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau gọi là đường chộo, như đường chộo AC, BD. Hai đường chộo cắt nhau tại một điểm nằm giữa mỗi đường. . Trong tứ giỏc ABCD ở Hỡnh 1 ta cú cỏc gúc ãABC, Bã CD, Cã DA, Dã AB cú thể viết gọn là à à à à A, B , C , D. B Vớ dụ 2: Hỡnh 3 khụng phải là một tứ giỏc vỡ hai đoạn thẳng BC, CD cựng nằm trờn một đường thẳng. C Vớ dụ 3: Tứ giỏc ABCD ở Hỡnh 4 khụng phải là tứ giỏc lồi vỡ hai đỉnh A, D nằm về hai phớa A D của đường thẳng BC. Hỡnh 3 B 2) Tổng cỏc gúc của một tứ giỏc. Vớ dụ 4: Cho tứ giỏc ABCD như Hỡnh 4 Kẻ đường chộo AC khi đú tổng số đo 4 gúc của tứ giỏc ABCD là C ã à ã à à à à ả à ả BAD B BCD D A1 B C1 C2 D A2 0 0 0 A D 180 180 360 . Hỡnh 4 Kết luận: . Tổng cỏc gúc của một tứ giỏc bằng 3600. C 1 2 B 1 2 A D Hỡnh 5 1
2. II. LUYỆN TẬP. Bài 1: Tớnh số đo x trong cỏc hỡnh sau C G x 880 N P B x x F 1250 x 0 0 800 700 670 108 108 A D E H M Q Hỡnh 6 Hỡnh 7 Hỡnh 8 Giải Hỡnh 6. Tứ giỏc ABCD cú àA Bà Cà Dà 3600 800 1250 x 700 3600 x 850. Vậy x 850 . Hỡnh 7. Tứ giỏc EFGH cú Eà Fà Gà Hả 3600 900 x 880 670 3600 x 1150 . Vậy x 1150 . Hỡnh 8.Tứ giỏc MNPQ cú Mả Nà Pà Qà 3600 1080 x x 1080 3600 2x 1440 x 720 . Vậy x 720. Bài 2: Cho Hỡnh 9. A 1 a) Tớnh ãABC 750 à B b) Tớnh A1. Giải a) Ta cú ãABC 750 1800 ( kề bự) 750 ãABC 1800 750 1050. D C b) Tứ giỏc ABCD cú Bã AD ãABC Cà Dà 3600 Hỡnh 9 ã 0 0 0 0 ã 0 à 0 BAD 105 90 75 360 BAD 90 AB  AD A1 90 . Bài 3: Cho tứ giỏc ABCD cú hai tia phõn giỏc Dà, Cà cắt A nhau tại I sao cho Ià 900. Tớnh Cà Dà ( Hỡnh 10) B Giải I ΔIDC cú Ià IãDC IãCD 1800 900 IãDC IãCD 1800 IãDC IãCD 900. Vỡ DI, CI lần lượt là cỏc tia phõn giỏc Dà, Cà nờn D C Hỡnh 10 Dà 2.IãDC, Cà 2.IãCD Cà Dà 2.IãDC 2.IãCD 2 IãDC IãCD 2.900 1800 . 2
3. III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1: Tớnh số đo x trong cỏc hỡnh sau B A 1000 D C x x B x A x 1100 C 500 1200 2x 2x D C A B Hỡnh 3 Hỡnh 1 Hỡnh 2 D D Bài 2: Tứ giỏc ABCD cú àA Cà 900. BE là tia đối của tia BA. ( Hỡnh 4) C a) Tớnh Dà ãABC. à à 1 b) So sỏnh D và B1 . A B E Hỡnh 4 Bài 3: Tứ giỏc ABCD cú AC là tia phõn giỏc B Bã AD và Dã AC 400 , Bà Dà 900 ( Hỡnh 5) C Tớnh Bã CD. à 0 à 0 400 Bài 4: Cho tứ giỏc ABCD cú A 72 , D 68 . A D Hỡnh 5 Hai tia phõn giỏc Bà, Cà cắt nhau tại M . C B Tớnh Bã MC. ( Hỡnh 6) Bài 5: Cho tứ giỏc ABCD cú Bà Dà 1800 và CB CD. M 720 680 Trờn tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE AB. A D a) Chứng minh ΔABC ΔEDC ( Hỡnh 7) Hỡnh 6 C B b) Chứng minh AC là tia phõn giỏc Bã AD. Bài 6: Cho Hỡnh 8. Biết Bà 800 E a) Chứng minh Dà Eà. A D b) Tớnh tổng số đo hai gúc đối nhau của tứ giỏc ABCE. Hỡnh 7 A E D 800 B C Hỡnh 8 3
4. Bài 2. HèNH THANG CÂN. I. Lí THUYẾT. 1) Hỡnh thang, hỡnh thang cõn. A B Vớ dụ 1: Cho tứ giỏc ABCD cú AB∥CD như Hỡnh 1 Khi đú tứ giỏc ABCD gọi là hỡnh thang. Kết luận: . Hỡnh thang là tứ giỏc cú hai cạnh đối song song. D H C . Hai cạnh song song AB, CD gọi là hai cạnh đỏy. Hỡnh 1 . Hai cạnh cũn lại AD, BC gọi là hai cạnh bờn. . Đường vuụng gúc từ B xuống CD là BH gọi là đường cao A B Vớ dụ 2: Hỡnh thang ABCD như Hỡnh 2 cú Hai gúc Dà Cà nờn gọi là hỡnh thang cõn. Kết luận: D C . Hỡnh thang cõn là hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau Hỡnh 2 . Trong hỡnh thang cõn hai gúc kề một đỏy bằng nhau. . Trong hỡnh thang cõn, hai cạnh bờn bằng nhau. Cụ thể AD BC. . Trong hỡnh thang cõn, hai đường chộo bằng nhau. Cụ thể AC BD. 2) Dấu hiệu nhận biết hỡnh thang cõn. A B . Nếu một hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau thỡ đú là hỡnh thang cõn. Cụ thể hỡnh thang ABCD cú AC BD thỡ hỡnh thang ABCD là hỡnh thang cõn. Vớ dụ 3: Cho hỡnh thang ABCD cú AD∥BC hai đường chộo D C AC, BD cắt nhau tại O . Biết OC OB . Chứng minh hỡnh thang Hỡnh 3 ABCD là hỡnh thang cõn. ( Hỡnh 4) Giải B C Vỡ OB OC ΔOBC là tam giỏc cõn. Oã BC Oã CB . O Lại cú BC ∥ AD Oã BC Oã DA ( so le trong) A D và Oã CB Oã AD ( so le trong) nờn Oã AD Oã DA Hỡnh 4 ΔOAD cõn nờn OA OD Khi đú BD BO OD OC OA AC. Vậy hỡnh thang ABCD là hỡnh thang cõn. A B II. LUYỆN TẬP. 750 Bài 1: Cho Hỡnh 5. a) Chứng minh ABCD là hỡnh thang. b) Số đo x bằng bao nhiờu thỡ ABCD là hỡnh thang cõn. x 750 D C Giải Hỡnh 5 a) Ta cú Bà Cà 750 mà Bà, Cà là hai gúc so le trong nờn AB∥CD ABCD là hỡnh thang. 4
5. b) Để ABCD là hỡnh thang cõn thỡ Dà Cà 750 x 750 . Bài 2: Cho Hỡnh 6. A B a) Cho biết hỡnh thang ABCD là hỡnh thang gỡ? b) Tớnh àA , Bà . Giải 650 650 D C a) Hỡnh thang ABCD cú Cà Dà 650 nờn là hỡnh thang cõn. Hỡnh 6 b) ABCD là hỡnh thang nờn AB∥CD àA Dà 1800 ( trong cựng phớa) àA 650 1800 àA 1150 Bà. Bài 3: Cho hỡnh thang ABCD như Hỡnh 7. biết AC BD. a) Hỡnh thang ABCD là hỡnh thang gỡ? b) Chứng minh ãADB Dã AC. B C Giải a) Hỡnh thang ABCD cú hai đường chộo AC BD nờn là hỡnh thang cõn. b) ABCD là hỡnh thang cõn nờn AB CD A D Xột ΔBAD và ΔCDA cú Hỡnh 7 AD là cạnh chung AB CD ( chứng minh trờn) BD AC ( giả thiết) ΔBAD ΔCDA c c c ãADB Dã AC ( hai gúc tương ứng) Bài 4: Cho ΔABC , hai đường phõn giỏc gúc Bà, Cà cắt nhau A tại O . Qua O kẻ đường thẳng song song với BC , đường thẳng này cắt AB, AC lần lượt tại M và N . ( Hỡnh 8) a) Tứ giỏc BCOM , BCNO là cỏc hỡnh gỡ? M O N b) Chứng minh MN MB NC. Giải C a) Tứ giỏc BCOM cú OM ∥BC nờn là hỡnh thang. B Hỡnh 8 Tứ giỏc BCNO cú ON ∥BC nờn là hỡnh thang. b) Vỡ MO∥BC Mã OB Oã BC ( so le trong) Mà Oã BC Oã BM nờn Mã OB Oã BM ΔMBO cõn tại M MO MB Chứng minh tương tự ΔNOC cõn tại N NO NC Khi đú MN MO NO BM NC. A B III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1: Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AB∥CD và AB CD , biết AD BC ( Hỡnh 1) a) Chứng minh AB BC. D C b) Chứng minh DB là phõn giỏc ãADC. Hỡnh 1 5
6. Bài 2: Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AB∥CD. Lấy M , N lần lượt là trung điểm CD, AB. a) Chứng minh AM BM . ( Hỡnh 2) b) Chứng minh MN là đường cao của hỡnh thang. A A B A N B E D D H K C D M C Hỡnh 4 Hỡnh 2 B C Hỡnh 3 Bài 3: Cho ΔABC cõn tại A, hai đường trung tuyến BD, CE a) Chứng minh ΔAED là tam giỏc cõn. ( Hỡnh 3) b) Chứng minh tứ giỏc BCDE là hỡnh thang cõn. Bài 4: Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AB∥CD và AB CD , hai đường cao AH, BK . a) Chứng minh ΔAHD ΔBKC. ( Hỡnh 4) b) Chứng minh AB HK . DC AB O c) Chỉ ra KC . 2 Bài 5: Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AB∥CD và AB CD. Gọi O là giao điểm của AD và BC , E là giao điểm của AC A B và BD. ( Hỡnh 5) E a) Chứng minh ΔOAB cõn tại O. b) Chứng minh ΔABD ΔBAC. D C Hỡnh 5 c) Chứng minh EC ED. d) O, E và trung điểm của DC thẳng hàng. 6
7. Bài 3. HèNH BèNH HÀNH. I. Lí THUYẾT. 1) Hỡnh bỡnh hành và tớnh chất. A B Vớ dụ 1: Cho tứ giỏc ABCD cú AB∥CD và AD∥BC Như hỡnh 1 nờn tứ giỏc ABCD gọi là một hỡnh bỡnh hành. Kết luận: D C . Hỡnh bỡnh hành là tứ giỏc cú cỏc cạnh đối song song. Hỡnh 1 . Trong hỡnh bỡnh hành thỡ: + Cỏc cạnh đối bằng nhau AB CD và AD BC. A B + Cỏc gúc đối bằng nhau àA Cà, Bà Dà. + Hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường: O OA OC, OB OD. D C Hỡnh 2 2) Dấu hiệu nhận biết: . Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối bằng nhau là một hỡnh bỡnh hành. . Tứ giỏc cú một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là một hỡnh bỡnh hành. . Tứ giỏc cú cỏc gúc đối bằng nhau là một hỡnh bỡnh hành. . Tứ giỏc cú hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hỡnh bỡnh hành. Vớ dụ 2: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Từ A, C hạ AH, AK lần lượt vuụng gúc với BD. Chứng minh tứ giỏc AHCK cũng là hỡnh bỡnh hành. Giải Vỡ ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn AD BC A B và AD∥BC ãADH Cã BK ( so le trong) K Xột ΔAHD và ΔCKB cú: Hả Kà 900 H D C AD BC ( giả thiết) Hỡnh 3 ãADH Bã CK ( chứng minh trờn) ΔAHD ΔCKB ( cạnh huyền – gúc nhọn) AH CK ( hai cạnh tương ứng) và AH ∥CK vỡ cựng vuụng gúc với BD Vậy tứ giỏc AHCK là hỡnh hỡnh hành. II. LUYỆN TẬP. Bài 1: Cho hỡnh hỡnh hành ABCD như Hỡnh 4. B C ã 0 Biết BAD 120 và O là trung điểm của BD O a) Tớnh số đo cỏc gúc cũn lại của hỡnh bỡnh hành. b) Chứng minh rằng A, O, C thằng hàng. A D Giải Hỡnh 4 a) ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn Bã AD Bã CD 1200. và BC ∥ AD ãABC Bã AD 1800 ( hai gúc trong cựng phớa) ãABC 1200 1800 ãABC 600 ãADC. 7
8. b) ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn AC, BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà O là trung điểm của BD nờn O là trung điểm của AC A, O, C thẳng hàng. Bài 2: Cho ΔABC cõn ở A cú điểm D trờn cạnh BC. A Kẻ DM ∥ AC, DN ∥ AB. ( Hỡnh 5) a) Chứng minh AMDN là hỡnh bỡnh hành. N b) ΔBDM là tam giỏc gỡ? M c) So sỏnh DM DN với AB. Giải a) AMDN cú AM ∥DN, AN ∥MD nờn là hỡnh bỡnh hành. B D C b) ΔABC cõn tại A Bà Cà Hỡnh 5 Mà MD∥AC Cà Bã DM ( đồng vị) Bà Bã DM ΔBDM cõn tại M . c) ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn DN AM ΔBDM cõn tại M MB MD . Vậy DM DN BM AM AB. Bài 3: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AB AD. Tia phõn giỏc của Bà, Dà lần lượt cắt AD, BC tại M , N . ( Hỡnh 6) B N a) ΔABM là tam giỏc gỡ? C b) Chứng minh tứ giỏc BMDN là hỡnh bỡnh hành. Giải a) ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn BC ∥ AD A M D ã ã AMB MBC ( so le trong) Hỡnh 6 Mà Mã BC Mã BA nờn ãAMB ãABM ΔABM cõn tại A. 1 1 b) ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn Bà Dà Bà Dà Nã BM Nã DM 2 2 Mà BN ∥MD Bã MD Mã BN 1800 ( trong cựng phớa) Và Bã ND Nã DM 1800 ( trong cựng phớa) Suy ta Bã ND Bã MD . Tứ giỏc BMDN cú cỏc gúc đối bằng nhau nờn là hỡnh bỡnh hành. III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. B C Bài 1: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Trờn cạnh AB lấy điểm M , trờn cạnh CD lấy điểm N sao cho AM CN . M N a) Chứng minh AMCN là hỡnh bỡnh hành. ( Hỡnh 1) A D b) Chứng minh DMBN là hỡnh bỡnh hành. Hỡnh 1 A Bài 2: Cho ΔABC , lấy M là trung điểm của BC, trờn tia AM lấy điểm D sao cho AM MD . Chứng minh tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành. ( Hỡnh 2) B M C Hỡnh 2 D 8
9. Bài 3: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AB AD. Từ A vẽ A K B đường thẳng vuụng gúc với BD cắt DC tại H , từ C vẽ đường thẳng vuụng gúc với BD cắt AB tại K . ( Hỡnh 3) O a) Chứng minh AHCK là một hỡnh bỡnh hành. D H C b) Chứng minh O là trung điểm của BD thỡ O Hỡnh 3 cũng là trung điểm của HK . A Bài 4: Cho ΔABC cõn tại A, lấy điểm D bất kỳ trờn AB, lấy điểm E trờn tia đối của tia CA sao cho CE BD. Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F . D a) ΔDBF là tam giỏc gỡ? ( Hỡnh 4) C b) Chứng minh tứ giỏc DCEF là hỡnh bỡnh hành. B F Bài 5: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, gọi M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA . ( Hỡnh 5) Hỡnh 4 E a) Chứng minh MN PQ. B N C b) Chứng minh MNPQ là một hỡnh bỡnh hành. Bài 6: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú M , N lần lượt là trung M P điểm của AB, CD. AN và CM cắt BD lần lượt tại E và F . a) Chứng minh AMCN là hỡnh bỡnh hành. ( Hỡnh 6) A Q D b) Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt AN tại G. Hỡnh 5 Chứng minh BF FE ED. A F B C A K B B F N M M N N O O M E G D E C A D D E C Hỡnh 6 Hỡnh 7 Hỡnh 8 Bài 7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Gọi E, K lần lượt là trung điểm của CD và AB. Đường chộo BD cắt AE, AC, CK lần lượt tại N, O, M . ( Hỡnh 7) a) Chứng minh AECK là hỡnh bỡnh hành. b) Chứng minh ba điểm O, E, K thẳng hàng. c) Chứng minh DN NM MB. d) Chứng minh AE 3KM . Bài 8: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, hai đường chộo cắt nhau tại O. Lấy M , N lần lượt là trung điểm của OD, OB. E là giao điểm của AM và CD, F là giao điểm của CN và AB. a) Chứng minh AMCN là hỡnh bỡnh hành. ( Hỡnh 8) b) Chứng minh DE BF . 9
10. Bài 9: Cho ΔABC nhọn, cỏc đường cao BD, CE cắt nhau tại H . Đường vuụng gúc với AB tại B và đường vuụng gúc với AC tại C cắt nhau tại K . a) Chứng minh AH  BC.( Hỡnh 9) b) Chứng minh tứ giỏc BHCK là hỡnh bỡnh hành. A A A E D E E F H F H H C B C B G M C B M I K K K Q Hỡnh 9 Hỡnh 11 Hỡnh 10 Bài 10: Cho ΔABC nhọn cú AB AC. Cỏc đường cao BE, CF cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm của BC. Từ B kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB và từ C kẻ đường thẳng vuụng gúc với AC hai đường thẳng này cắt nhau tại K . ( Hỡnh 10) a) Chứng minh BHCK là hỡnh bỡnh hành b) Chứng minh H, M , K thẳng hàng. c) Từ H vẽ HG  BC . Trờn tia HG lấy I sao cho HG GI . Chứng minh tứ giỏc BIKC là hỡnh thang cõn. Bài 11: Cho ΔABC nhọn biết AB AC. Cỏc đường cao BE, CF cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia MH lấy điểm K sao cho MH MK . ( Hỡnh 11) a) Chứng minh tứ giỏc BHCK là hỡnh bỡnh hành. A b) Chứng minh BK  AB, CK  AC. E c) Chứng minh rằng ΔMEF là tam giỏc cõn. N d) Vẽ CQ  BK tại Q. Chứng minh EF  EQ. G Bài 12: Cho ΔABC nhọn, cỏc đường trung tuyến AM , BN cắt nhau tại G. Trờn tia BN lấy điểm E sao cho N là B M C trung điểm của EG. ( Hỡnh 12) F a) Chứng minh tứ giỏc AGCE là hỡnh bỡnh hành. Hỡnh 12 b) Trờn tia AM lấy điểm F sao cho AG GF . Chứng minh MG MF, BF ∥ AE. c) Để AECF là hỡnh thang cõn thỡ ΔABC cần thờm điều kiện gỡ? K Bài 13: Cho ΔABC cú O là trung điểm của AC. Trờn tia BO lấy điểm D sao cho OD OB.( Hỡnh 13) a) Chứng minh tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành. A I D b) Trờn cạnh BC lấy cỏc điểm M , N sao cho O BM MN NC. Tia NO cắt AD, AB lần lượt tại I và K . Chứng minh AI NC và AM ∥IN . B M N C Hỡnh 13 10