Đề cương ôn tập Toán Lớp 8 - Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Nội dung text: Đề cương ôn tập Toán Lớp 8 - Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

1. CHƯƠNG 2. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ ỨNG DỤNG Bài 1. HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG, BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU I. LÝ THUYẾT. 1) Hằng đẳng thức. Ví dụ 1: Khi thực hiện phép nhân a. a b ta được a. a b a2 ab Như vậy đẳng thức a. a b a2 ab là đẳng thức đúng và khi thay a, b bởi các giá trị khác nhau thì hai vế của đẳng thức luôn nhận giá trị bằng nhau. Kết luận: . Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong hằng đẳng thức bằng các số tùy ý. 2) Hiệu hai bình phương. Ví dụ 2: Thực hiện phép nhân a b a b ta được a b a b a2 b2 Như vậy a2 b2 a b a b gọi là hẳng đẳng thức hiệu hai bình phương. Tổng quát: . Với A, B là hai biểu thức tùy ý ta có A2 B2 A B A B Ví dụ 3: Tính nhanh 502 482 50 48 50 48 2.98 196. Ví dụ 4: Viết thành tích 4x2 25y2 2x 5y 2x 5y 3) Bình phương của một tổng. Ví dụ 5: Khi ta thức hiện phép tính a b 2 a b a b a2 2ab b2 Như vậy a b 2 a2 2ab b2 gọi là hẳng đẳng thức bình phương của một tổng Tổng quát: . Với A, B là hai biểu thức tùy ý ta có A B 2 A2 2AB B2 Ví dụ 6: Tính nhanh 2x 3y 2 4x2 2.6xy 9y2 4x2 12xy 9y2 Ví dụ 7: Viết gọn 9x2 12x 4 thành bình phương của một tổng 9x2 12x 4 3x 2 2.3x.2 22 3x 2 2 4) Bình phương của một hiệu. Ví dụ 8: Khi ta thực hiện phép tính a b 2 a b a b a2 2ab b2 Như vậy a b 2 a2 2ab b2 gọi là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu. 2 Ví dụ 9: Tính nhanh 2x2 1 4x4 2.2x2 1 4x4 4x2 1 Ví dụ 10: Viết gọn 9x2 24xy 16y2 thành bình phương của một hiệu 9x2 24xy 16y2 3x 2 2.3x.4y 4y 2 3x 4y 2 II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. 1
2. Bài 1: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức 1) x 1 2 2) 4 x 2 3) 6 x 2 4) x 5 2 5) 5x 1 2 6) 2x 3 2 7) 2x 1 2 8) 3x 2 2 9) x 2y 2 10) x 5y 2 11) x 2y 2 12) 2x y 2 13) 3x 5y 2 14) 2x 3y 2 15) 2x 3y 2 16) 2x 5y 2 2 2 2 2 17) x2 9 18) 2x2 1 19) x2 y2 20) 3x y2 2 2 2 2 21) x 2y2 22) 2x 3y2 23) 4x 2y2 24) 4x2 2y Bài 2: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức 1) x2 4 2) 1 4x2 3) 4x2 9 4) 9 25x2 5) 4x2 25 6) 9x2 36 7) 3x 2 y2 8) x2 2y 2 9) 2x 2 y2 2 4 2 2 10) 3x 9y 11)16x2 y2 12) x4 3y2 13) x 1 x 1 14) x 5 x 5 15) x 6 6 x 16) 2x 1 2x 1 17) x 2y 2y x 18) 5x 3y 3y 5x 1 1 3 3 x y x y 19) 5 5 20) x x 21) x x 2 2 3 4 3 4 x 2 x 2 x y y x 2 2 22) 23) 24) 2x 2x y 3 y 3 2 3 3 2 3 3 3 3 1 4 4 1 2 2 y 2 2 y 25) 2x 2x 26) x x 27) x x 5 5 2 3 3 2 3 2 3 2 28) 3x y2 3x y2 29) x2 2y x2 2y 30) x2 y2 x2 y2 Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: 1) 2x 1 2 2x 1 2 2) x 1 2 x 1 2 3) x 2y 2 x 2y 2 4) 3x y 2 x y 2 5) x 5 2 x 3 2 6) 3x 2 2 3x 1 2 7) x 4y 2 x 4y 2 8) 2x 3 2 5x 3 2 9) 2x 3 2 5x 3 2 10) 2x 1 2 3x 1 2 11) x y 2 2x y 2 12) x 1 2 x 1 2 13) 2x 7 2 2x 3 2 14) 2x y 2 x 3y 2 15) 2x 7 2 2x 3 2 Bài 4: Thực hiện phép tính 1) x 1 x x 1 2 2) x 3 2 x2 10x 7 3) x 2 2 x 3 x 1 4) x 4 x 2 x 3 2 5) x 2 2 x 1 x 5 6) x 3 x 3 x 23 x 7) 1 2x 5 3x 4 x 2 8) x 2 x 2 x 3 x 1 9) x 1 2 x 2 x 2 4x 10) x 2 2 x 3 x 3 10 2
3. 11) x 4 2 x 5 x 5 2x x 1 12) x 1 2 x 4 x 4 x 3 2 13) x 1 2 2 x 3 x 3 4x x 4 14) y 3 y 3 y2 9 y2 2 y2 2 Bài 5: Thu gọn về hằng đẳng thức: 1) 4x4 4x2 1 2) 4x2 12x 9 3) 36 x2 12x 4) 1 10x 25x2 5) x4 81 18x2 6) 4x2 20x 25 7) x2 4y4 4xy2 8) x2 10xy 25y2 9) 9y2 24xy 16x2 Bài 6: Thu gọn về hằng đẳng thức: 1) 2x 1 2 2 2x 1 1 2) 3x 2y 2 4 3x 2y 4 3) x 3 2 x 2 2 2 x 3 x 2 4) 3x 5 2 2 3x 5 3x 5 3x 5 2 5) x y 2 x y 2 2 x y x y 6) 5 x 2 x 5 2 2x 10 x 5 7) x 2 2 x 1 2 2 x 2 1 x 8) 2x 3y 2 2x 3y 2 2 4x2 9y2 Bài 7: Tính 1) A 8 32 1 34 1 ..... 316 1 2) B 1 3 3 1 32 1 34 1 ..... 316 1 3) C 5 1 5 1 52 1 54 1 ..... 516 1 4) D 15 42 1 44 1 ..... 464 1 5) E 24 52 1 54 1 58 1 ..... 5128 1 5256 1 Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau 1) A 2x 3 2 2x 1 2 6x tại x 201 2 1 2) B 2x 5 4 x 3 x 3 tại x 20 3) C x2 8xy 16y2 tại x 4 y 5 4) D 9x2 1620 12xy 4y2 tại 3x 2 y 20 Bài 9: Tìm x biết 1) x2 9 0 2) 25 x2 0 3) x2 36 0 4) 4x2 4 0 5) 4x2 36 0 6) 4x2 36 0 7) 3x 1 2 16 0 8) 2x 3 2 49 0 9) 2x 5 2 x2 0 10) x 3 2 x2 45 11) 5x 4 2 49x2 0 12)16 x 1 2 25 0 Bài 10: Tìm x biết 1) 2x 3 2 x 1 2 0 2) 2x 1 2 x 1 2 0 3) 3x 5 2 x 1 2 0 4) x 2 2 2x 5 2 0 5) 3x 1 2 x 5 2 0 6) 2x 3 2 x 5 2 0 7) 3x 4 2 x 2 2 0 8) 2x 1 2 3 x 2 0 9) 5x 1 2 x 1 2 0 3
4. Bài 11: Tìm x biết 1) 2x 1 2 4x2 1 0 2) x 2 2 x x 3 2 3) x 5 2 x x 2 5 4) x 1 2 x 4 x 11 5) x 3 x 3 x 5 2 6) 2x 1 2 4x x 1 17 7) 3x 1 2 9x x 2 25 8) 3x 2 3x 2 9 x 1 x 0 9) x 2 2 x 2 x 2 0 10) x 2 2 x 3 x 3 3 11) 3x 2 2 3x 5 3x 2 0 12) x 3 2 x 2 x 2 4x 17 13) 3 x 1 2 x 5 2 3x 25 14) x 3 2 x 2 2 2x2 Bài 12: Tìm x, y biết 1) x2 y2 4y 13 6x 2) x2 y2 17 2x 8y 3) x2 y2 45 12y 6x 4) 4x2 9y2 2 4x 6y 5) 9x2 4y2 26 4y 30x 6) 9x2 y2 20 12x 8y 7) x2 49y2 5 14y 4x 8) 16x2 25y2 13 20y 24x Bài 13: Chứng minh rằng với mọi x thì 1) A x2 x 1 0 2) B x2 x 1 0 3) C x2 2x 2 0 4) A x2 5x 10 0 5) B x2 8x 20 0 6) C x2 8x 17 0 7) A x2 6x 10 0 8) B 9x2 6x 2 0 9) C 2x2 8x 15 0 Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau 1) A x2 x 3 2) B x2 x 1 3) C x2 4x 1 4) D x2 5x 7 5) E x2 2x 2 6) F x2 3x 1 7) G 3 x2 3x 8) H 3x2 3 5x 9) I 4x 2x2 3 10) K 4x2 3x 2 11) M x 1 x 3 11 12) N x 3 2 x 2 2 Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau 1) A 4x x2 1 2) B 3 4x x2 3) C 8 x2 5x 4) D 4 x2 6x 5) E 10 x2 6x 6) F x2 13x 1 7) G 7 4x2 8x 8) H 4x2 12x 9) I 3x 9x2 1 10) K 7 9x2 8x 11) M 2x 4x2 7 12) N 4x2 4x 3 Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau 1) A 3x2 12x 1 2) B 9 4x 2x2 3) C 9x 2 3x2 4) D 2x 2 3x2 5) E 7x 3x2 5 6) F 2 2x2 9x 7) G 15 7x 5x2 8) H 10x 6x2 5 9) I 11 5x2 10x 10) K 3x2 6x 12 Bài 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau 4
5. 1) A x2 2x y2 4y 6 2) B 7 x2 y2 2 x y 3) C 2 x2 y2 2 x y 4) D x2 4x y2 2y 10 5) E 2x 2xy 2x2 y2 6) F x2 2y2 2xy 5 2y 7) G x2 x 2y2 4y 3 Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau 1) A x2 4x y2 2y 2) B 1 5x2 y2 4xy x 3) C x2 2x y2 4y 6 4) D x2 2x y2 4y 6 5) E x2 y2 2 x y 3 6) F x2 2xy 2y2 2y 1 5
6. Bài 2. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU. I. LÝ THUYẾT. 1) Lập phương của một tổng. Ví dụ 1: Khi tính a b 3 a b a b 2 a3 3a2b 3ab2 b3 Đẳng thức a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 gọi là hằng đẳng thức lập phương của một tổng. Ví dụ 2: Khai triển theo hằng đẳng thức x 2 3 x3 3.x2.2 3.x.4 8 x3 6x2 12x 8 Ví dụ 3: Thu gọn x3 12x2 48x 64 x3 3.x2.4 3.x.42 43 x 4 3 Kết luận: . Với hai biểu thức A và B tùy ý, ta có A B 3 A3 3A2B 3AB2 B3 . Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng A B 3 A3 B3 3AB A B 2) Lập phương của một hiệu. Ví dụ 4: Khi tính a b 3 a b a b 2 a3 3a2b 3ab2 b3 Đẳng thức a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 gọi là hằng đẳng thức lập phương của một hiệu. Ví dụ 5: Khai triển theo hằng đẳng thức x 3 3 x3 3.x2.3 3.x.9 27 x3 9x2 27x 27 Ví dụ 6: Thu gọn x3 6x2 12x 8 x3 3.x2.2 3.x.4 23 x 2 3 Kết luận: . Với hai biểu thức A và B tùy ý, ta có A B 3 A3 3A2B 3AB2 B3 . Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng A B 3 A3 B3 3AB A B II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức: 1) x 3 3 2) 1 x 3 3) 2 x 3 4) x 3 3 5) 2x 1 3 6) 3x 2 3 7) 2x 3 3 8) 3x 1 3 9) x 2y 3 10) 2x y 3 11) 3x y 3 12) x 3y 3 13) 2x 3y 3 14) 3x 2y 3 15) 3x 2y 3 16) 4x y 3 Bài 2: Viết gọn lại thành lập phương của một tổng hoặc một hiệu 1) x3 3x2 3x 1 2) x3 3x2 3x 1 3) x3 6x2 12x 8 4) x3 6x2 12x 8 5) x3 9x2 27x 27 6) x3 9x2 27x 27 7) 8x3 12x2 6x 1 8) x3 3x2 y 3xy2 y3 9) x3 6x2 y 12xy2 8y3 Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau 1) x 2 3 x 2 3 2) x 1 3 x 1 3 3) 1 x 3 x 3 3 4) x 2y 3 x 2y 3 5) y x 3 2x y 3 6) 2x y 3 2 y x 3 7) 2x 3 3 2x 2x 1 2 8) 3x 1 3 27x2 x 1 9) 2x 1 3 8x x 1 2 6
7. Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau 1) x 1 3 x 4 x 4 x3 2) x 2 3 x x 3 x 3 12x2 8 3) x 2 3 x x 2 x 2 6x x 3 4) x x 5 x 5 x 5 3 100x 5) x 3y 3 x 2y 2y x 6) x 2y 3 x 2y x x 2y 7) 2x y 3 x 2x y 2 y3 8) x x y 2 x y 3 y2 y 2x Bài 5: Tính giá trị của biểu thức 1) A x3 3x2 3x 1012 tại x 11. 2) B x3 6x2 12x 108 tại x 12 . 3 2 3) C x 9x 27x 2027 tại x 23 4) D x3 6x2 y 12xy2 8y3 tại x 2 y Bài 6: Tìm x biết 1) 8x3 12x2 6x 1 0 2) x3 6x2 12x 8 27 3) x2 8x 16 5 4 x 3 4) 2 x 3 6x x 2 5) x 1 3 x 1 3 6 x 1 2 10 6) 3 x 3 x 3 3 36x2 54x 7
8. Bài 3. TỔNG VÀ HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG. I. LÝ THUYẾT. 1) Tổng hai lập phương. Ví dụ 1: Khi ta tính tích a b với a2 ab b2 ta được a b a2 ab b2 a3 b3 Đẳng thức a3 b3 a b a2 ab b2 gọi là hẳng đẳng thức tổng hai lập phương. Tổng quát: . Với A, B là hai biểu thức tùy ý, ta có A3 B3 A B A2 AB B2 . Biểu thức A2 AB B2 còn gọi là bình phương thiếu của một hiệu. Ví dụ 2: Khai triển theo hằng đẳng thức x3 8 x3 23 x 2 x2 2x 4 2) Hiệu hai lập phương. Ví dụ 3: Khi ta tính tích a b với a2 ab b2 ta được a b a2 ab b2 a3 b3 Đẳng thức a3 b3 a b a2 ab b2 gọi là hằng đẳng thức hiệu hai lập phương. Tổng quát: . Với A, B là hai biểu thức tùy ý, ta có A3 B3 A B A2 AB B2 . Biểu thức A2 AB B2 còn gọi là bình phương thiếu của một tổng Ví dụ 4: Khai triển theo hằng đẳng thức x3 1 x 1 x2 x 1 II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1: Khai triển theo hằng đẳng thức 1) x3 1 2) x3 8 3) x3 8 4) x3 27 5) x3 y3 6) x3 8y3 7) x3 y3 8) x3 8y3 9) 1 8x3 10)1 27y3 11)1 8x3 12) 27x3 1 Bài 2: Viết thành vế kia của hằng đẳng thức 1) x 1 x2 x 1 2) x 1 x2 x 1 3) x 2 x2 2x 4 4) x 2 x2 2x 4 5) x 3 x2 3x 9 6) x 4 x2 4x 16 7) x 5 x2 5x 25 8) 2x 1 4x2 2x 1 9) 3x 2 9x2 6x 4 10) x2 3 x4 3x2 9 11) x2 2 x4 2x2 4 12) x3 2 x6 2x3 4 Bài 3: Viết thành vế kia của hằng đẳng thức 1) x 2y x2 2xy 4y2 2) 2x y 4x2 2xy y2 3) x 3y x2 3xy 9y2 4) 3x y 9x2 3xy y2 5) 2x 3y 4x2 6xy 9y2 6) 3x 2y 9x2 6xy 4y2 7) 4x 3y 16x2 9y2 12xy 8) 3x 4y 9x2 16y2 12xy Bài 4: Thực hiện phép tính 8
9. 1) x 1 x2 x 1 x3 9 2) x x 1 2 x 2 x2 2x 4 3) x 5 x2 5x 25 x 5 3 4) 5) x 5 . x2 5x 25 x x 4 2 16x 6) x 2 x2 2x 4 1 x 1 x x2 7) x 2 x2 2x 4 x x 1 x 1 8) x 2 x2 2x 4 x x 4 x 4 9) x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 10) x 2 x2 2x 4 x 2 x2 2x 4 Bài 5: Thực hiện phép tính: 1) x 2 3 2x 4 x2 2x 4 x2 x 6 2) x 1 3 x 2 x2 2x 4 3 x 4 x 4 3) x y x2 xy y2 3 2x y 4x2 2xy y2 4) x 3y x2 3xy 9y2 3x y 9x2 3xy y2 Bài 6: Cho biểu thức A 2x 1 4x2 2x 1 7 x3 1 . a) Rút gọn biểu thức A 1 b) Tính giá trị của biểu thức A tại x . 2 Bài 7: Cho biểu thức A x 3y x2 3xy 9y2 3y x 3y x 3y x 3xy 7x 7 . a) Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến y b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 1. Bài 8: Cho biểu thức A x 3y x2 3xy 9y2 3y x 3y x 3y x 3xy 7x 7 . a) Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến y b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 1. Bài 9: Tìm x biết: 1) x 1 x2 x 1 x x 2 2 x 5 2) 2x 1 4x2 2x 1 8x x2 2 17 3) x 1 x2 x 1 x x 2 x 2 21 4) x 3 x2 3x 9 x x2 8 5) x 1 3 x 3 x2 3x 9 3 x2 4 2 9
10. Bài 4. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ. I. LÝ THUYẾT. 1) Phân tích bằng cách đặt nhân tử chung. . Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Ví dụ 1: Với đa thức x3 x2 ta thấy có chung x2 nên ta làm như sau x3 x2 x2 x 1 Khi đó x2 gọi là nhân tử chung. Ví dụ 2: Phân tích đa thức 2 x y 3x x y x y 2 3x Chú ý: . Đưa dấu " " ra ngoài để có nhân tử chung a b b a 2) Phân tích bằng cách nhóm hạng tử. Ví dụ 3: Với đa thức ax bx cx a b c ta có thể làm như sau ax bx cx a b c x a b c a b c a b c x 1 Ví dụ 4: Với đa thức xy 1 x y ta sẽ nhóm hai hạng tử xy và x lại với nhau, y và 1 lại với nhau. xy x y 1 x y 1 y 1 y 1 x 1 3) Phân tích bằng cách dùng hằng đẳng thức. Ví dụ 5: Với đa thức x2 8x 16 ta thấy nó là một hằng đẳng thức nên ta sẽ làm như sau x2 8x 16 x 4 2 2 Ví dụ 6: Với đa thức x2 5 x2 5 x 5 x 5 II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1: Phân tích thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung) 1) x2 x 2) x2 8x 3) x2 12x 4) x3 4x 5) 3x2 x 6) 2xy y2 7) x2 xy 8) x3 x2 y 9) 3x 3y 10)10x 15y 11) 3x 12y 12) 4x 20 13) 6x 2x2 14) 2x 4x2 15) 3x2 6x 16) 3x2 6x 17) 4x2 6x 18) 2x2 6x 19) 2x3 8x 20) 2x3 3x2 21) 3x4 24x 22) 4x2 12x 23) 6x3 9x2 24) 9x 16x2 25) yx3 8y 26) x3 y 5x2 y 27) xy2 25x 28) 7x2 14xy 29) 4x2 y 6xy2 30) 3xy 9x2 31) 6x2 3xy 32) 3xy2 3x3 33) 3xy 6xz 34)18x2 y 12x3 35) 8xy2 2x2 y 36) 3xy2 6xyz Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung) 1) x3 2x2 x 2) x4 4x3 4x2 3) 5x3 10x2 5x 4) 2x3 12x2 18x 5) 8x2 y 8xy 2x 6) 5x2 y 35xy 60y 7) 2x2 5x3 x2 y 8) 2x3 y 8x2 y 8xy 9) 4x2 y 8xy2 18x2 y2 10) 6x2 y2 4xy2 12x3 y 11) 2x2 y 3xy2 4x2 y2 12) 3x2 y 6x2 y2 9xy2 13) 2x3 y4 4x5 y6 6y7 x8 14) 2x4 y3 3x2 y4 5x3 y4 Bài 3: Phân tích thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung) 1) 5 x y y x y 2) x y 1 8 y 1 3) 5 x y x x y 10