Đề cương ôn tập Toán Lớp 8 - Chủ đề 5+6

Nội dung text: Đề cương ôn tập Toán Lớp 8 - Chủ đề 5+6

1. TRẮC NGHIỆM TOÁN 8 Chủ đề 5 TỨ GIÁC I. Kiến thức cơ bản 1. Tứ giỏc - Tứ giỏc ABCD là hỡnh gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA. Trong đú bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng khụng nằm trờn một đường thẳng. - Tứ giỏc lồi là tứ giỏc luụn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giỏc. Từ nay, khi núi đến tứ giỏc mà khụng núi gỡ thờm, ta hiểu đú là tứ giỏc lổi. - Tổng cỏc gúc của một tứ giỏc bằng 3600. - Tổng bốn gúc ngoài ở bốn định của một tứ giỏc bằng 360°. - Đoạn thẳng nối hai đỉnh khụng kề nhau của tứ giỏc được gọi là đường chộo của tứ giỏc (Một tứ giỏc cú hai đường chộo), 2. Hỡnh thang, hỡnh thang cõn, hỡnh thang vuụng - Hỡnh thang là tứ giỏc cú hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song được gọi là hai đỏy, hai cạnh cũn lại gọi là cạnh bờn. - Hỡnh thang vuụng là hỡnh thang cú một cạnh bờn vuụng gúc với hai đỏy. - Hỡnh thang cõn là hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau. - Tớnh chất của hỡnh thang cõn: + Hai cạnh bờn bằng nhau + Hai đường chộo bằng nhau - Dấu hiệu nhận biết hỡnh thang cõn: + Theo định nghĩa (Hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau) + Hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau. 3. Đường trung bỡnh của tam giỏc, đường trung bỡnh của hỡnh thang - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giỏc và song song với cỏnh thứ hai thỡ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bờn của hỡnh thang và song song với hai cạnh đỏy thỡ đi qua trung điểm của cạnh bờn thứ hai. - Đường trung bỡnh của tam giỏc là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giỏc - Đường trung bỡnh của hỡnh thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bờn của hỡnh thang. 1
2. TRẮC NGHIỆM TOÁN 8 - Đường trung bỡnh của tam giỏc thỡ song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đú. - Đường trung bỡnh của hỡnh thang thỡ song song với hai đỏy và bằng nửa tổng hai đỏy. - Trong hỡnh thang cú hai cạnh bờn khụng song song, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chộo thỡ song song với hai đỏy và bằng một nửa hiệu đỏy lớn và đỏy nhỏ. CD AB B Ta cú: MN//AB//CD và MN . A 2 4. Dựng hỡnh bằng thước và compa. M N Dựng hỡnh thang D D - Dụng cụ dựng hỡnh: Thước và compa - Cỏc bước giải một bài toỏn dựng hỡnh (gồm 4 bước) + Phõn tớch Cỏch dựng Chứng minh Biện luận - Trong bước phõn tớch, ta giả sử đó dựng được hỡnh thỏa món đề bài. Trờn cơ sở đú xột xem bộ phận nào (đoạn thăng, tam giỏc,...) dựng được ngay, bộ phận nào cũn phải xỏc định thường được quy về việc xỏc định một điểm thỏa món hai điểu kiện. Ứng với mỗi điều kiện, điểm phải tỡm nằm trờn một đường nào đú. Giao điểm của hai đường ấy là điểm cần tỡm. - Trong bước biện luận ta phải xột xem với điều kiện nào của cỏc yếu tố đó cho thỡ dựng được hỡnh và khi đú dựng được bao nhiờu hỡnh. - Nếu bài toỏn cho dựng hỡnh về kớch thước, khụng yờu cầu chỉ là vị trớ của hỡnh phải dựng thỡ hai hỡnh bằng nhau chỉ coi là một nghiệm hỡnh. - Dựng tam giỏc cần biết 3 yếu tố của nú, trong đú cú ớt nhất là một yếu tố về độ dài. - Dựng hỡnh thang cần biết 4 yếu tố của nú (cạnh, gúc, đường chộo,...), trong đú gúc cho trước khụng được quỏ 2. Đối xứng trục - Hai điểm A và A' gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d, nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng AA'. Quy ước: Nếu điểm A d thỡ điểm đối xứng với A qua d chớnh là A. - Hai hỡnh F và F" gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d, nếu mỗi điểm thuộc hỡnh này đối xứng qua d với một điểm thuộc hỡnh kia và ngược lại. - Hai đoạn thẳng AB và A'B' đối xứng với nhau qua đường thẳng d, nếu A đối ứng với A’; B đối xứng với B' qua d. 2
3. TRẮC NGHIỆM TOÁN 8 A B d B' A' - Hai tam giỏc ABC và A’B’C’ đối xứng với nhau qua đường thẳng d, nếu A đối xứng với A’; B đối xứng với B’; C đối xứng với C’ qua đường thẳng d. - Nếu hai đoạn thẳng (hai gúc, hai tam giỏc) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thỡ chỳng bằng nhau. - Đường thẳng d là trục đối xứng của hỡnh F, nếu điểm đối xứng qua d của mỗi điểm thuộc hỡnh F cũng thuộc hỡnh F. Đặc biệt, đường thẳng đi qua trung điểm hai đỏy của một hỡnh thang cõn là trục đối xứng của nú. - Hai đường thẳng a và a’ đối xứng với nhau qua đường thẳng d, nếu hai điểm của đường thẳng này đối xứng với hai điểm của đường thẳng kia qua đường thẳng d - Một bỡnh cú thể khụng cú, cú 1, cú nhiều hoặc cú vụ số trục đối xứng. - Nếu ba điểm A, M, B thẳng hàng (M nằm giữa A và B) và A’, M’, B’ lần lượt là ba điểm đối xứng của chỳng qua đường thẳng d thỡ ba điểm A’, M’, B’ thẳng hàng (M’ nằm giữa A’ và B’). 6. Hỡnh bỡnh hành - Hỡnh bỡnh hành là hỡnh tứ giỏc cú cỏc cặp cạnh đụi song song. A B O D C AB//CD ABCD là hỡnh bỡnh hành AD//BC - Tớnh chất của hỡnh bỡnh hành: Nếu ABCD là hỡnh bỡnh hành, thỡ Cỏc cạnh đối bằng nhau; Cỏc gúc đối bằng nhau; Hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. - Dấu hiệu nhận biết: Tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành, nếu cú một trong cỏc điều kiện sau +Cỏc cạnh đối song song (theo định nghĩa); Cỏc cạnh đối bằng nhau + Cỏc gúc đối bằng nhau; Hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 3
4. TRẮC NGHIỆM TOÁN 8 + Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 7. Đối xứng tõm - Hai điểm A và A’ gọi là đối xứng nhau qua điểm O, nếu O là trung điểm của đoạn thẳngAA”. Quy ước: Điểm đối xứng của O qua O cũng là O. - Hai hỡnh F và F’ gọi là đối xứng với nhau qua điểm O, nếu mỗi điểm thuộc hỡnh này đối xứng qua O với một điểm thuộc hỡnh kia và ngược lại. + Hai đoạn thẳng AB và A’B’ đối xứng với nhau qua tõm O, nếu A đối xứng với A’; B đối xứng với B’ qua O. + Hai tam giỏc ABC và A’B’C’ đối xứng với nhau qua tõm O, nếu A đối xứng với A’; B đối xứng với B’; C đối xứng với C qua O. - Hai đoạn thẳng (hai gúc, hai tam giỏc) đối xứng với nhau qua tõm O thỡ chỳng bằng nhau. - Điểm O gọi là tõm đối xứng của hỡnh F, nếu điểm đối xứng qua O của mỗi điểm thuộc tỉnh F cũng thuộc hỡnh F. Đặc biệt, hỡnh bỡnh hành nhận giao điểm hai đường chộo làm tõm đối xứng của hỡnh. - Nếu hai đoạn thẳng AB và A’B’ đối xứng qua tõm O (O nằm ngoài đường thẳng AB, A’B’) thỡ AB//A’B’ và AB ngược chiều với A’B’. - Hai đường thẳng a và a’ đối xứng với nhau qua tõm O, nếu hai điểm của đường thằng này đối xứng với hai điểm của đường thằng kia qua O - Một hỡnh cú thể khụng cú, cú một, cú nhiều hoặc cú vụ số tõm đối xứng. - Nếu ba điểm A, M, B thẳng hàng (M nằm giữa A và B) và A’, M’, B’ lần lượt là ba điểm đối xứng của chỳng qua O thỡ ba điểm A’, M’, B’ thẳng hàng (M’ nằm giữa A’ và B’). 8. Hỡnh chữ nhật - Hỡnh chữ nhật là hỡnh tứ giỏc cú 4 gúc vuụng. Như vậy, hỡnh chữ nhật cũng là hỡnh bỡnh hành, hỡnh thang cõn. - Hỡnh chữ nhật cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh bỡnh hành và hỡnh thang cõn. Như vậy, hai đường chộo của hỡnh chữ nhật bằng nhau. - Dấu hiệu nhận biết: + Tứ giỏc cú ba gúc vuụng là hỡnh chữ nhật + Hỡnh thang cõn cú một gúc vuụng là hỡnh chữ nhật. + Hỡnh bỡnh hành cú một gúc vuụng là hỡnh chữ nhật 4
5. TRẮC NGHIỆM TOÁN 8 + Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh chữ nhật. - Áp dụng vào tam giỏc vuụng: + Trong một tam giỏc vuụng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyển. - Đảo lại, nếu một tam giỏc cú đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh ấy thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng. - Hỡnh chữ nhật cú một tõm đối xứng là giao điểm của hai đường chộo - Hỡnh chữ nhật cú hai trục đối xứng là hai đường thẳng đi qua trung điểm của hai sanh đối. 9. Tớnh chất về khoảng cỏch giữa hai đường thẳng song song - Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng song song là khoảng cỏch từ một điểm tựy ý trờn đường thẳng này đến đường thằng kia. - Cỏc điểm cỏch đường thẳng d một khoảng bằng h, nằm trờn hai đường thẳng song song với d và cỏch d một khoảng bằng h. a h d h a' Như vậy, tập hợp cỏc điểm cỏch một đường thẳng cố định một khoảng bằng h khụng đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đú và cỏch đường thẳng đú một khoảng bằng h. - Nếu cỏc đường thẳng song song cỏch đều cắt một đường thẳng thỡ chỳng chắn trờn đường thẳng đú cỏc đoạn thẳng liờn tiếp bằng nhau. Đảo lại, nếu cỏc đường thẳng song song cắt cỏc đường thẳng và chỳng chắn trờn đường thẳng đú cỏc đoạn thẳng liờn tiếp bằng nhau thỡ chỳng song song cỏch đều. - Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau và cỏch nhau một khoảng bằng h. Cỏc điểm cỏch đểu a và b nằm trờn đường thẳng m song song với a và b và cỏch hai đường thẳng đú một h khoảng . 2 a h 2 m h 2 a' 10. Hỡnh thoi và hỡnh vuụng 5
6. TRẮC NGHIỆM TOÁN 8 - Hỡnh thoi là tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau. - Hỡnh vuụng là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng và cú bốn cạnh bằng nhau. Từ đú suy ra: - Hỡnh thoi cũng là hỡnh bỡnh hành. - Hỡnh vuụng vừa là hỡnh chữ nhật, vừa là hỡnh thoi. - Tớnh chất: + Hỡnh thoi cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh bỡnh hành, ngoài ra cũn cú: hai đường chộo vuụng gúc với nhau; hai đường chộo là đường phõn giỏc của cỏc gúc của hỡnh thoi. + Hỡnh vuụng cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnchữ nhật và hỡnh thoi. -Dấu hiệu nhận biết hỡnh thoi: + Tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau là hỡnh thoi. + Hỡnh bỡnh hành cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh thoi. + Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo vuụng gúc là hỡnh thoi + Hỡnh bỡnh hành cú một đường chộo là tia phõn giỏc của một gúc là hỡnh thoi - Dấu hiệu nhận biết hỡnh vuụng: + Hỡnh chữ nhật cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh vuụng + Hỡnh chữ nhật cú hai đường chộo vuụng gúc là hỡnh vuụng. + Hỡnh chữ nhật cú một đường chộo là đường phõn giỏc của một gúc là hỡnh vuụng. + Hỡnh thoi cú một gúc vuụng là hỡnh vuụng. + Hỡnh thoi cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh vuụng. - Trong hỡnh thoi, hai đường chộo là hai trục đối xứng, giao điểm hai đường chộo là tõm đối xứng - Hỡnh vuụng cạnh a cú độ dài đường chộo là a 2 II. Vớ dụ minh họa 1. Nhận biết Vớ dụ 1: Cho tứ giỏc ABCD cú Bà Dà 900 . Vẽ cỏc đường phõn gics của gocs A vầ gúc C. Cho biết hai đường phõn giỏc này khụng trựng nhau. Khi đú gúc giữa hai đường phõn giỏc bằng: A. 300 B. 900 C. 00 D. 450 6
7. TRẮC NGHIỆM TOÁN 8 Đỏp ỏn C B N A 2 1 1 C 1 M D Gọi M là giao điểm của tia phõn giỏc gúc A với CD, N là giao điểm của tia phõn giỏc gúc C với AB. Tứ giỏc ABCD cú Bà Dà 900 nờn àA Cà 1800 à à 0 0 à ả 0 Suy ra A1 C1 180 : 2 90 . Mặt khỏc A1 M1 90 ( vỡ tam giỏc ADM vuụng tại D). Từ đú à ả suy ra C1 M1 AM / /CM (vỡ cú cặp gúc đồng vị bằng nhau) Vậy gúc giữa hai đường phõn giỏc bằng 00 Vớ dụ 2: Cho hỡnh thang cõn ABCD (AB//CD) cú hai đường chộo vuụng gúc và đường cao AH = h. Khi đú tổng S của hai đỏy là: S = 2h 5 7 A. S = 2hB. S = 3h C. S = h D. S = h 2 2 Đỏp ỏn A A B O E D H C Vẽ AE//BD ( E CD ). Vỡ AC  BD (theo gt), nờn AC  AE (quan hệ giữa tớnh song song và vuụng gúc) Ta cú AE = BD, AB = DE (tớnh chất đoạn chắn) ; AC = BD (tớnh chất đường chộo hỡnh thang cõn). Suy ra AC = AE Vậy tam giỏc AEC vuụng cõn tại A, do đú đường cao AH cũng là đường trung tuyến. Suy ra EC = AB + CD = 2AH = 2h 2.Thụng hiểu 7
8. TRẮC NGHIỆM TOÁN 8 Vi dụ 1: Tứ giỏc ABCD cú AD = AB = BC CD và àA Cà 1800 . Trong cỏc khẳng định sau cú bao nhiờu kết quả sai? Tia DB là tia phõn giỏc của gúc D; tứ giỏc ABCD là hỡnh thang cõn; tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành; tứ giỏc ABCD là hỡnh thang vuụng. A. Cú 1 kết quả saiB. Cú 2 kết quả sai C. Cú 3 kết quả sai D. Cú 4 kết quả sai Đỏp ỏn B K A 1 B 2 1 2 D C H Vẽ BH  CD, BK  AD . Ta cú àA1 Cà (cựng bự với àA2 ). Từ đú suy ra BHC BKA BH = BK . Suy ra DB là tia phõn giỏc của gúc D. Gúc A1 là gúc ngoài tại đỉnh A của tam giỏc cõn ADB, nờn àA1 2Dà 1 àA1 ãADC AB / /CD (vỡ cú cặp gúc đồng vị ã à à bằng nhau). Vậy tứ giỏc ABCD là hỡnh thang. Hỡnh thang này cú ADC C (vỡ cựng bằng A1 ) nờn là hỡnh thang cõn. Vớ dụ 2 : Cho tứ giỏc ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Đỏp ỏn nào đỳng ? AB CD AB BC CD DA A. MN B. MN 2 4 AB CD AB CD C. MN D. MN 2 2 Đỏp ỏn C B A O N M D C 8
9. TRẮC NGHIỆM TOÁN 8 Gọi O là trung điểm của BD. Khi đú cỏc đoạn thẳng OM, ON lần lượt là đường trung bỡnh của AB CD tam giỏc DAB và BDC. Từ đú, ta cú MN < MO + ON = 2 B. Vận dụng : Vớ dụ 1 : Cho hỡnh thang ABCD (đỏy AB nhỏ hơn đỏy CD). Biết rằng, hai đường chộo của hỡnh thang chia đường trung bỡnh của nú thành ba phần bằng nhau. Khi đú, ta cú: 3 5 A.CD = 3ABB. CD = AB C. CD = ABD.CD = 2AB 2 2 Đỏp ỏn D A B M N P Q C D Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. MN cắt BD tại P, cắt AC tại Q. Do MN là đường trung bỡnh của hỡnh thang, nờn MN//AB//CD. Xột tam giỏc ABD cú MA = MD, MP//AB nờn PB = PD. Tương tự QA = QC. Ta cú MP, NQ lần lượt là đường trung bỡnh của cỏc tam giỏc DAB và CAB nờn MP = NQ = AB CD AB . Mặt khỏc, theo tớnh chất của hỡnh thang ta cú: PQ = 2 2 AB CD AB Do MP = PQ = QN (theo gt), nờn ta cú: CD 2AB 2 2 Vớ dụ 2: Cho tứ giỏc ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của MC, MD, NA, NB. Trong cỏc khẳng định sau, cú bao nhiờu kết quả đỳng? Cỏc đoạn thẳng EF, GH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường; Cỏc đoạn thẳng EF, MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường; Cỏc đoạn thẳng MN, GH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường; Cỏc đoạn thẳng EF, GH, MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. A. Cú 1 kết quả đỳngB. Cú 2 kết quả đỳng C. Cú 3 kết quả đỳng D. Cú 2 kết quả đỳng Đỏp ỏn D 9
10. TRẮC NGHIỆM TOÁN 8 B M A H F E G D N C 1 Ta cú NE là đường trung bỡnh của tam giỏc CDM, nờn NE//MD và NE MD=FM . Tứ giỏc 2 MENF cú một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, nờn nú là hỡnh bỡnh hành. Tương tự, tứ giỏc MHNG cũng là hỡnh bỡnh hành. Hai hỡnh bỡnh hành MENF và MHNG cú chung đường chộo MN nờn cỏc đường chộo EF, GH, MN đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường. 4. Vận dụng nõng cao Vớ dụ 1 : Cho tam giỏc ABC cú BC = a, cỏc đường trung tuyến BD, CE. Lấy cỏc điểm M, N trờn cạnh BC sao cho BM=MN=NC. Gọi I là giao điểm ủa AM và BD, K là giao điểm của AN và CE. Khi đú độ dài của đoạn thẳng IK là : a a a a A. IK B. IK C. IK D. IK 2 4 3 5 Đỏp ỏn B A D E K I B M N C Ta cú DN là đường trung bỡnh của tam giỏc ACM nờn DN//AM Tam giỏc BND cú BM=MN, MI//ND nờn I là trung điểm của BD. Tương tự k là trung điểm của CE. Hỡnh thang BEDC cú I, K là trung điểm của hai đường chộo. a a BC ED a Từ đú, ta được: IK 2 2 2 4 10