Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 1: Tứ giác và hình thang

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 1: Tứ giác và hình thang

1. CHUYấN ĐỀ 1: TỨ GIÁC VÀ HèNH THANG A/ Lí THUYẾT. I/ Tứ giỏc. * Tứ giỏc ABCD là hỡnh gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đú bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng khụng cựng nằm trờn một đường thẳng. * Tứ giỏc lồi là tứ giỏc luụn nằm trong một nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giỏc. * Định lý: Tổng cỏc gúc của một tứ giỏc bằng 1800 A cạnh đỏy nhỏ B II/ Hỡnh thang. cạnh bờn 1. Định nghĩa: cạnh bờn AB // CD Tứ giỏc ABCD là hỡnh thang BC // AD D cạnh đỏy lớn C 2.Tớnh chất: Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh đỏy bằng nhau thỡ nú là A cạnh đỏy nhỏB hỡnh bỡnh hành. 3. Hỡnh thang vuụng: cạnh bờn cạnh bờn Hỡnh thang vuụng là hỡnh thang cú hai gúc vuụng. 4. Hỡnh thang cõn. D cạnh đỏy lớn C AB // CD Tứ giỏc ABCD là hỡnh thang cõn Cà = Dà à à A = B A cạnh đỏy nhỏ B * Tớnh chất: Trong hỡnh thang cõn: + Hai cạnh bờn bằng nhau cạnh bờn cạnh bờn + Hai đường chộo bằng nhau * Dấu hiệu nhõn biết: D cạnh đỏy lớn C + Hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn. + Hỡnh thang cú hai gúc chung một cạnh đỏy bằng nhau là hỡnh thang cõn. 1
2. B/ CÁC DẠNG TOÁN. DẠNG 1: TÍNH CÁC GểC CỦA TỨ GIÁC (HèNH THANG). I/ Phương phỏp: Vận dụng cỏc kiến thức sau: - Tổng cỏc gúc trong một tứ giỏc bằng 360o - Tổng hai gúc kề bự bằng 180o - Tổng cỏc gúc trong một tam giỏc bằng 180o - Hai gúc nhọn trong tam giỏc vuụng cú tổng bằng 90o. - Nếu là hỡnh thang, liờn quan tới hai đỏy song song ta cú: + Hai gúc so le trong bằng nhau. Hai gúc đồng vị bằng nhau. + Hai gúc kề một cạnh bờn cú tổng bằng 180o. II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Tỡm x trong cỏc hỡnh vẽ sau. Bài 2: Tỡm x trong cỏc hỡnh vẽ sau. Bài 3 (Trang 66 SGK) Gúc kề bự với một gúc của tứ giỏc gọi là gúc ngoài của tứ giỏc. a) Tớnh cỏc gúc ngoài của tứ giỏc ở hỡnh a. b) Tớnh tổng cỏc gúc ngoài của tứ giỏc ở hỡnh b (tại mỗi đỉnh của tứ giỏc chỉ chọn một gúc ngoài): À 1 Bà 1 Cà 1 Dà 1 ? c) Cú nhận xột gỡ về tổng cỏc gúc ngoài của tứ giỏc? 2
3. Bài 4: Cho tứ giỏc ABCD gúc B = 80o, D = 120o gúc ngoài đỉnh C bằng 130o. Tớnh gúc A? Bài 5: Cho tứ giỏc ABCD, cỏc tia phõn giỏc gúc A và gúc B cắt nhau tại M. Cỏc tia phõn giỏc gúc C và gúc D cắt nhau tại N. Chứng minh à MB Cã ND 180o ? Bài 6: Cho tứ giỏc ABCD, biết AB = AD; gúc B = 900, gúc A = 600, gúc D = 1350, a) Tớnh gúc C. b) Từ A ta kẻ AE vuụng gúc với đường thẳng CD. Tớnh cỏc gúc của tam giỏc AEC. Bài 7: Cho tứ giỏc lồi ABCD, biết cú gúc A = gúc D = 900 ; gúc B và C khỏc nhau. a) Chứng minh: AB // DC. b) Chứng tỏ trong hai gúc B và C phải cú một gúc nhọn. c) Khi gúc C nhọn. chứng minh AB < DC Bài 8 (Trang 71 SGK Toỏn 8 Tập 1): Tỡm x và y trờn hỡnh 21, biết rằng ABCD là hỡnh thang cú đỏy là AB và CD. Bài 9 (Trang 71 SGK Toỏn 8 Tập 1): Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú À Dà 20o ; Bà 2Cà . Tớnh cỏc gúc của hỡnh thang. Bài 10. Hỡnh thang vuụng ABCD cú A = D = 90o , đường chộo BD vuụng gúc BC và BD = BC a) Tớnh cỏc gúc trong hỡnh thang b) Biết AB = 3cm. Tớnh BC và CD Bài 11. Cho tứ giỏc ABCD biết Bà + Cà = 2000, Bà + Dà = 1800; Cà + Dà = 1200. a) Tớnh số đo cỏc gúc của tứ giỏc. 3
4. Cà Dà b) Gọi I là giao điểm của cỏc tia phõn giỏc của À và Bà của tứ giỏc. Chứng minh: à IB 2 Bài giải: a) Từ giả thiết ta cú: 2Bà 2Cà 2Dà 2000 1800 1200 Bà Cà Dà 2500. Vỡ À Bà Cà Dà 3600 À 1100 . B Bà 2500 Cà Dà 2500 1200 1300 . A Cà 2000 Bà 2000 1300 700 . à 0 à 0 0 0 D 120 C 120 70 50 . I b) Trong tam giỏc ABI: D C 0 à à À Bà 360 A B Cà Dà à IB 1800 . 2 2 2 Bài 12. Cho tứ giỏc lồi ABCD cú Bà + Dà = 180 0, CB = CD. Chứng minh AC là tia phõn giỏc của Bã AD . A Bài giải: Trờn tia đối tia BA lấy điểm I sao cho BI = AD. D Ta cú à DC IãBC (cựng bự với gúcà BC ). AD = IB, DC = BC. Từ đú ta cú ADC IBC . B C Suy ra: Dã AC Bã IC và AC = IC. Tam giỏc ACI cõn tại C nờn Bã AC Bã IC Dã AC . I Vậy AC là phõn giỏc trong gúc Bã AD . Bài 13. Cho tứ giỏc lồi ABCD, hai cạnh AD và BC cắt nhau tại E, hai cạnh DC và AB cắt nhau tại F. Kẻ tia phõn giỏc của hai gúc CED và BFC cắt nhau tại I. Tớnh gúc EIF theo cỏc gúc trong tứ giỏc ABCD. Bài giải: F FI cắt BC tại K, suy ra K thuộc đoạn BC ả ã ã ả EIF EKI IEK (EIF là gúc ngoài của IKE) à ã ã ã A = B BFK IEK (CKF là gúc ngoài của D FBK) I E C K 4 B
5. Bà Cà Bã FC 1800 Bà Cà Bã FK 900 . 2 À Bà Ã EB 1800 À Bà IãEK 900 . 2 Bà Cà À Bà À Cà Bà Dà Vậy EảIF Bà + 900 900 1800 2 2 2 2 DẠNG 2: CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HèNH THANG (HèNH THANG CÂN). I/ Phương phỏp. - Chứng minh tứ giỏc cú 2 cạnh đối song song => Tứ giỏc là hỡnh thang. - Chứng minh tứ giỏc là hỡnh thang cõn: + Bước 1: Chứng minh tứ giỏc là hỡnh thang. + Bước 2: Chứng minh hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau (hai gúc kề một đỏy bằng nhau) II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: (Bài 9 trang 71 sgk - Toỏn 8 tập 1). Tứ giỏc ABCD cú AB = BC và AC là phõn giỏc của gúc A. Chứng minh rằng ABCD là hỡnh thang. Bài 2. Cho tứ giỏc ABCD cú AD = DC, đường chộo AC là phõn giỏc gúc Â. Chứng minh rằng ABCD là hỡnh thang. Bài giải: A B Ta cú AD = DC nờn tam giỏc ADC cõn tại D. Suy ra Dã CA = Dã AC = Bã AC Suy ra AB//CD (hai gúc so le trong bằng nhau) Vậy ABCD là hỡnh thang. D C Bài 3. Cho hỡnh thang ABCD, đỏy AB = 40cm, CD = 80cm, BC = 50cm, AD = 30cm. Chứng minh rằng ABCD là hỡnh thang vuụng. Bài giải: Gọi H là trung điểm của CD. Ta cú DH = CH = 40cm A B Xột hai tam giỏc ABH và CHB cú: AB = CH = 40cm, Ã BH Cã HB (so le trong), BH = HB Suy ra ABH = CHB (c-g-c) AH = CB = 50cm. D H C 2 2 2 2 2 2 Tam giỏc ADH cú: AD + DH =40 + 30 = 50 = AH 5
6. Suy ra tam giỏc ADH vuụng tại D. Vậy hỡnh thang ABCD là hỡnh thang vuụng. Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A BC = 2cm. Ở phớa ngoài tam giỏc ABC vẽ tam giỏc ACE vuụng cõn tại E. a) Chứng minh tứ giỏc AECB là hỡnh thang vuụng? b) Tớnh cỏc gúc và cỏc cạnh của hỡnh thang AECB. Bài 5: Cho ∆ ABC vuụng cõn tại A. Trờn nửa mặt phẳng bờ BC khụng chứa điểm A, vẽ BD vuụng gúc với BC, và BD = BC a) Tứ giỏc ABCD là hỡnh gỡ? b) Biết AB = 5cm. Tớnh CD Bài 6: Cho ∆ đều ABC. Từ điểm O trong tam giỏc kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở D, kẻ đường thẳng song song với AB cắt CB ở E, kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F. Chứng minh tứ giỏc ADOF là hỡnh thang cõn. Bài 7: Cho ∆ ABC cõn tại A. Lấy điểm D trờn cạnh AB, điểm E trờn cạnh AC sao cho AD = AE. Chứng minh tứ giỏc BDEC là hỡnh thang cõn. Bài 8: Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC), phõn giỏc BD và CE. Gọi I là trung điểm của BC, J là trung điểm của ED, O là giao điểm của BD và CE. Chứng minh: a) Tứ giỏc BEDC là hỡnh thang cõn. b) BE = ED = DC. c) Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng. Bài 9: Trờn đoạn thẳng AB lấy điểm C (CA > CB). Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cỏc tam giỏc đều ACD và BCE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AE, CD, BD, CE. a) Tứ giỏc MNPQ là hỡnh gỡ? b) Chứng minh MP = DE. DẠNG 3: BIẾT TỨ GIÁC LÀ HèNH THANG – CHỨNG MINH CÁC YẾU TỐ KHÁC. I/ Phương phỏp. Dựa vào cỏc đặc điểm của hỡnh thang cõn, hỡnh thang vuụng: cạnh bờn bằng nhau, đường chộo bằng nhau, hai gúc kề một đỏy bằng nhau, cỏc gúc so le trong (đồng vị) tạo bởi hai đỏy song song, yếu tố vuụng gúc .để từ đú chứng minh cỏc yếu tố liờn quan trong hỡnh như: + Hai đoạn thẳng bằng nhau + Hai gúc nào đú bằng nhau + Tam giỏc là tam giỏc cõn 6
7. . II/ Bài tập vận dụng. Bài 1: Hỡnh thang cõn ABCD cú AB // CD, AB < CD. Kẻ đường cao AH, BK. Chứng minh DH = CK. Bài 2: Hỡnh thang cõn ABCD cú AB // CD, gọi O là giao điểm hai đường chộo. Chứng minh OA = OB ; OC = OD. Bài 3: Hỡnh thang cõn ABCD, đỏy nhỏ AB bằng cạnh bờn AD. Chứng minh CA là tia phõn giỏc gúc C. Bài 4: Hỡnh thang cõn ABCD cú đường chộo DB vuụng gúc với cạnh bờn BC, DB là phõn giỏc gúc D. Biết BC = 3cm. Tớnh chu vi hỡnh thang. Bài 5: Hỡnh thang cõn ABCD , gọi O là giao điểm của hai cạnh bờn AD và BC; gọi E là giao điểm hai đường chộo. Chứng minh OE là đường trung trực củ hai đỏy. Bài 6. Cho hỡnh thang cõn ABCD (AB // CD, AB < CD), O là giao điể m của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC. a) Chứng minh OA = OB, OC = OD. b) Gọi M, N l ần lượt là trung điểm của cỏc c ạ nh AB, CD. Chứng minh I, M, O, N thẳng hàng Bài 7. Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BD, AC, DC. Gọi H là giao điểm của đường thẳng qua E vuụng gúc với AD và đường thẳng qua F vuụng gúc BC. Chứng minh: a) H là trực tõm tam giỏc EFK. b) Tam giỏc HCD cõn Bài 8. Cho hỡnh thang cõn ABCD ( AB // CD; AD = BC), cú đỏy nhỏ AB. Độ dài đường cao BH bằng độ dài đườ ng trung bỡnh MN (M thuộc AD, N thuộc BC) của hỡnh thang ABCD. Vẽ BE // AC (E thuộc DC). a) Chứng minh DE = MN/2 b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh tam giỏc OAB cõn. c) Tam giỏc DBE vuụng cõn. Bài 9. Cho hỡnh thang cõn ABCD (AB//CD, AB < CD). AD cắt BC tại O. a) Chứng minh rằng OAB cõn b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba điểm I, J, O thẳng hàng c) Qua điểm M thuộc cạnh AC, vẽ đường thẳng song song với CD, cắt BD tại N. Chứng minh rằng MNAB, MNDC là cỏc hỡnh thang cõn. Bài giải: à à a) Vỡ ABCD là hỡnh thang cõn nờn C = D suy ra OCD là tam giỏc cõn. 7
8. Ta cú Oã AB = Dà = Cà = Oã BA (hai gúc đồng vị) Tam giỏc OAB cõn tại O. b) OI là trung tuyến của tam giỏc cõn OAB nờn OI cũng là đường cao tam giỏc OAB OI  AB Mà AB // CD nờn OI  CD Tam giỏc OCD cõn tại O cú OI  CD nờn OI cắt CD tại trung điểm J của CD. Vậy ba điểm O, I, J thẳng hàng. c) Xột ACD và BDC cú: AC = BD (2 đường chộo của hỡnh thang cõn) AD = BC (2 cạnh bờn của hỡnh thang cõn) CD = DC Do đú ACD = BDC (c-c-c) Suy ra à CD = Bã DC hay Mã CD = Nã DC Hỡnh thang MNDC cú Mã CD = Nã DC nờn MNDC là hỡnh thang cõn. MC = ND AC – MC = BD – ND AM = BN Hỡnh thang MNAB cú hai đường chộo AM và BN bằng nhau nờn MNAB là hỡnh thang cõn. 8