Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 8 - Chủ đề 5: Hình chữ nhật. Tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 8 - Chủ đề 5: Hình chữ nhật. Tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước

1. CHỦ ĐỀ 5. HèNH CHỮ NHẬT. TÍNH CHẤT CỦA CÁC ĐIỂM CÁCH ĐỀU MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC. A. Lí THUYẾT. 1. Định nghĩa Hỡnh chữ nhật là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng (h.5.1) Hỡnh 5.1 Hỡnh 5.2 2. Tớnh chất Trong hỡnh chữ nhật, hai đường chộo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (h.5.2). 3. Dấu hiệu nhận biết Tứ giỏc cú ba gúc vuụng là hỡnh chữ nhật; Hỡnh thang cõn cú một gúc vuụng là hỡnh chữ nhật; Hỡnh bỡnh hành cú một gúc vuụng là hỡnh chữ nhật; Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh chữ nhật. 4. Áp dụng vào tam giỏc (h.5.3) ABC: MB = MC Hỡnh 5.3 1 À 90o AM BC. 2 5. Tớnh chất cỏc điểm cỏch đều một đường thẳng cho trước (h.5.4) Tập hợp cỏc điểm cỏch một đường thẳng cố định một khoảng bằng h khụng đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đú và cỏch đường thẳng đú một khoảng bằng h. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG. Hỡnh 5.4 I. MỘT SỐ VÍ DỤ Vớ dụ 1. Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Trờn đường chộo BD lấy một điểm M. Trờn tia AM lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN. Gọi E và F lần lượt là hỡnh chiếu của N trờn đường thẳng BC và CD. Chứng minh rằng ba điểm M, E, F thẳng hàng. Giải * Tỡm cỏch giải 1
2. Xột CAN, đường thẳng EF đi qua trung điểm của CN, muốn cho EF đi qua trung điểm M của AN ta cần chứng minh EF // AC. * Trỡnh bày lời giải Tứ giỏc ENFC cú ba gúc vuụng nờn là hỡnh chữ nhật. Gọi O là giao điểm của AC và BD và K là giao điểm của EF và CN. Theo tớnh chất hỡnh chữ nhật ta cú: OA = OB = OC = OD; KC = KN = KE = FF. Xột CAN cú OM là đường trung bỡnh nờn OM // CN, đo đú BD // CN. ả à ả à OCD, KCF cõn, suy ra D1 C1, C2 F2. ả ả à à Mặt khỏc, D1 C2 (cặp gúc đồng vị) nờn C1 F2. Suy ra AC // EF. Xột CAN cú đường thẳng EF đi qua trung điểm K của CN và EF // AC nờn EF đi qua trung điểm của AN, tức là đi qua M. Vậy ba điểm M, E, F thẳng hàng. Vớ dụ 2. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Từ một điểm trờn đỏy BC, vẽ đường thẳng vuụng gúc với BC cắt cỏc đường thẳng AC, AB lần lượt tại M và N. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BC và MN. Chứng minh rằng tứ giỏc AKDH là hỡnh chữ nhật. Giải * Tỡm cỏch giải Dễ thấy tứ giỏc AKDH cú hai gúc vuụng là Hà Dà 90o nờn chỉ cần chứng minh tứ giỏc này cú một gúc vuụng nữa là thành hỡnh chữ nhật. * Trỡnh bày lời giải ABC cõn tại A, AH là đường trung tuyến nờn cũng là đường cao, đường phõn giỏc. ả o ả ả Do đú H1 90 và A1 A2. Ta cú AH // DN (vỡ cựng vuụng gúc với BC) à ả ả ả N A1 (cặp gúc đồng vị); M1 A2 (cặp gúc so le trong). à ả ả ả Do đú N M1 (vỡ A1 A2 ). Vậy AMN cõn tại A mà AK là đường trung tuyến nờn AK cũng là đường cao, Kà 90o. Tứ giỏc AKDH cú Kà Hà Dà 90o nờn nú là hỡnh chữ nhật. Vớ dụ 3. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Trờn cạnh huyền BC lấy điểm D. Vẽ DH  AB, DK  AC. Biết AB = a, tớnh giỏ trị lớn nhất của tớch DH . DK. Giải * Tỡm cỏch giải Ta thấy DH + DK = AB (khụng đổi). Dựa vào cỏc hằng đẳng thức ta cú thể tỡm được mối quan hệ giữa tớch DH . DK với tổng DH + DK. Mối quan hệ này được biểu diễn như sau: 2
3. Ta cú (x – y)2 0 x2 + y2 2xy x2 + y2 + 2xy 4xy (x + y)2 4xy x y 2 xy . 4 * Trỡnh bày lời giải Tứ giỏc AHDK cú ba gúc vuụng nờn là hỡnh chữ nhật. Tam giỏc HBD cú Hà 90o; Bà 45o nờn là tam giỏc vuụng cõn. Ta đặt DH = x, DK = y thỡ HB = x, AH = y và x + y = a. 2 x y a2 Ta cú xy (khụng đổi). 4 4 Dấu "=" xảy ra x = y D là trung điểm của BC. a2 Vậy giỏ trị lớn nhất của tớch DH . DK là khi D là trung điểm của BC. 4 Vớ dụ 4. Cho hỡnh thang ABCD, À Dà 90o. Trờn cạnh AD cú một điểm H mà AH < DH và Bã HC 90o. Chứng minh rằng trờn cạnh AD cũn một điểm K sao cho Bã KC 90o. Giải * Tỡm cỏch giải Giả sử đó chứng minh được Bã KC 90o thỡ BHC và BKC là hai tam giỏc vuụng chung cạnh huyền BC nờn hai đường trung tuyến ứng với BC phải bằng nhau. Do đú cần chứng minh hai đường trung tuyến này bằng nhau. * Trỡnh bày lời giải Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khi đú MN là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABCD, suy ra MN // AB MN  AD (vỡ AB  AD). Trờn cạnh AD lấy điểm K sao cho DK = AH MK = MH. NHK cú NM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nờn là tam giỏc cõn KN = HN. 1 Xột HBC vuụng tại H cú HN BC (tớnh chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền). 2 1 Suy ra KN BC (vỡ KN = HN). 2 Do đú KBC vuụng tại K Bã KC 90o. Vớ dụ 5. Cho đường thẳng xy. Một điểm A cố định nằm ngoài xy và một điểm B di động trờn xy. Gọi O là trung điểm của AB. Hỏi điểm O di động trờn đường nào? Giải Vẽ AH  xy, OK  xy. Ta cú AH là một đoạn thẳng cố định. 3
4. Xột ABH cú OK // AH và OA = OB nờn KH = KB. 1 Vậy OK là đường trung bỡnh suy ra OK AH (khụng đổi). 2 1 Điểm O cỏch đường thẳng xy cho trước một khoảng khụng đổi là AH nờn điểm O di động trờn đường thẳng a 2 AH // xy và cỏch xy là (đường thẳng a và điểm A cựng nằm trờn một nửa mặt phẳng bờ xy). 2 II. LUYỆN TẬP. Tớnh chất và dấu hiệu nhận biết của hỡnh chữ nhật 5.1. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, đường cao AD. Gọi M là một điểm bất kỡ trờn cạnh BC. Vẽ ME  AB, MF  AC. Tớnh số đo cỏc gúc của tam giỏc DEF. 1 1 5.2. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Biết AD AC và Bã AC Dã AC. Chứng minh rằng hỡnh bỡnh hành ABCD là hỡnh 2 2 chữ nhật. 5.3. Cho hỡnh chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hỡnh chữ nhật. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của tổng S = MA2 + MB2 + MC2 + MD2. 5.4. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Gọi O là một điểm bất kỡ ở trong tam giỏc. Vẽ OD  AB, OE  BC và OF  CA. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của tổng: S = OD2 + OE2 + OF2. 5.5. Cho hỡnh chữ nhật ABCD, đường chộo AC = d. Trờn cỏc cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy cỏc điểm M, N, P, Q. Tớnh giỏ trị nhỏ nhất của tổng: S = MN2 + NP2 + PQ2 + QM2. 5.6. Cho tam giỏc đều ABC cạnh a. Trờn cỏc cạnh AB, AC lần lượt lấy cỏc điểm D và E sao cho AD = CE. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của độ dài DE. Tớnh chất đường trung tuyến của tam giỏc vuụng 5.7. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Trờn cạnh huyền BC lấy một điểm M. Vẽ MD  AB, ME  AC và AH  BC. Tớnh số đo của gúc DHE. 5.8. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AD. Vẽ HE  AB, HF  AC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của HB và HC. a) Chứng minh rằng EM // FN // AD; b) Tam giỏc ABC phải cú thờm điều kiện gỡ thỡ ba đường thẳng EM, FN, AD là ba đường thẳng song song cỏch đều. 5.9. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB < AC), đường cao AH. Trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi M là trung điểm của BD. Chứng minh rằng tia HM là tia phõn giỏc của gúc AHC. 5.10. Cho hỡnh chữ nhật ABCD, AB = 15, BC = 8. Trờn cỏc cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy cỏc điểm E, F, G, H. Tớnh giỏ trị nhỏ nhất của chu vi tứ giỏc EFGH. Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước 5.11. Cho gúc xOy cú số đo bằng 30o. Điểm A cố định trờn tia Ox sao cho OA = 2cm. Lấy điểm B bất kỡ trờn tia Oy. Trờn tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC = 2BA. Hỏi khi điểm B di động trờn tia Oy thỡ điểm C di động trờn đường nào? 4
5. 5.12. Cho gúc xOy cú số đo bằng 45o. Điểm A cố định trờn tia Ox sao cho OA 3 2 cm. Lấy điểm B bất kỡ trờn tia Oy. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc OAB. Hỏi khi điểm B di động trờn tia Oy thỡ điểm G di động trờn đường nào? 5.13. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn cỏc cạnh AB và AC lần lượt lấy cỏc điểm M và N sao cho AM = CN. Gọi O là trung điểm của MN. Hỏi điểm O di động trờn đường nào? 5.14. Bờn trong hỡnh chữ nhật kớch thước 3 6 cho 10 điểm. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm trong số 10 điểm đú cú khoảng cỏch nhỏ hơn 2,3. 5.15. Bờn trong hỡnh chữ nhật kớch thước 3 6 cho 8 điểm. Chứng minh rằng tồn tại hai trong số 8 điểm đú cú khoảng cỏch nhỏ hơn 2,3. 5