Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Tính chất đường phân giác của tam giác

Nội dung text: Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Tính chất đường phân giác của tam giác

1. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 1/8 Hình học TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC phẳng CỦA TAM GIÁC . A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM. 1. Định lí. ▪ Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy. ▪ Ta có ABC; AD là tia phân giác của GT B· AC (D BC) DB AB KL . DC AC 2. Chứng minh định lý trên. A Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD tại E . Ta có = (gt). Vì BE // AC nên = (hai góc so le trong). Suy ra = . Do đó tam giác ABE cân tại B, suy ra BE = AB (1). B D C Áp dụng hệ quả của định lí Thales đối với tam giác ACD, ta DB BE có (2) DC AC DB AB Từ (1); (2) suy ra (dpcm) DC AC E B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng ▪ Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ. ▪ Bước 2: Sử dụng các đoạn thẳng tỉ lệ đó để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết. Ví dụ 1. Tính x trong hình và làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
2. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 2/8 a) b) Lời giải Hình a: Do AD là đường phân giác trong của góc A nên ta có DC AC AC DC  DB. DB AB AB 8,5 Thay số ta có DC 3 5,1. Khi đó x DB DC 3 5,1 8,1. 5 Hình b: Với KL 12,5 x và do IL là đường phân giác trong của góc I nên theo tính chất đường phân giác ta có Theo tính chất đường phân giác ta có KL IK 12,5 x 6,2 2175 x 7,3 . LJ IJ x 8,7 298 Dạng 2: Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính tỉ số, chững minh các hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song ▪ Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ. ▪ Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nến cần) và định lí đảo của định lí Ta-lét để tính tỉ số đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức. Từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau hay các đường thẳng song song. Ví dụ 2. Cho tam giác cân ABC , có BA BC a , AC b . Đường phân giác của góc A cắt BC tại M , đường phân giác góc C cắt BA tại N . a) Chứng minh MN P AC . ab b) Tính MN theo a , b . ĐS: MN . a b Lời giải a) Theo tính chất đường phân giác trong của góc A và góc C ta có BM AB a ; (1) CM AC b BN CB a . (2) AN CA b BM BN Từ (1) và (2) suy ra . Theo định lý Thales đảo ta được CM AN MN //AC .
3. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 3/8 b) Tính MN theo a , b . BN a AB a b AN b BN a Theo (2) có . AN b AN b AB a b AB a b BN MN BN a ab Do MN P AC nên MN  AC b . BA AC BA a b a b Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có AB 12 cm, AC 20 cm, BC 28 cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D . Qua D kẻ DE//AB ( E AC ). a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD , DC và DE . ĐS: DB 10,5 ; DC 17,5 ; DE 7,5 . b) Cho biết diện tích tam giác ABC là S . Tính diện tích các tam giác ABD , ADE , DCE theo S . 3 15 25 ĐS: S S , S S , S S . V ABD 8 V ADE 64 VDCE 64 Lời giải a) Theo tính chất đường phân giác trong góc A ta có DB AB DB 3 3 DB DC ; (1) DC AC DC 5 5 Mặt khác DB DC BC 28. (2) Từ (1) và (2) ta tính được DB 10,5 cm và DC 17,5 cm. DE DC DC 17,5 Vì DE P AB nên ta có DE  AB 12 7,5 cm. AB BC BC 28 b) Gọi AH là đường cao kẻ từ A của VABC . Ta có 1 S  AH  BC ; V ABC 2 1 S  AH  BD và V ABD 2 1 S  AH CD . V ADC 2 BD 3 CD 5 Suy ra S  S S và S  S  S . V ABD BC 8 V ADC BC 8 Chứng minh tương tự bằng cách trong VADC ta kẻ đường cao DF ta được 1 S  DF  AC ; V ADC 2 1 S  DF  AE và V ADE 2 1 S  DF  EC . VDCE 2
4. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 4/8 Suy ra AE BD 15 S  S  S  S . và V ADE AC ADC BC V ADC 64 EC DC 25 S  S  S  S . VDCE AC V ADC BC ADC 64 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ phân giác trong AD của B· AC (với D BC ), biết DB 15 cm, DC 20 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB , AC . ĐS: AB 3,5 cm; AC 4, 7 cm. Lời giải Theo tính chất đường phân giác ta có AB DB 3 3 AB AC . (1) AC DC 4 4 Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Py- ta-go ta có AB2 AC 2 BC 2 (BD DC)2 AB2 AC 2 1225. (2) Từ (1) và (2) ta có hệ 3 AB AC AB 3,5 cm 4 2 2 AC 4,7 cm. AB AC 1225
5. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 5/8 Bài 2. Cho tam giác ABC , trung tuyến AM . Phân giác của ·AMB cắt AB ở D , phân giác của ·AMC cắt AC ở E . a) Chứng minh DE song song với BC . b) Gọi I là giao điểm của DE và AM . Chứng minh I là trung điểm của DE . Lời giải a) Theo tính chất đường phân giác ta có DA MA EA MA và . DB MB EC MC DA EA Mặt khác MB MC nên . Theo định lý Ta-lét đảo ta được DB EC DE//BC . AD AE b) Theo câu a) ta có DE P BC nên . AB AC Xét định lý Ta-lét cho VABM và VACM ta có AD DI AE IE và . AB BM AC CM DI IE Từ đó, suy ra mà MB CM nên DI IE hay I là trung điểm của DE . BM CM Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB 12 cm, AC 16 cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D . a) Tính BC , BD và CD . ĐS: BC 20 cm; BD 8, 6 cm; DC 11,4 cm. b) Vẽ đường cao AH . Tính AH , HD và AD . ĐS: AH 9, 6 cm, HD 1, 4 cm, AD 9, 7 cm. Lời giải a) Áp dụng định lý Py-ta-go ta có BC AB2 AC 2 20 cm. Theo tính chất đường phân giác trong của góc A ta có DB AB 3 3 DB DC . DC AC 4 4 Mặt khác ta lại có 3 BD DC BC 20 DC DC 20 DC 11,4 cm. 4 Do đó BD BC DC 20 11, 4 8, 6 cm. 1 b) Ta có S  AB  AC 96 cm. ABC 2
6. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 6/8 1 2 S Mặt khác S  AH  BC AH ABC 9,6 cm. ABC 2 BC Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHC ta có CH AC 2 AH 2 12,8 cm. Suy ra HD HC DC 12,8 11, 4 1, 4 cm. Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHD ta có AD AH 2 HD2 9,7 cm. Bài 4. Cho tam giác cân ABC ( AB AC ), đường phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB 15 cm, BC 10 cm. a) Tính AD , DC . ĐS: AD 9 cm; DC 6 cm. b) Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E . Tính EC . ĐS: EC 30 cm. Lời giải a) Ta có AD DC AC AB 15 cm. (1) AD AB 15 3 và . (2) DC BC 10 2 Từ (1) và (2) suy ra AD DC 15 3 . AD  DC 2 Từ đó suy ra AD 9 cm, DC 6 cm. b) Vì BD  BE nên BE là phân giác ngoài của góc B của tam giác ABC . AE AB AE  BC AE 10 AE 2 Khi đó ta có . Suy ra EC . EC BC AB 15 3 Suy ra 3CE 2  ( AC CE) hay CE 2 AC . Do đó CE 30 cm. D. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 5. Tính x trong hình và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất. a) b)
7. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 7/8 Lời giải Hình a: Ta có BD 25 x . Theo tính chất đường phân giác trong ta có DB AB 25 x 20 75 x 10,7 . DC AC x 15 7 Hình b: Ta có LJ 28 x . Theo tính chất phân giác trong ta có LK IK x 20 35 x 17,5 . LJ IJ 28 x 12 2 Bài 6. Cho tam giác ABC , trung tuyến AM . Tia phân giác góc AMB cắt AB tại D , tia phân giác góc AMC cắt cạnh AC tại E . Chứng minh DE P BC . Lời giải Theo tính chất đường phân giác ta có DA MA EA MA và . DB MB EC MC DA EA Mặt khác MB MC nên . DB EC Theo định lý Ta-lét đảo ta được DE P BC . Bài 7. Cho tam giác ABC có AB 15 cm, AC 20 cm, BC 25 cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D . a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD , DC . ĐS: DB 10,7 cm; DC 14,3 cm. 107 b) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD và ACD . ĐS: . 143 Lời giải a) Áp dụng tính chất đường phân giác trong góc A . Ta có DB AB DB 3 3 DB DC ; (1) DC AC DC 4 4 Mặt khác DB DC BC 25. (2) Từ (1) và (2) ta có tính được DB 10,7 cm và DC 14,3 cm.
8. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 8/8 b) Gọi AH là đường cao kẻ từ A của VABC và S là diện tích VABC . Ta có 1 S  AH  BC ; V ABC 2 1 S  AH  BD và V ABD 2 1 S  AH CD . V ADC 2 Suy ra BD 107 CD 143 S  S  S và S  S  S . V ABD BC 250 V ADC BC 250 S 107 Do đó ABD . SADC 143