Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài tập: Tổng hợp tam giác & tứ giác

Nội dung text: Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài tập: Tổng hợp tam giác & tứ giác

1. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 1/10 BÀI TẬP TỔNG HỢP Tam giác & Tứ giác TAM GIÁC & TỨ GIÁC. A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1/ Định lý Pythagore & định lý Pythagore đảo. - Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các B bình phương của hai cạnh góc vuông. DABC vuông tại A Þ BC 2 = A B 2 + A C 2 - Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông. A C DABC có BC 2 = AB 2 + AC 2 Þ B·AC = 900 2/ Tứ giác. - Tứ giác có 4 cạnh, 2 đường chéo, 4 đỉnh và 4 góc. - Tứ giác lồi: Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm về cùng một phía của đường thẳng chứa bất kì một cạnh nào của tứ giác đó. - Tổng các góc trong một tứ giác: Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360°. Sơ đồ nhận biết các loại tứ giác. B.CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài 1. Tìm các góc x,y,z t chưa biết ở các hình bên dưới .
2. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 2/10 C B O 800 J 1200 650 E F N K t z 1100 A x 0 y 650 t 95 D H G I L M P Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Cho biết AB = 13cm, AH = 12cm, HC = 16cm. Tính các độ dài AC, BC. Bài 3. Tính chiều cao của bức tường ở hình bên dưới biết rằng chiều dài của thang là 4m và chân thang cách tường là 1m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Bài 4. Bạn Hà muốn đóng một nẹp chéo AC để chiếc khung hình chữ nhật ABCD được vững hơn. Tính độ dài AC biết rằng AD = 48 cm, CD = 36cm. Bài 5. Tìm x trong hình vẽ sau :
3. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 3/10 Bài 6. Hình ảnh bên dưới là một thiết kế ngôi nhà hình tam giác cân đang là xu thế mới trên khắp thế giới ở phân khúc nhà nhỏ. Đây là những thiết kế cơ động, có thể thi công lắp dựng nhanh có chi phí rẻ. Trước ngôi nhà có lắp một tấm kính chống vỡ có dạng tam giác cân . Biết cạnh đáy, cạnh bên của miếng kính này lần lượt có độ dài là 8m và 10m. Tính chiều cao của tấm kính tam giác cân này (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) ? Bài 7. Hai chiếc xuồng máy xuất phát cùng từ bến A đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 900 B C (hình minh họa). Chiếc xuồng máy thứ nhất đi được 12km thì dừng lại tại bến C, còn chiếc xuồng máy thứ hai đi được nữa giờ với vận tốc 18km/h đến B thì chuyển hướng đi thẳng về bến C với vận tốc không đổi. A a/ Hỏi sau bao nhiêu phút từ lúc chiếc xuồng máy thứ hai chuyển hướng đi được đến bến C gặp chiếc xuồng máy thứ nhất ? b/ Tính diện tích tam giác ABC được tạo thành như hình vẽ. Bài 8 Cho tam giác có AB = 7cm, AC = 25cm, BC = 24cm có phải là tam giác vuông không ? Bạn Linh đã giải bài toán đó như sau : Ta có : AB2 AC 2 72 252 49 625 674 BC 2 242 576 Do 674 576 nên AB2 AC 2 BC 2 . Vậy tam giác ABC không phải là tam giác vuông.
4. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 4/10 Bạn Nhật cho rằng Bạn Linh giải sai vì tam giác ABC vuông. Theo em ai đúng , ai sai ? Giải thích ? 80cm B Bài 9. Khi nói đến ti vi 21 inch, ta hiểu A rằng đường chéo màn hình của chiếc ti vi này dài 21 inch (inch : đơn vị đo chiều dài được sử dụng tại nước Anh và một 60cm số nước khác, 1 inch 2,54cm). Hỏi chiếc ti vi (hình bên) thuộc loại tivi bao nhiêu inch (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ) ? D C A Bài 10. Cho hình vẽ bên dưới. Tính chiều dài cần cẩu AB . 6,5m C 3m B 3m D E Bài 11. Khoảng cách từ hai bến tàu A và B tới C hòn đảo C lần lượt là 17km và 10km (hình ảnh mình họa). Tính khoảng 17km 8km cách AB giữa hai bến tàu biết hồn đảo 10km cách đất liền 8km. A ? B H Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường trung tuyến AM . Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB , E là giao điểm của MH và AB . Gọi K là điểm đối xứng với M qua AC , F là giao điểm của MK và AC .
5. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 5/10 a) Các tứ giác AEMF , AMBH , AMCK là hìn h gì? Vì sao? b) Chứng minh rằng H đối xứng với K qua A . c) Tam giác vuông ABC cần thêm điều kiện gì thì tứ giác AEMF là hình vuông? Lời giải a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. Các tứ giác AMBH , AMCK là hình thoi. b) Theo a) suy ra HA P BC , AK P MC H , A , K thẳng hàng. Lại có AH AM AK H , K đối xứng với nhau qua A . c) Để hình chữ nhật AEMF là hình vuông thì cần thêm điều kiện AE EM . AB AC . Vậy tam giác ABC vuông cân tại A . Bài 12. Cho hình bình hành ABCD có BC 2AB , Aˆ 60 . Gọi E , F theo thứ tự là trung điểm của BC , AD . Vẽ I đối xứng với A qua B . a) Tứ giác ABEF là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tứ giác AIEF là hình thang cân. c) Chứng minh BICD là hình chữ nhật. d) Tính góc ·AED. Lời giải BC a) Vì AB EF BF AF Tứ giác ABEF là hình thoi. 2 b) Dễ thấy EF P AI , IB BE ; I·BE I·AD 60 VBIE đều. Do đó, IE AF suy ra AIEF là hình thang cân. c) BEDF là hình thoi. Suy ra BD là đường phân giác trong của VADI . Có BI AB DC và AB P DC hay BI P DC . Vậy tứ giác BICD là hình bình hành vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Thấy rằng BD vừa là đường trung tuyến, phân giác của VADI . Suy ra BD  BI hay D· BI 90 Tứ giác BICD là hình chữ nhật vì là hình bình hành có một góc vuông.
6. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 6/10 d) Vì BICD là hình chữ nhật nên E là trung điểm của DI . Ta có VDAI cân tại A , mà AE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao. Suy ra AE  DI , vậy ·AED 90 .Bài 13. Cho hình thang cân ABCD ( AB PCD, AB CD) , các đường cao AH , BK . a) Tứ giác ABKH là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh DH CK . c) Gọi E là điểm đối xứng với D qua H . Các điểm D và E đối xứng với nhau qua đường nào? d) Tứ giác ABCE là hình gì? Lời giải a) Tứ giác ABKH là hình chữ nhật. b) VADH VBKC (ch - gn). Nên suy ra DH KC . c) D và E đối xứng với nhau qua đường thẳng AH . d) Dễ thấy HE EK EK KC AB EC . Do đó, ABCE là hình bình hành. Bài 14. Cho tam giác ABC vuông tại B . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC , BC . Kẻ Ex song song với BC cắt AB tại M . a) Chứng minh tứ giác BMEF là hình chữ nhật. b) Gọi K đối xứng với B qua E . Tứ giác BAKC là hình gì? Vì sao? c) Gọi G đối xứng với E qua F . Tứ giác BGCE là hình gì? Vì sao? d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác BGCE là hình vuông? Lời giải
7. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 7/10 a) Tứ giác BMEF là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông. EF là đường trung bình của tam giác ABC . EF  BC BFE 90 BMEF là hình chữ nhật. b) Tứ giác BAKC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Lại có ·ABC 90 nên BAKC là hình chữ nhật. c) Tứ giác BGCE là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và BE EC (trung tuyến ứng với cạnh huyền). d) Tam giác ABC vuông cân. Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB AC . Gọi M là trung điểm của BC , kẻ MD vuông góc với AB tại D , ME vuông góc với AC tại E . a) Chứng minh AM DE . b) Chứng minh tứ giác DMCE là hình bình hành. c) Gọi AH là đường cao của tam giác ABC ( H BC ). Chứng minh tứ giác DHME là hình thang cân và A đối xứng với H qua DE . Lời giải a) Dễ thấy ADME là hình chữ nhật, suy ra đpcm. 1 b) Dễ thấy MD PEC , MD EC AC đpcm. 2 1 c) ME DH AD AB ; HM P DE nên DHME 2 là hình thang cân và A , H đối xứng với nhau qua DE . 1 Bài 16. Cho hình thang vuông ABCD có Aˆ Dˆ 90 và AB AD CD , kẻ BH vuông góc với 2 CD . a) Chứng minh rằng tứ giác ABHD là hình vuông. b) Gọi M là trung điểm của BH . Chứng minh A đối xứng với C qua M .
8. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 8/10 c) Kẻ DI vuông góc với AC . AH cắt DI , DM tại P và Q . Chứng minh tứ giác DPBQ là hình thoi. Lời giải a) ABHD là hình vuông vì là hình chữ nhật và có hai cạnh kề bằng nhau. 1 b) Có AB P HC và AB HC DH DC nên tứ giác ABCH là hình bình hành. M là trung 2 điểm của AC . Vậy A đối xứng với C qua M . c) Có VAPD VAPB (c.g.c) nên PD PB ; VDHQ VBHQ (c.g.c) nên DQ QB . Lại có ·ADP M· CD (cùng phụ với góc D· AC ) ·ADP Q· DH (vì Q· DH M· CD ). Vậy V ADP VHDQ (g.c.g) DP DQ Tứ giác DPBQ là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau. Bài 17. Cho hình vuông ABCD . E là điểm trên cạnh DC , F là điểm trên tia đối của tia BC sao cho BF DE . a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân. b) Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh I thuộc BD . c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I . Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông. Lời giải a) VADE VABF AE AF ; F· AB D· AE . Dễ thấy D· AE E· AB 90 F· AB E· AB 90 . Do đó, VAEF là tam giác vuông cân tại A . 1 b) Chứng minh AI CI EF . Do đó I nằm trên 2 đường trung trực của AC . Mà BD là đường trung trực của AC (tính chất hình vuông ABCD ) nên I BD . c) Vì AEF là tam giác vuông cân nên AI  EF . Hơn nữa 1 AI IK và AI EF IE IF nên AI IK IE IF . Vậy 2 tứ giác AEKF là hình vuông.
9. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 9/10 Bài 18. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường trung tuyến AM . Gọi D là trung điểm của AB , E là điểm đối xứng của M qua D . a) Chứng minh E đối xứng với M qua đường thẳng AB . b) Các tứ giác AEMC , AEBM là hình gì? Vì sao? c) Tam giác vuông ABC cần thêm điều kiện gì thì tứ giác AEBM là hình vuông? Lời giải a) Vì MD P AC nên MD  AB E đối xứng với M qua đường thẳng AB . b) Có AB và EM cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường nên tứ giác AEBM là hình bình hành. AE BM MC . Vậy tứ giác AEMC cũng là hình bình hành vì có AE PBM hay AE P MC và AE MC . c) Hình bình hành AEBM có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi. Để hình thoi AEBM là hình vuông thì cần điều kiện AB EM . Vì tứ giác AEMC là hình bình hành nên EM AC . Vậy nếu AB EM suy ra AB AC . Lúc này tam giác ABC cân tại A . Vậy để tứ giác AEBM là hình vuông thì tam giác vuông ABC cần thêm điều kiện AB AC hay tam giác ABC vuông cân tại A . Bài 19. Cho hình bình hành MNPQ có MN 2MQ và Mˆ 120 . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của MN , PQ và A là điểm đối xứng của Q qua M . a) Tứ giác MIKQ là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tam giác AMI đều. c) Chứng minh tứ giác AMPN là hình chữ nhật. Lời giải MN a) Vì MQ IK NP MI IN PK KQ Tứ giác MIKQ 2 là hình thoi.  b) Tam giác AMI có AM MI nên cân tại A và I·MA 60 nên V AMI là tam giác đều. c) Dễ dàng nhận thấy tứ giác AMPN là hình bình hành. Vì tam giác AMI là tam giác đều nên AI IM IN . Vậy tam giác MAN có AI là 1 đường trung tuyến và AI MN nên tam giác MAN là tam giác vuông tại A (trong tam giác 2
10. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 10/10 vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền). Vậy hình bình hành AMPN có một góc vuông nên tứ giác AMPN là hình chữ nhật. Bài 20. Cho tứ giác ABCD , E là trung điểm của cạnh AB . Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở F . Qua F kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD ở G . Qua G kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD ở H . a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành. b) Tứ giác ABCD cần thêm điều kiện gì để tứ giác EFGH là hình chữ nhật. Lời giải a) Có EH P BD P FG và EF P AC P HG nên tứ giác EFGH là hình bình hành vì có các cặp đối song song với nhau. b) Để tứ giác EFGH là hình chữ nhật thì EH  HG hay BD  AC vì EH P BD và HG P AC . Vậy điều kiện để tứ giác EFGH là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD phải có hai đường chéo vuông góc. Bài 21. Cho tam giác ABC vuông ở A . Gọi E , G , F lần lượt là trung điểm của AB , BC , AC . Từ E kẻ đường thẳng song song với BF , đường thẳng này cắt GF tại I . a) Tứ giác AEGF là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tứ giác BEIF là hình bình hành. c) Chứng minh tứ giác AGCI là hình thoi. d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AGCI là hình vuông. Lời giải a) Tứ giác AEGF là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông. b) Có GF P AE hay FI P BE . Vậy tứ giác BEFI là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song. c) Tứ giác AGCI là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau (G· FA 90 ). d) Để tứ giác AGCI là hình vuông thì ·AGC 90 . Vậy tam giác ABC sẽ thành tam giác vuông cân tại A .