Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

Nội dung text: Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

1. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 1/10 Phân PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ. thức đại số A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM. 1. Phép cộng các phân thức đại số . ▪ Quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức. A B A B ; M M M ▪ Quy tắc cộng hai phân thức không cùng mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi đưa về quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu thức. ▪ Giống như phép cộng phân số, phép cộng phân thức cũng có các tính chất sau : giao hoán; kết hợp; cộng với số 0. Chú ý: Nhờ tính chất kết hợp nên trong một dãy phép cộng nhiều phân thức, ta có thể không cần đặt dấu ngoặc. 2. Phép trừ các phân thức đại số . ▪ Quy tắc trừ hai phân thức có cùng mẫu thức: Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta trừ tử của phân thức bị trừ và giữ nguyên mẫu : A B A B ; M M M ▪ Quy tắc cộng hai phân thức không cùng mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi đưa về quy tắc trừ hai phân thức có cùng mẫu thức. A A A A ▪ Phân thức đối của phân thức kí hiệu là . Ta có : 0. B B B B A - A A ▪ Phân thức đối của phân thức là hay- . B B B A A ▪ ; B B B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Cộng , trừ các phân thức đại số thông thường Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau:
2. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 2/10 x - 4 6x + 4 a) + . ĐS: x . 7 7 x + 1 x - 10 x + 3 b) + + . ĐS: 3 . x - 2 x - 2 x - 2 Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau: x + 1 - 2x x - 1 a) + . ĐS: . 2x - 2 x 2 - 1 2(x + 1) 2x x + 1 2 - x b) + + . ĐS: 1. x 2 + 4x + 4 x + 2 (x + 2)2 2x - 1 x - 2 x + 1 c) - . ĐS: . x - 1 x - 1 x - 1 2(2xy - 1) xy - 2 1 d) - . ĐS: . 3x 2y2 3x 2y2 xy x 3 - 1 x 3 + 1 e) - . ĐS: 2. x 2 - x x 2 + x x 2 + y2 y2 x 2 2xy f) - - . ĐS: - . x 2 - y2 xy - y2 x 2 - xy (x - y)(x + y) Dạng 2: Cộng , trừ các phân thức đại số kết hợp quy tắc đổi dấu ▪ Áp dụng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung: - A A A - A A = ; = = - . - B B - B B B ▪ Thực hiện theo quy tắc cộng, trừ hai phân thức có cùng mẫu thức. Ví dụ 3. Thực hiện các phép tính sau: 2x 2 - x x + 1 2 - x 2 a) + + . ĐS: x - 1. x - 1 1- x x - 1 2 4 5x + 1 1 b) - + . ĐS: . x + 1 1- x 1- x 2 x - 1 Ví dụ 4. Thực hiện các phép tính sau: y 4x - 2x - y a) + . ĐS: . 2x 2 - xy y2 - 2xy xy x x - 3y x - 1 b) + + . ĐS: . x 2 + xy y2 - x 2 xy - x 2 x + y
3. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 3/10 Dạng 3: Rút gọn phân thức và tính giá trị của biểu thức đó ▪ Bước 1: Áp dụng kiến thức đã học để rút gọn phân thức. ▪ Bước 2: Tính giá trị biểu thức sau khi đã rút gọn. 2 2 4x Ví dụ 5. Cho biểu thức: P = + + với x ¹ 0;x ¹ 1. x 2 - x x 2 + x + 1 1- x 3 2 a) Rút gọn biểu thức P ; ĐS: P = . x(x 3 - 1) 1 b) Tính giá trị biểu thức P tại x = 2 . ĐS: . 7 Dạng 4: Toán có nội dung thực tế ▪ Bước 1: Thiết lập các biểu thức theo yêu cầu bài toán. ▪ Bước 2: Sử dụng kiến thức đã học để giải quyết bài toán. Ví dụ 6. Một đội máy xúc nhận nhiệm vụ xúc 11600 m3 . Giai đoạn đầu, đội chỉ xúc được 5000 m3 với năng suất trung bình của máy xúc là x m3 /ngày. Giai đoạn sau, năng suất làm việc của máy xúc tăng được 25 m3 /ngày . Khi đó: a) Hãy biểu diễn: 5000 i) Thời gian xúc 5000 m3 ở giai đoạn đầu tiên; ĐS: ngày x ii) Thời gian làm nốt phần việc còn lại ở giai đoạn sau; ĐS: 6600 ngày x + 25 5000 6600 iii) Tổng thời gian hoàn thành công việc. ĐS: + ngày. x x + 25 b) Giả sử năng suất trung bình của máy xúc là 250 m3 /ngày thì tổng thời gian hoàn thành công việc là bao nhiêu ngày? ĐS: 44 ngày. Ví dụ 5. Công ty da giày Hải Phòng nhận sản xuất 10000 đôi giày cho một đối tác nước ngoài với thời hạn là x ngày. Do cải tiến kĩ thuật, công ty không những hoàn thành trước kế hoạch đề ra một ngày mà còn sản xuất thêm được 200 đôi giày. a) Hãy biểu diễn qua x : 10000 i) Số lượng đôi giày công ty phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch. ĐS: x 10200 ii) Số lượng đôi giày thực tế công ty đã sản xuất được trong một ngày. ĐS: x - 1 200x + 10000 iii) Số lượng đôi giày làm thêm trong một ngày. ĐS: . x(x - 1) b) Tính số lượng đôi giày mà công ty làm thêm trong một ngày với x = 25 . ĐS: 25 .
4. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 4/10 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: 11x - 4 10x + 4 a) + . ĐS: 6. x - 1 2 - 2x 1 5 2 b) + . ĐS: . x + 2 2x 2 + 3x - 2 2x - 1 - 3x 2 1 1 - 2(x - 1) c) + + . ĐS: . x 3 + 1 x 2 - x + 1 x + 1 x 2 - x + 1 1 1 2 4 8 d) + + + . ĐS: . 1- x 1+ x 1+ x 2 1+ x 4 1- x 8 Bài 2. Thực hiện các phép tính sau: x + 4y x + y - x - 2y a) + . ĐS: . x 2 - 2xy 2y2 - xy xy 1 1 1 b) + + . ĐS: 0 . (x - y)(y - z) (y - z)(z - x) (z - x)(x - y) Bài 3. Thực hiện các phép tính sau: 2x - 4 3x + 14 a) + . ĐS: x + 2. 5 5 x + 1 x - 18 x + 2 b) + + . ĐS: 3 . x - 5 x - 5 x - 5 Bài 4. Thực hiện các phép tính sau: 6 3 3 a) + . ĐS: . x 2 + 4x 2x + 8 2x x + 1 x - 2 x - 14 b) + + . ĐS: 2. x - 2 x + 2 x 2 - 4 Bài 5. Thực hiện các phép tính sau: 4 - x 2 2x - 2x 2 5 - 4x a) + + . ĐS: x - 3. x - 3 3 - x x - 3
5. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 5/10 2 - 4 5x + 2 1 b) + + . ĐS: . x + 2 2 - x 4 - x 2 x - 2 Bài 6. Thực hiện các phép tính sau: y x - x - y a) + . ĐS: . x 2 - xy y2 - xy xy 1 2 1 - 2 b) + + . ĐS: . x 2 + xy y2 - x 2 xy - x 2 x(x - y) x 2 + x 1 Bài 7. Cho biểu thức: P = + x 3 + x 2 + x + 1 x 2 + 1 x + 1 a) Rút gọn biểu thức P . ĐS: P = . x 2 + 1 b) Tính giá trị của biểu thức P tại x = 1. ĐS: 1. x 2 2(x - 1) x + 2 Bài 8. Cho biểu thức: P = + + với x ¹ 0; x ¹ - 1. x + 1 x x 2 + x a) Rút gọn biểu thức P ; ĐS: P = x + 1. b) Tính giá trị biểu thức P tại x = 1. ĐS: 2. Bài 9. Thực hiện các phép tính sau: 3x + 4 4 - x 4 a) - . ĐS: . x 3y2 x 3y2 x 2y2 x 2 + 2 1 1 b) - . ĐS: . x 3 + 1 x + 1 x 2 - x + 1 1 5x - 4 - 4 c) - . ĐS: . x - 1 x 2 - x x x y - 2x x - y d) - . ĐS: . xy - y2 xy - x 2 xy Bài 10. Tìm phân thức P(x) thỏa mãn đẳng thức sau: x 3 6x - 4 x - 1 a) + - P(x) = . ĐS: P(x) = . x - 1 x + 1 x 2 - 1 x + 1 2x + 4 2 x + 2 - x b) - P(x) = - . ĐS: . x 3 - 1 x - 1 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 Bài 11 Thực hiện các phép tính sau:
6. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 6/10 3x - 2 2x - 1 x - 1 a) - . ĐS: . x + 1 x + 1 x + 1 2(xy - 1) xy - 2 1 b) - . ĐS: . x 2y2 x 2y2 xy x 1 x + 1 c) - . ĐS: . x - 1 x 2 - x x 1 1 1 d) - . ĐS: . xy - y2 x 2 - xy xy x - 3 x - 2 x - 1 Bài 12. Tìm phân thức Q(x) thỏa mãn đẳng thức sau: Q(x) + - = . x - 2 x - 3 x 2 - 5x + 6 3 ĐS: . x - 3 Bài 13. 1 1 1 a) Chứng tỏ rằng hiệu của phân thức dưới đây có tử bằng 1: - . ĐS: . x x + 1 x(x + 1) 1 1 1 b) Tính nhanh biểu thức sau: Q(x) = + + L + . x(x + 1) (x + 1)(x + 2) (x + 99)(x + 100) 100 ĐS: . x(x + 100) Bài 14. Đầu tháng 5 năm 2017 , toàn thế giới ghi nhận hàng chục ngàn máy tính bị nhiễm một loại virus mới mang tên WannaCry. Theo ước tính, có 150000 thiết bị điện tử trở thành nạn nhân của cuộc tấn công mạng này. Trong thời gian đầu virus mới được phát tán, trung bình một ngày ghi nhận x thiết bị nhiễm virus và giai đoạn này khiến 60000 thiết bị bị thiệt hại. Sau đó tốc độ lan truyền gia tăng 500 thiết bị nhiễm virus mỗi ngày. a) Hãy biểu diễn: 60000 i) Thời gian 60000 thiết bị đầu tiên nhiễm virus; ĐS: . x ii) Thời gian số thiết bị còn lại bị lây nhiễm; ĐS: 90000 . x + 500 90000 60000 iii) Thời gian để 150000 thiết bị nêu trên bị nhiễm virus. ĐS: + . x + 500 x b) Tính thời gian để 150000 thiết bị nêu trên bị nhiễm virus với x = 4000. ĐS: 35 .
7. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 7/10 Bài 15. Một tàu du lịch đi từ Hà Nội tới Việt Trì, sau đó nó nghỉ lại tại Việt Trì 2 giờ trước khi quay trở lại Hà Nội. Quãng đường từ Hà Nội tới Việt Trì là 70 km. Vận tốc của dòng nước là 5 km/h. Gọi vận tốc thực của tàu là x km/h. a) Hãy biểu diễn: 70 i) Thời gian tàu đi ngược dòng từ Hà Nội tới Việt Trì; ĐS: (giờ) x - 5 ii) Thời gian tàu đi xuôi dòng từ Việt Trì tới Hà Nội; ĐS: 70 (giờ) x + 5 70 70 iii) Thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến khi tàu quay trở về Hà Nội.ĐS: + + 2 x - 5 x + 5 (giờ). b) Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi tàu về tới Hà Nội, biết rằng vận tốc lúc ngược dòng của tàu là 20 km/h. ĐS: 7 giờ 50 phút. Bài 16. Nếu mua lẻ thì giá một chiếc bút bi là x đồng. Nhưng nếu mua từ 10 bút trở lên thì giá mỗi chiếc rẻ hơn 100 đồng. Cô Dung dùng 180000 đồng để mua bút cho văn phòng. Hãy biểu diễn qua x : 180000 a) Tổng số bút mua được khi mua lẻ. ĐS: . x b) Tổng số bút mua được khi mua cùng một lúc, biết rằng giá tiền một bút không quá 1200 đồng. 180000 ĐS: . x - 100 18000000 c) Số bút được lợi khi mua cùng một lúc so với khi mua lẻ. ĐS: x(x - 100) Bài 17. Một công ty may mặc phải sản xuất 10000 sản phẩm trong x ngày. Khi thực hiện không những đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được 80 sản phẩm. a) Hãy biểu diễn qua x : 10000 i) Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch. ĐS: x 10080 ii) Số lượng sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày. ĐS: x - 1 80x + 10000 iii) Số sản phẩm làm thêm trong một ngày. ĐS: . x(x - 1) b) Tính số sản phẩm làm thêm trong một ngày với x = 25 . ĐS: 20.
8. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 8/10 Bài 18. Tính nhanh biểu thức sau: 1 1 1 1 4 Q(x) = + + + . ĐS: Q(x) = . x 2 - 1 x 2 + 4x + 3 x 2 + 8x + 15 x 2 + 12x + 35 (x - 1)(x + 7) E. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Thực hiện phép tính sau: x + y x - 2y x 2 + 4 4x a) + ; b) + . 3x 3x x - 2 2 - x Câu 2. Rút gọn biểu thức sau 2 2 2 x 4 - (x - 1)2 x - (x - 1) x 2(x - 1)2 - 1 A = + + 2 2 2 4 2 (x 2 + 1) - x 2 x (x + 1) - 1 x - (x + 1) Câu 3. Cho a,b,c thõa mãn abc = 1. Tính a b c M = + + . ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 Câu 4. Thực hiện phép tính sau 3 5x 7 x 2 3 3 a) + + ; b) + + . 4xy 2y2z 6yz2 x 2 + 3x x + 3 x Câu 5. Rút gọn biểu thức 1 1 2a 4a3 8a7 B = + + + + . a - b a + b a2 + b2 a4 + b4 a8 + b8 Câu 6. Cho a + b + c = 0. Rút gọn biểu thức a2 b2 c2 A = + + ; a2 - b2 - c2 b2 - a2 - c2 c2 - a2 - b2 1 1 1 B = + + . b2 + c2 - a2 c2 + a2 - b2 a2 + b2 - c2 1 2 Câu 7. Tìm x biết: x - = (a là hằng số). a + 1 a2 - 1 Câu 8. Chứng minh đẳng thức
9. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 9/10 a2 + 3ab 2a2 - 5ab - 3b2 a2 + ab + ac + bc + = . a2 - 9b2 6ab - a2 - 9b2 3bc - a2 - ac + 3ab Câu 9. Tính: 5x - 2 2x + 2 a) + ; 15 15 2 - 2x 3 + 2y 2x - 5 x 2 y2 - y2 - z2 b) + + ; c) + + + . 6x 3y 6x 3y 6x 3y x + y y + z x + y y + z Câu 10. Tính: 4x - 2 x + 2 1 1 1 2x - 1 x + 3 a) + ; b) + + ; c) + . 7xy2 7xy2 x 2x 3x x 2 Câu 11. Thực hiện các phép tính sau: 3x + 1 x - 2 xy 2x 2 a) - ; b) - . 2xy 2xy 2x - y y - 2x Câu 12. Thực hiện các phép tính sau 3x x 1 4 3x - 6 a) - ; b) - - . 5x + 5y 10x - 10y 3x - 2 3x + 2 4 - 9x 2 x + 2 2 2x 2 + 4 Câu 13. Rút gọn biểu thức: A = - - . x 2 + x + 1 x - 1 1- x 3 Câu 14. Rút gọn biểu thức 20x 2 + 120x + 180 5x 2 - 125 (2x + 3)2 - x 2 A = + - . (3x + 5)2 - 4x 2 9x 2 - (2x + 5)2 3(x 2 + 8x + 15) Câu 15. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 6x 2 + 8x + 7 x 6 1 P = + - v?i x = . x 3 - 1 x 2 + x + 1 x - 1 2 Câu 16. Tính giá trị của biểu thức 10 12 1 P = - - ; x = - 0,75. (x + 2)(3 - x) (3 - x)(3 + x) (x + 3)(x + 2) Câu 17. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x . x + 1 x - 1 4 A = + - ; x ¹ 1; x ¹ - 1. x - 1 x + 1 x 2 - 1
10. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 10/10 1 a Câu 18. Tìm x biết: x + = ; (a là hằng số). a2 - a a - 1 2 (a + 2)×a 2 Câu 19. Tìm phân thức X biết: X + - 1 = . a3 - 1 a2 + a + 1 7x + 2 2 - 2x 5x - 2 x - 2 Câu 20. Tính: a) - ; b) - . 5x - 2 5x - 2 4x 2y 4x 2y xy x 2 x + 4 1 Câu 21. Tính: a) - ; b) - . x 2 - y2 y2 - x 2 x 2 - 4 x 2 + 2x 1 1 1 Câu 22. Tính - + . x + 1 x 3 + 1 x 2 - x + 1 Câu 23. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x . x + 4 x - 2 A = - . 2x + 4 x 2 - 4 1 1 Câu 24. Thực hiện phép tính - . x x + 1 1 1 1 1 Câu 25. Thu gọn biểu thức: A = + + + . x 2 + x x 2 + 3x + 2 x 2 + 5x + 6 x + 3 4x 2 - 2x + 3 Câu 26.Viết phân thức P = dưới dạng tổng một đa thức và một phân thức có tử 2x - 1 thức là hằng số. 4x 2 - 2x + 7 Câu 27. Cho phân thức P = . Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức P 2x - 1 là một số nguyên. 25x 2 - 1 5xy - 15x + y - 3 1 Câu 28. Cho biểu thức P = + với x ¹ ; y ¹ 3. Tính giá trị của P . 1- 5x y - 3 5 Câu 29. Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 . Rút gọn biểu thức a2 b2 c2 P = + + . a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab