Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Hình thang cân

Nội dung text: Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Hình thang cân

1. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 1/8 HèNH THANG CÂN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM. 1. Định nghĩa. ▪ Hỡnh thang là tứ giỏc cú hai cạnh đối song song. ▪ Hỡnh thang cõn là hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau. 2. Tớnh chất. Trong hỡnh thang cõn: ▪ Hai gúc kề một đỏy bằng nhau. ▪ Hai cạnh bờn bằng nhau. ▪ Hai đường chộo bằng nhau. 3. Dấu hiệu nhận biết. Hỡnh 3.1 ▪ Hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau là hỡnh thang cõn. B C ▪ Hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn. Lưu ý: Hỡnh thang cú hai cạnh bờn bằng nhau chưa chắc là hỡnh thang cõn. Chẳng hạn hỡnh thang như hỡnh bờn. A Hỡnh 3.2 D B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tớnh số đo gúc ▪ Trong hỡnh thang cõn, hai gúc kề một đỏy bằng nhau. ▪ Trong hỡnh thang, hai gúc kề một cạnh bờn bự nhau. Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC cõn tại A . Trờn cỏc cạnh bờn AB , AC lấy theo thứ tự cỏc điểm D và E sao cho AD = AE . a) Chứng minh BDEC là hỡnh thang cõn; b) Tớnh gúc của hỡnh thang cõn đú, biết rằng Aˆ = 50° . Lời giải 180° - Aˆ a) VABC cõn tại A nờn BãCA = . (1) 2 Do AD = AE nờn VADE cõn tại A 180° - Aˆ ị DãEA = . (2) 2 ã ã Từ (1) và (2) ị BCA = DEA ị BC PED . (3) Lại cú Bˆ = Cˆ . (4) Từ (3) và (4) suy ra BCDE là hỡnh thang cõn. b) Vỡ BCDE là hỡnh thang cõn nờn 180° - Aˆ 180° - 50° Bˆ = Cˆ = = = 65° ; Eˆ = Dˆ = 180° - Cˆ = 115° . 2 2
2. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 2/8 Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng hoặc gúc bằng nhau ▪ Sử dụng cỏc tớnh chất của hỡnh thang cõn để chứng minh. ▪ Sử dụng cỏc kết quả đó biết về chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai gúc bằng nhau để chứng minh. Vớ dụ 2. Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AB PCD , gọi O là giao điểm của hai đường chộo. Chứng minh OA = OB , OC = OD . Lời giải Do ABCD là hỡnh thang cõn cú AB PCD ỡ ù AD = BC ị ớù ù ÃDC = BãCD. ợù Xột hai tam giỏc VADC và VBCD cú ỡ ù AD = BC ù ã ã ớù ADC = BCD ị VADC = VBCD(c.g.c) ù ù CD chung ợù ã ã ị ACD = BDC (cặp gúc tương ứng). Suy ra VOCD cõn tại O ị OC = OD . Chứng minh tư tương tự với OA = OB . Vớ dụ 3. Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AB PCD , đường chộo DB vuụng gúc với cạnh bờn BC , DB là tia phõn giỏc gúc D . Tớnh chu vi của hỡnh thang, biết BC = 3 cm. Lời giải Trong hỡnh thang cõn ABCD cú Bˆ + Cˆ = 180° ả ° ả ả ° ị B1 + 90 + D1 + D2 = 180 ả ° ả ° ˆ ° Û 3B1 = 90 Û B1 = 30 Û C = 60 . Gọi O = BC ầ AD ị VOCD đều nờn ÃOB = 60° . ã ° VOAB cú OA = OB , AOB = 60 ị VOAB đều ị BA = AD = BC . Chu vi của hỡnh thang ABCD là 3 + 3 + 6 + 3 = 18 cm. Dạng 3: Chứng minh tứ giỏc là hỡnh thang cõn ▪ Sử dụng dấu hiệu nhận biết hỡnh thang cõn. Vớ dụ 4. Cho hỡnh thang MNPQ , (MN PPQ) , cú MP = NQ . Qua N kẻ đường thẳng song song với MP , cắt đường thẳng PQ tại K . Chứng minh a) VNKQ là tam giỏc cõn; b) VMPQ = VNQP ;
3. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 3/8 c) MNPQ là hỡnh thang cõn. Lời giải a) Từ N kẻ tia Nx PMP , Nx ầQP = K . Do MN PPK ị NK = MP ị NK = NQ (= MP) ị VNKQ cõn tại N . b) Do VNKQ cõn tại N nờn NãQP = NãKQ . Mà NãKQ = MãPQ (hai gúc đồng vị), nờn NãQP = MãPQ . Xột VMQP và VNPQ cú ▪ MP = NQ (giả thiết); ã ã ▪ MPQ = NQP (chứng minh trờn); ▪ QP là cạnh chung. ị VMQP = VNPQ (c.g.c). c) Do VMPQ = VNQP nờn MãQP = NãPQ ị M NPQ là hỡnh thang cõn.
4. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 4/8 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho tam giỏc ABC cõn tại A , cỏc đường phõn giỏc BD , CE (D ẻ AC , E ẻ AB ). a) Chứng minh BEDC là hỡnh thang cõn; b) Tớnh cỏc gúc của hỡnh thang cõn BEDC , biết Cˆ = 50° . Lời giải a) Do VABC cõn tại A và BD , CE là cỏc đường phõn giỏc suy ra hai tam giỏc BCE và CDB cú ▪ EãBC = DãCB , ▪ BC chung, ▪ BãCE = DãBC . Vậy VBCE = VCBD (g.c.g). ả ả ị B2 = C2 , BD = EC , BE = DC ; ị VADE cõn tại A ị BEDC là hỡnh thang cõn. b) Do BCDE là hỡnh thang cõn cú Cˆ = 50° ỡ ˆ ˆ ° ù B = C = 50 ị ớù ù Eˆ = Dˆ = 180° - Cˆ = 130°. ợù Bài 2. Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AB PCD , O là giao điểm của hai đường chộo, E là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bờn AD và BC . Chứng minh a) OA = OB , OC = OD ; b) EO là đường trung trực của hai đỏy hỡnh thang ABCD . Lời giải a) Do ABCD là hỡnh thang cõn AB PCD ỡ ù AD = BC ị ớù . ù BãAD = ÃBC ợù Xột VABD và VBAC cú ▪ AD = BC (ABCD là hỡnh thang cõn); ã ã ▪ BAD = ABC (ABCD là hỡnh thang cõn); ▪ AB là cạnh chung. ị VABD =VBAC(c.g.c) . ã ã ị ABD = BAC (cặp gúc tương ứng). Suy ra VOAB cõn tại O ị OA = OB .
5. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 5/8 Chứng minh tư tương tự với OC = OD . b) VEBA , VEDC cõn tại E ị AE = BE , ED = EC ị E thuộc trung trực AB , DC . (1) Mà OA = OB ; OC = OD (cmt) ị O thuộc trung trực AB , DC . (2) Từ (1) và (2) ị OE là đường trung trực của AB , CD . Bài 3. Cho hỡnh thang ABCD (AD PBC , AD > BC ) cú đường chộo AC vuụng gúc với cạnh bờn CD , ã ° AC là tia phõn giỏc gúc BAD và Dˆ = 60 . a) Chứng minh ABCD là hỡnh thang cõn; b) Tớnh độ dài cạnh AD , biết chu vi hỡnh thang bằng 20 cm. Lời giải a) Gọi O = BD ầ DC . Tam giỏc OAD cú AC vừa là phõn giỏc vừa là đường cao nờn VOAD cõn tại A . Lại cú Dˆ = 60° nờn VOAD là tam giỏc đều. Suy ra ABCD là hỡnh thang cõn. b) Theo phần a) C là trung điểm OD , BC PAD ị BC là đường trung bỡnh trong VOAD ị AD = 2BC . Lại cú ABCD là hỡnh thang cõn ị AB = CD . Mà AD = DO = 2CD ị AB = CD = BC . Do chu vi hỡnh thang ABCD là AD + DC + CB + BA = 20 Û 5BC = 20 ị BC = 4 ị AD = 8 cm. Bài 4. Cho tam giỏc ABC cõn tại A . Lấy điểm D trờn cạnh AB , điểm E trờn cạnh AC sao cho AD = AE . a) Tứ giỏc BDEC là hỡnh gỡ? Vỡ sao? b) Cỏc điểm D , E ở vị trớ nào thỡ BD = DE = EC ? Lời giải 180° - Aˆ a) VABC cõn tại A ị Bˆ = Cˆ = . (1) 2 180° - Aˆ VADE cõn tại A ị Dˆ = Eˆ = . (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra BDEC là hỡnh thang cõn do BC PDE và Bˆ = Cˆ . b) Giả sử BD = DE = EC ị BDE cõn tại D ả ả ả ị B1 = E1 = B2 .
6. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 6/8 ả ả Tương tự VDEC cõn tại E ị C1 = C2 . Vậy BE , DC là cỏc đường phõn giỏc của VABC thỡ BD = DE = EC .
7. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 7/8 D. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 5. Tớnh cỏc gúc của hỡnh thang cõn, biết một gúc bằng 40° . Lời giải Giả sử ABCD là hỡnh thang cõn cú Cˆ = Dˆ = 40° , suy ra Aˆ = Bˆ = 180° - Cˆ = 140° . Bài 6. Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AB PCD (AB < CD) . Kẻ cỏc đường cao AH , BK . Chứng minh DH = CK . Lời giải Xột hai tam giỏc vuụng HAD và KBC cú AD = BC , ã ã HDA = KCB ị VHAD = VKBC ị DH = CK . Bài 7. Cho hỡnh thang cõn ABCD cú AB PCD , C = 60° . DB là tia phõn giỏc của gúc D . Tớnh cỏc cạnh của hỡnh thang biết chu vi hỡnh thang bằng 20 cm. Lời giải Gọi O = CB ầ DA ị VOCD đều. ị AB = OA = OB , BãAD = 120° . Cú DB là tia phõn giỏc của gúc D ả ° ả ° ị D1 = 30 ị B1 = 30 ị VABD cõn tại A. ị AB = AD = BC ; CD = 2AB . Chu vi hỡnh thang là CD + DA + AB + BC = 5AB = 20 ị AB = 4. Vậy BC = AD = AB = 4 cm, CD = 8 cm. Bài 8. Cho hỡnh thang ABCD (AB PCD ), cú AC = BD . Chứng minh ABCD là hỡnh thang cõn. Lời giải Từ A kẻ tia Ax PBD , Ax ầCD = K . Do AB PKD ị AK = BD ã ã ị VACK cõn tại A ị ACD = AKC . Lại cú ÃKC = BãDC (hai gúc đồng vị) ã ã ị ACD = BDC . Xột hai tam giỏc BCD và ADC cú ▪ BD = AC (giả thiết); ▪ BãDC = ÃCD (chứng minh trờn);
8. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 8/8 ▪ CD là cạnh chung. ị VBCD = VADC (c.g.c). ị BãCD = ÃDC ị ABCD là hỡnh thang cõn. --- HẾT ---