Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Đường trung bình của tam giác

Nội dung text: Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Đường trung bình của tam giác

1. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 1/15 Hình học ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC phẳng A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa A ▪ Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai M N cạnh của tam giác. M ABïü B C laø trung ñieåm cuûa ï P ý Þ MN laø ñöôøng trung bình cuûa DABC . N laø trung ñieåm cuûa AC ï þï ▪ Mỗi tam giác có ba đường trung bình. 2. Tính chất ▪ Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy. Theo hình bên, A ì ï MN P BC ï M N MN là đường trung bình của DABC Û í 1 ï MN = BC. îï 2 B C 3. Định lý đường trung bình của tam giác ▪ Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba của A tam giác đó. ü M N DABC ï ï MA = MB (M Î AB)ýï Û NA = NC . ï B C ï MN BC MN P BC N Î AC ï ( ) þï
2. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 2/15 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng ▪ Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng. Ví dụ 1. Tìm độ dài x trong các hình sau A C 15cm N M 3,5cm N x x B A B C M a) b) Lời giải a) Xét tam giác ABC, ta có b) Xét tam giác ABC, ta có ▪ M là trung điểm của AB; ▪ M là trung điểm của AB; ▪ N là trung điểm của AC. ▪ N là trung điểm của AC. Þ MN là đường trung bình của DABC . Þ MN là đường trung bình của DABC . 1 1 Þ MN = BC Þ x = 7(cm). Þ MN = BC Þ x = 7,5(cm). 2 2 Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 5, BC = 13. Qua trung điểm M của AB , vẽ một đường thẳng song song với AC cắt BC tại N . Tính độ dài MN . Lời giải Xét VABC có MA = MB và MN PAC nên NB = NC . Do 1 đó, MN là đường trung bình. Suy ra MN = AC . 2 Vì VABC vuông tại A nên A C 2 = BC 2 - A B 2 = 132 - 52 = 144 Þ AC = 12. Vậy MN = 12 : 2 = 6. Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau; hai đường thẳng song song. ▪ Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.
3. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 3/15 ▪ Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, hai đoạn thẳng bằng nhau như đã học ở lớp 7. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD , CE . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của BE và CD . Gọi I , K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD và CE . Chứng minh MI = IK = KN . Lời giải ì ï MI PED Xét VBED có í Þ ID = IB . ï ME = BM îï ì ï NK PED Xét VCED có í Þ KE = KC . ï NC = ND îï 1 1 1 Suy ra MI = ED ; NK = ED ; ED = BC . 2 2 2 1 1 1 1 IK = MK - MI = BC - DE = DE - DE = DE . 2 2 2 2 Vậy MI = IK = KN . Ví dụ 4. Cho tam giác ABC , điểm D , E thuộc AC sao cho AD = DE = EC . Gọi M là trung điểm của BC , I là giao điểm của BD và AM . Chứng minh : a) ME PBD ; b) AI = IM . Lời giải ì ï EC = ED a) Xét VCBD có í Þ ME PBD . ï MC = MB îï ì ï ID PME b) Xét VAEM có í Þ IA = IM . ï AD = DE îï Ví dụ 5. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD , CE cắt nhau tại G . Gọi M , N lần lượt là trung điểm BG , CG . Chứng minh tứ giác MNDE có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Lời giải
4. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 4/15 ì ï ED PBC ï Xét VABC có í 1 (1). ï ED = BC îï 2 ì ï MN PBC ï Xét VGBC có í 1 (2). ï MN = BC îï 2 ì ï ED PMN Từ (1) và (2) Þ í . ï ED = MN îï ì ï EM PAG ï Xét VBAG có í 1 (3). ï EM = AG îï 2 ì ï DN PAG ï Xét VCAG có í 1 (4). ï DN = AG îï 2 ì ï EM PDN Từ (3) và (4) Þ í . ï EM = DN îï Vậy tứ giác MNDE có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Ví dụ 6. Cho BD là đường trung tuyến của tam giác ABC , E là trung điểm của đoạn thẳng AD , F là trung điểm đoạn thẳng DC , M là trung điểm cạnh AB , N là trung điểm cạnh BC . Chứng minh ME PNF và ME = NF . Lời giải ì ì ï ME PBD ï MA = MB ï Xét VABD có í Þ í 1 (1) . ï EA = ED ï ME = BD î îï 2 ì ì ï NF PBD ï NB = NC ï Xét VCBD có í Þ í 1 (2) . ï FC = FD ï NF = BD î îï 2 ì ï ME PNF Từ (1) và (2) Þ í ï ME = NF. îï Dạng 3: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để chứng minh tứ giác hình thoi; hình bình hành; hình chữ nhật; hình vuông. ▪ Vận dụng định nghĩa, tính chất và định lý đường trung bình của tam giác để chứng minh bài toán liên quan. Ví dụ 5. Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh A B , BC , CD , DA . Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
5. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 5/15 Lời giải Xét tam giác DAC có PQ là đường trung bình ì ï PQ PAC ï Þ í 1 (1) ï PQ = AC. îï 2 Xét tam giác BAC có MN là đường trung bình ì ï MN PAC ï Þ í 1 (2) ï MN = AC. îï 2 ì ï MN PPQ Từ 1 và 2 suy ra í ( ) ( ) ï MN = PQ. îï Þ Tứ giác MNPQ là hình bình hành. Ví dụ 6. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E , F , G , H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB , BC , CD , DA . Chứng minh tứ giác HEFG là hình chữ nhật. Lời giải Xét VABD có EH là đường trung bình. 1 EH PBD và EH BD . (1) 2 Xét VCBD có FG là đường trung bình. 1 FG PBD và FG BD . (2) 2 Từ (1) và (2) EFGH là hình bình hành.(3) Xét VBAC có EF là đường trung bình. EF P AC . Mà AC  BD và BD PFG EF  FG . (4) Từ (3) và (4) EFGH là hình chữ nhật. Ví dụ 7. Cho tứ giác ABCD có AC BD , gọi E , F , G , H lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CA , DA . Chứng minh rằng EFGH là hình thoi. Lời giải
6. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 6/15 BD VABD có EH là đường trung bình nên EH . 2 Hoàn toàn tương tự, xét các tam giác BCD , ACD , ABC , ta được BD AC AC GF ; EF ; GH . 2 2 2 Lại có AC BD nên EH EF GF GH . Do đó EFGH là hình thoi. Ví dụ 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi M , N là trung điểm AB , AC . Qua M kẻ đường thẳng song song AC và cắt BC tại P . Chứng minh rằng AMPN là hình vuông. Lời giải Ta có M là trung điểm của AB , MP P AC MP là đường trung bình của VABC P là trung điểm của BC . Mà N là trung điểm của AC NP là đường trung bình của VABC NP P AB AMPN là hình bình hành. AB AC Mà M· AN 90 AMPN là hình chữ nhật. Mà AM AN 2 2 AMPN là hình vuông. Dạng 4: Bài toán thực tế liên quan đường trung bình tam giác. ▪ Vận dụng định nghĩa, tính chất và định lý đường trung bình giải quyêt bài toán liên quan. Ví dụ 9. Khi thiết kế một cái thang gấp, để đảm bảo an toàn người thợ đã làm thêm một thanh ngang để giữ cố định ở chính giữa hai bên thang (như hình vẽ bên) sao cho hai chân thang rộng một khoảng là 80 cm. Hỏi người thợ đã làm thanh ngang đó dài bao nhiêu cm ?
7. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 7/15 Lời giải Gọi MN là thanh ngang ; BC là độ rộng giữa hai bên thang. A MN nằm chính giữa thang nên M; N là trung điểm AB và AC. Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC. 1 1 Suy ra MN = BC .80 40 (cm) . N 2 2 M Vậy người thợ đã làm thanh ngang đó dài 40 cm. C B Ví dụ 10. Giữa hai điểm B và C bị ngăn cách bởi hồ nước (như hình dưới). Hãy xác định độ dài BC mà không cần phải bơi qua hồ. Biết rằng đoạn thẳng KI dài 25m và K là trung điểm của AB, I là trung điểm của AC. Lời giải Xét tam giác ABC, có: K là trung điểm AB I là trung điểm AC KI là đường trung bình của tam giác ABC 1 KI BC 2 1 Hay 25 .BC 2 BC 50 m C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho tam giác MNP , K là trung điểm NP , Q là một điểm nằm trên cạnh MN sao cho NQ = 2QM . Gọi I là giao điểm của PQ và MK . Chứng minh I là trung điểm của MK . Lời giải Gọi E là trung điểm QN Þ KE PPQ và Q là trung điểm ME . Þ IQ là đường trung bình của VMEK Þ I là trung điểm của MK .
8. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 8/15 Bài 2. Cho tam giác ABC , trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm AM , D là giao điểm của BI và AC . 1 a) Chứng minh AD = DC ; b) So sánh độ dài BD và I D . 2 Lời giải a) Kẻ MN PBD , N Î AC . MN là đường trung bình trong VCBD Þ N là trung điểm của CD (1) . IN là đường trung bình trong VAMN Þ D là trung điểm của AN (2) . 1 Từ (1) và (2) suy ra AD = DC . 2 1 1 Có ID = MN ; MN = BD , nên BD = ID . 2 2 Bài 3: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AD . Gọi M là một điểm trên cạnh AC sao 1 cho AM = MC . Gọi O là giao điểm của BM và AD . Chứng minh rằng 2 1 a) O là trung điểm của AD . b) OM = BM . 4 Lời giải a) Qua D vẽ một đường thẳng song song với BM cắt AC tại N . Xét VMBC có DB = DC và DN PBM nên 1 MN = NC = MC (định lý đường trung bình của tam giác). 2 1 1 Mặt khác AM = MC , do đó AM = MN = MC . 2 2 Xét VAND có AM = MN và BM PDN nên OA = OD hay O là trung điểm của AD.
9. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 9/15 1 b) Xét VAND có OM là đường trung bình nên OM = DN . (1) 2 1 Xét VMBC có DN là đường trung bình nên DN = BM . (2) 2 1 Từ (1) và (2) suy ra OM = BM . 4 Bài 4. Cho tam giác ABC , hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G . Gọi D và E lần lượt là trung điểm của GB và GC . Chứng minh rằng a) M N PDE . b) ND PME . Lời giải a) Vì BM , CN là các đường trung tuyến của VABC nên MA = MC , NA = NB . Do đó MN là đường trung bình của VABC , suy ra M N PBC . (1) Ta có DE là đường trung bình của VGBC nên DE PBC . (2) Từ (1) và (2) suy ra M N PDE . b) Xét VABG , ta có ND là đường trung bình. Xét VACG , ta có ME là đường trung bình. Do đó ND PAG , M E PA G . Suy ra ND PME . Bài 5. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM . Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của AB , AC và AM . Chứng minh rằng a) Ba điểm D , E , F thẳng hàng. b) F là trung điểm của DE . Lời giải a) Xét VABM có DF là đường trung bình nên DF PBM hay DF PBC . (1) Xét VABC có DE là đường trung bình nên DE PBC , (2) Từ (1) và (2) suy ra D , E , F thẳng hàng. 1 b) Chứng minh DE = FE (bằng của hai đoạn thẳng bằng 2 nhau). Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của HA và HC . Chứng minh rằng BM ^ AN .
10. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 10/15 Lời giải Xét VHAC có MN là đường trung bình nên MN PAC Þ MN ^ AB . Xét VBAN có AH và NM là hai đường cao cắt nhau tại M . Do đó BM ^ AN. Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi E , F , G , H lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD, DA . Chứng minh: a) EFGH là hình thoi. b) AC , BD , EG , FH đồng quy. Lời giải a) VABC có EF là đường trung bình nên EF P AC và AC EF . 2 VACD có GH là đường trung bình nên GH P AC và AC GH . 2 Suy ra EF PGH và EF GH . Do đó EFGH là hình bình hành. BD Hơn nữa, VABD có EH là đường trung bình nên EH . 2 Mà AC BD (hình chữ nhật ABCD ) nên EF EH , suy ra EFGH là hình thoi. b) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AE PCG và AE CG . Do đó tứ giác AECG là hình bình hành. Mà O là trung điểm của đường chéo AC (trong hình chữ nhật ABCD ). Nên O cũng là trung điểm của đường chéo EG . Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được AHCF là hình bình hành. Và suy ra O cũng là trung điểm của đường chéo HF . Vậy AC , BD , CD, DA đồng quy tại O .