Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Định lí Pythagore

Nội dung text: Phiếu bài tập môn Toán Lớp 8 - Bài: Định lí Pythagore

1. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 1/14 ĐỊNH LÍ PYTHAGORE I. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông. DABC vuông tại A Þ BC 2 = AB 2 + AC 2 . B 2. Định lý Pythagore đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông. 2 2 2 · 0 DABC có BC = AB + AC Þ BAC = 90 A C B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tính độ dài cạnh của tam giác vuông Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB 6 cm, AC 8 cm. a) Tính độ dài cạnh BC . b) Kẻ AH vuông góc với BC tại H . Biết AH 4,8 cm. Tính BH ,CH . Lời giải a) VABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore ta có : BC 2 AB 2 AC 2 BC 2 62 82 100 BC 100 10 cm. VABH vuông tại H nên theo định lí Pythagore ta có : AB 2 AH 2 BH 2 BH 2 AB 2 AH 2 BH 2 62 (4,8)2 12,96 BH 12,96 3,6 cm. Từ đó tính được HC BC BH 10 3, 6 6, 4 cm. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AC 9 cm, BC 15 cm. Trên tia đối của AC lấy điểm D sao cho AD 5 cm. Tính độ dài các cạnh A B,BD . Lời giải VABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore ta có BC 2 AB 2 AC 2 AB 2 BC 2 AC 2 AB 2 152 92 144 AB 144 12 cm VABD vuông tại A nên theo định lí Pythagore ta có
2. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 2/14 BD 2 AB 2 AD 2 BD 2 122 52 169 BD 169 13 cm. Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC , kẻ AH vuông góc với BC . Tính chu vi tam giác ABC biết AC 20 cm, AH 12 cm, BH 5 cm. Lời giải Để tính được chu vi VABC , ta cần xác định độ dài của A B, BC . Trong VABH vuông tại H , ta có AB 2 AH 2 BH 2 122 52 144 25 169 AB 13. Trong VACH vuông tại H , ta có CH 2 AC 2 AH 2 202 122 400 144 256 CH 16 BC BH CH 5 16 21 cm . Khi đó. chu vi VABC được tính bởi C AB BC AC VABC 13 21 20 54 cm. Ví dụ 4. Hai đoạn thẳng A C,BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn thẳng. Tính độ dài A B,BC ,CD,DA biết AC 12 cm, BD 16 cm. Lời giải Gọi I là giao điểm của AC và BD . Khi đó AI CI 6 cm, BI DI 8 cm, A· IB B· IC C· ID D· IA 90 . Ta có VABI VCBI VCDI VADI (c.g.c). AB BC CD AD (các cạnh tương ứng). Áp dụng định lí Pythagore, ta có AB 2 AI 2 BI 2 62 82 100 AB 10 cm. Vậy AB BC CD DA 10 cm. Dạng 2: Nhận biết tam giác vuông ▪ Nếu một tam giác được cho với độ dài 3 cạnh của nó thì sử dụng định lý Py-ta-go đảo để kết luận tam giác vuông. ▪ Cụ thể kiểm tra bình phương của độ dài cạnh lớn nhất so với tổng bình phương của hai cạnh còn lại. Ví dụ 5. Kiểm tra xem tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài sau: a) 4 cm, 7 cm, 6 cm; b) 6 cm, 10cm, 8 cm. Lời giải a) Ta có 42 62 52 49 72 nên tam giác này không phải là tam giác vuông.
3. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 3/14 c) Ta có 62 82 100 102 nên tam giác này là tam giác vuông. Ví dụ 6. Kiểm tra xem tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài sau: a) 20 cm, 12 cm, 16 cm; b) 6 cm, 11 cm, 9 cm. Lời giải a) Ta có 122 162 400 202 nên tam giác này vuông. b) Ta có 62 92 117 112 nên tam giác không vuông. Ví dụ 7. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB 6 cm, AC 8 cm. D là một điểm sao cho BD 16 cm, CD 24 cm. Chứng minh VCBD không thể là tam giác vuông. Lời giải Tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pythagore ta có BC 2 AB 2 AC 2 62 82 100 BC 100 10 cm Tam giác CBD không thể là tam giác vuông vì 242 102 162 . Ví dụ 8. Cho tam giác ABC , đường cao AH . Biết AH 6 cm, BH 4,5 cm, HC 8 cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Lời giải Tam giác ABH vuông tại H nên theo định lý Pythagore ta có 225 225 AB 2 AH 2 BH 2 62 (4,5)2 AB 7,5 cm. 4 4 Tam giác ACH vuông tại H nên theo định lý Pythagore ta có AC 2 AH 2 HC 2 AC 2 62 82 100 AC 100 10 cm. 625 Tam giác ABC có AB 2 AC 2 (7,5)2 102 (12,5)2 BC 2 . 4 Do đó VABC vuông tại A . Dạng 3: Dùng định lý Pythagore giải quyết một số bài toán thực tế liên quan.
4. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 4/14 Ví dụ 9: Một bạn học sinh thả diều ngoài đồng, cho biết đoạn dây diều từ tay bạn đến diều dài 170m và bạn đứng cách nơi diều được thả lên theo phương thẳng đứng là 80m. Tính độ cao của con diều so với mặt đất, biết tay bạn học sinh cách mặt đất 2m. Lời giải Áp dụng định lí Pythagore vào ABC vuông tại A: BC 2 AB2 AC 2 AB 1702 802 150 + Độ cao của con diều so với mặt đất 150 + 2 = 152m Ví dụ 10: Hai cây A và B được trồng dọc trên đường, cách nhau 24m và cách đều cột đèn D. Ngôi trường C cách cột đèn D 9m theo hướng vuông góc với đường (xem hình vẽ). Tính khoảng cách từ mỗi cây đến ngôi trường. Lời giải Vì D là trung điểm của AB ( gt) AD DB AB : 2 24 : 2 12m Theo định lý Pythagore ta có: AC (12)2 (9)2 15(m) CD vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến suy ra tam giác CAD cân tại C suy ra AC = BC = 25m C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tính độ dài đoạn thẳng trong các hình sau: G M E A 45° 4 4 32 3 12 9 C 45° 60° H K N P B D F Lời giải: a) BC 2 = AB 2 + AC 2 = 225 Þ BC = 15
5. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 5/14 b) DDEF cân tại D Þ DF = 3 .EF 2 = DE 2 + DF 2 = 18 Þ EF = 18 c) DHGK đều Þ GH = GK = HK = 4 d) DMNP cân tại N MN 2 + NP 2 = MP 2 Þ 2MN 2 = 32 Þ MN 2 = 16 Þ MN = 4. Vậy MN = NP = 4 Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC , AB 13 cm, AC 15 cm. Kẻ AD  BC(D BC) . Biết BD 5 cm. Tính CD . Lời giải: Tam giác ABD vuông tại D nên theo định lí Pythagore ta có : AD 2 AB 2 BD 2 132 52 144 AD 12 cm. Tam giác ACD vuông tại D nên theo định lí Pythagore ta có : CD 2 AC 2 AD 2 152 122 81 CD 9 cm. Bài 3. Cho tam giác ABC vuông cạnh huyền AB 117 cm, BC 6 cm. Gọi K là trung điểm của AC . Tính độ dài BK . Lời giải Tam giác ABC có cạnh huyền AB nên VABC vuông tại C . Do đó 9 AC 2 AB 2 BC 2 117 36 81 AC 9 CK cm. 2 Tam giác BCK vuông tại C nên 81 225 BK 2 BC 2 CK 2 36 BK 7,5 cm. 4 4 Bài 4: Cho tam giác ABC , đường cao AH . Biết AC 15 cm, AH 12 cm, BH 9 cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Lời giải: Tam giác ABH vuông tại H nên theo định lí Py-ta-go ta có AB 2 AH 2 BH 2 122 92 225 AB 15 cm. Do đó AB AC nên VABC cân tại A . Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn, cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Tính độ dài cạnh BC biết a) HA 7 cm, HC 2 cm. b) AB 5 cm,HA 4 cm.
6. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 6/14 Lời giải A a) AB AC HA HC 9 cm. Dùng định lý Py-ta-go ta có BC 2 BH 2 HC 2 H AB2 AH 2 HC 2 Từ đó BC 6 cm. B C b) Làm tương tự câu a, tính được HC 1 cm BC 10 cm. AB 8 Bài 6: Cho DABC vuông ở A có = , BC = 51 . Tính A B, A C . AC 15 Lời giải Áp dụng định lý Pythagore cho ABC vuông tại A có: BC 2 AB 2 AC 2 AB 8 AB AC Có = Þ = AC 15 8 15 AB 2 AC 2 AB 2 + AC 2 BC 2 512 Þ = = = = = 9 64 225 64 + 225 289 289 AB AC Þ = = 3 | 8 15 VậyAB = 24 ; AC = 45 . Bài 7: Các tam giác cho dưới đây có phải là tam giác vuông không? Chứng minh. Nếu tam giác là tam giác vuông hãy chỉ rõ vuông tại đỉnh nào? a) A B = 25; BC = 7;CA = 24. b) DE = 2;EF = 11; FD = 15 c) GH = 5; HI = 6; IG = 7 Lời giải: a) Có: BC 2 + CA2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252 = AB 2 . Vậy ABC vuông tại C (Định lý Pythagore đảo). 2 2 b) Có: DE 2 + EF 2 = 22 + ( 11) = 4 + 11 = 15 = ( 15) = FD 2 . Vậy DEF vuông tại E (Định lý Pythagore đảo). c) Ta có: 7 6 5 . Mà GH 2 + HI 2 = 52 + 62 = 25 + 36 = 61 > 49 = 72 = IG 2 . Vậy GHI không phải là tam giác vuông. Bài 8:
7. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 7/14 Lăng Chủ tich Hồ Chí Minh (Lăng Bác) tại Quảng trường Ba Đình - Hà Nội là nơi hội tụ tình cảm, niềm tin của đồng bào và bầu bạn Quốc tế đối với Chủ tịch Hồ Chí Minh và đất nước, con người Việt Nam. Ngay từ ngày khánh thành công trình Lăng Chủ tịch Hồ Chí Minh (29/8/1975), trước Lăng Bác đã có một cột cờ rất cao, trên đỉnh cột cờ luôn tung bay lá cờ Tổ quốc Việt Nam. Vào một thời điểm có tia nắng mặt trời chiếu xuống ta thường nhìn thấy bóng của cột cờ dưới sân Quảng trường Ba Đình, bằng kiến thức hình học người ta đo được chiều dài cái bóng của cột cờ này là đoạn BH = 40m và tính được khoảng cách từ đỉnh cột cờ đến đỉnh cái bóng của nó là đoạn AB = 50m (như hình vẽ bên). Em hãy tính chiều cao của cột cờ trước Lăng Bác (độ dài đoạn AH)? Biết rằng cột cờ được dựng vuông góc với mặt đất. Lời giải: Xét ABH vuông tại H có : AB2 AH 2 BH 2 (Định lí Pythagore) 502 AH 2 402 AH 2 2500 1600 900 (m) . AH 900 30 (m). Vậy chiều cao cột cờ trước Lăng Bác là 30m. Bài 8: Cho hình vẽ bên. Tính chiều dài của cánh buồm ? B (Làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải: C Xét tam giác ABC vuông tại A A BC= 5,42 3,82 ; 6,60 ( định lí Pythagore) Chiều dài của cánh buồm 6,60
8. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 8/14 Bài 9: Một bạn học sinh thả diều ngoài đồng, cho biết đoạn dây diều từ tay bạn tới diều là 130m và bạn đứng cách con diều theo phương thẳng đứng là 120m. Tính độ cao của con diều so với mặt đất. Biết tay bạn học sinh cách mặt đất 1,5m. (Hình bên) Lời giải: Áp dụng định lý Pytago, vào 훥 vuông tại B, có 2 = 2 + 2 (định lý Pythagore) AB = 50m Vậy chiều cao con diều so với mặt đất là 51,5 m Bài 10: Tính chiều dài đường trượt AC trong hình vẽ trên (kết quả làm tròn hàng phần mười). Lời giải: Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AHB vuông tại H. AB2 AH 2 HB2 HB2 AB2 AH 2 (5)2 (3)2 25 9 16 HB 16 4m CH CB HB 10 4 6m Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHC vuông tại H. AC 2 AH 2 CH 2 (3)2 (6)2 9 36 45 AC 45 6,7m Vậy chiều dài đường trượt AC là 6,7m.
9. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 9/14 Bài 11: Một cây cao 12m mọc cạnh bờ sông. Trên đỉnh cây có một con chim đang đậu và chuẩn bị sà xuống bắt con cá trên mặt nước (như hình 1 và được mô phỏng như hình 2). Hỏi con chim sẽ bay một đoạn ngắn nhất bằng bao nhiêu mét thì bắt được con cá? (Biết con cá cách gốc cây 5m và nước cao mấp mé bờ sông) Lời giải: Tam giác ABC vuông tại A, ta có : BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Pythagore) BC2 = 52+122 = 25 + 144 BC2 = 169 BC = 13cm Vậy con chim bay được một đoạn bằng 13m thì bắt được con cá . Bài 12: Nhà bạn Bình Nhà bạn An (vị trí A trên hình vẽ) cách nhà bạn Châu (vị trí C trên hình vẽ) 600m và cách nhà bạn B Bình (vị trí B trên hình vẽ) 450m. Biết rằng 3 vị trí: nhà An, nhà Bình và nhà Châu là 3 đỉnh của một tam giác vuông (xem hình vẽ). Hãy tính khoảng cách từ 450m Nhà bạn Châu nhà Bình đến nhà Châu Nhà bạn An Lời giải: 600m ABC vuông tại B nên ta có: A C BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pythagore) BC2 = 4502 + 6002 BC2 = 562500 BC = 750m Khoảng cách từ thành phố B đến trạm phát sóng là 750 m Bài 13: Theo quy định của khu phố, mỗi gia đình sử dụng bậc tam cấp di động để dắt xe vào nhà không được lấn chiếm vỉa hè quá 85 cm ra phía vỉa hè. Biết rằng nhà bạn Nam có nền cao 60 cm so với vỉa hè và có chiều dài bậc tam cấp là 1 m. Theo em nhà bạn Nam có thực hiện đúng quy định của khu phố không ? Vì sao ?
10. PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 8 Trang 10/14 Lời giải: ABC vuông tại A theo định lý Pythagore ta có : AC2 = BC2 – AB2 = 1002 – 602 = 6400. AC 6400 80cm 85cm . Vậy nhà bạn Nam đã thực hiện đúng quy định của khu phố. Bài 14: Một công ty muốn xây dựng một đường ống dẫn dầu từ điểm A trên bờ biển đến một điểm C trên một hòn đảo như hình vẽ. Giá để xây dựng đường ống trên bờ là 40 000 USD mỗi km và 130 000 USD mỗi km để xây dưới nước. Hỏi công ty nên xây đường ống theo phương án nào để tiết kiệm chi phí nhất? Biết rằng công ty đưa ra ba phương án: Phương án 1: Xây đường ống từ điểm A trên bờ đến điểm C trên đảo. Phương án 2: Xây đường ống từ điểm A đến điểm M trên bờ biển, rồi xây đường ống từ điểm M đến điểm C trên hòn đảo. Phương án 3: Xây đường ống từ điểm A đến điểm B trên bờ biển, rồi xây đường ống từ điểm B đến điểm C trên hòn đảo. Biết: BC = 60km, AB = 100km, AM = 55km Lời giải: Độ dài đoạn BM: BM = AB – AM = 100 -55 = 45 km. Xét tam giác MBC vuông tại B. Áp dụng định lý Pythagore ta có : CM = BC 2 BM 2 (60)2 (45)2 5625 75km