Đề thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm (Có đáp án)

1. Diligence is the mother of success ĐỀ SỐ 3 Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức A 5 1 6 2 5 x 7 x 12 1 x 3 x 0, x 9 và B . x 4 x 3 x 1 x 3 a. Rút gọn biểu thức A; B. b. Tìm các giá trị của x để 2 lần giá trị biểu thức B lớn hơn giá trị biểu thức A . Bài 2: (1,5 điểm) 2 6 1,1 x y x y 1) Giải hệ phương trình: 4 9 0,1 x y x y 2) Một người đi thuê nhà với mức giá 2 000 000 đồng một tháng. Gọi x là số tháng người đó thuê nhà. Gọi y là số tiền người đó phải trả sau x tháng thuê nhà , biết rằng lúc đầu người đó đã phải trả phí cho công ty môi giới nhà đất số tiền là 500 000 đồng a) Lập công thức hàm số của y theo x b) Sau 6 tháng thuê nhà, người đó phải trả tổng bao nhiêu tiền? Bài 3. 1. Cho Parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = 2(a + 1)x + 4 – a (d) a) Tìm tọa độ của các giao điểm đó khi a = -1 b) Chứng minh rằng (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d). Tìm giá trị x2 + x2 nhỏ nhất của biểu thức: A = 1 2 x1 1- x2 + x2 1- x1 2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 đôi giầy trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 đôi nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu đôi giầy? Bài 4 (0,75 điểm): Một chi tiết máy gồm 3 khối trụ có cùng chiều cao h gắn với nhau (như hình vẽ). Khối trụ lớn có bán kính đáy r lớn gấp đôi bán kính đáy của hai khối trụ nhỏ (hai khối trụ nhỏ bằng nhau). Biết thể tích của cả khối chi tiết máy đó bằng 90cm3 . Tính thể tích của khối trụ lớn ở giữa. Bài 5 (3,0 điểm). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MP, MQ của đường tròn (P,Q là các tiếp điểm) và một cát tuyến MAB không đi qua tâm O (MA MB ). Gọi I là trung điểm của AB . a) Chứng minh năm điểm M ,P,O,I ,Q cùng thuộc một đường tròn. Giáo viên: Đoàn Văn Lãm - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 1
2. Diligence is the mother of success b) Gọi E là giao điểm của PQ và AB . Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác MIP , từ đó suy ra MP 2 ME.MI . c) Qua A kẻ đường thẳng song song với MP cắt PQ tại K . Gọi N là trung điểm của PM Chứng minh ba điểm B,N,K thẳng hàng. Bài 6: (0,75 điểm): Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a b c . a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 3 Bài Đáp án Điểm a.(1,0 điểm) 2 0,25 A 5 1 6 2 5 5 1 5 1 0,25 0,25 5 1 5 1 5 1 5 1 0,25 4 2 x 7 x 12 1 x 3 B . x 4 x 3 x 1 x 3 x 3 x 4 1 x 3 . x 3 x 1 x 1 x 3 Bài 1 x 3 x 3 x 3 . (1,5 điểm) x 1 x 3 x 1 b. ((0,5 điểm) Với x 0, x 9 , để 2 lần giá trị biểu thức B lớn hơn giá trị biểu thức A thì x 3 2 x 6 2B A 2. 2 2 0 x 1 x 1 8 0 x 1 0 (Vì x 0 với x 0 ) 0,25 x 1 0,25 x 1 x 1 Kết hợp điều kiện, ta có: x 1, x 9. Vậy với x 1, x 9 thì 2 lần giá trị biểu thức B lớn hơn giá trị biểu thức A Bài Đáp án sơ Điểm 1 2 6 0,25 (1,5 điểm) 1,1 0,25 x y x y 4 9 0,1 x y x y Đk: x y Giáo viên: Đoàn Văn Lãm - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 2
3. Diligence is the mother of success 4 12 2,2 x y x y 4 9 0,1 x y x y 21 2,1 x y 2 6 1,1 x y x y x y 10 x y 4 2x 14 x y 4 x 7 (TM ) y 3 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm (x; y) = (7;3) 0,25 a) y = 500 000 + 2 000 000 . x 0,25 b) Thay x = 6 vào ta có: 0,25 y = 500 000 + 2 000 000. 6 0,25 = 12 500 000 Vậy sau 6 thang thuê nhà thì người đó phải trả 12 500 000 đồng +) Với a = -1 thì phương trình hoành độ của (P) và (d) là 0,25 x2 – 2(-1 + 1)x - 4 + (-1) = 0 2 2 x – 5 = 0  x = 5 x = x1 = 5; x2 = - 5 1a Với x = 5 thì y = 5 0,25 Với x = - 5 thì y = 5 Vậy với a = - 1 thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt là A( 5 ; 5) và B(- 5 ; 5) +) Xét phương trình hoành độ của (P) và (d) ta có: 0,25 x2 = 2(a+1)x + 4 – a x2 - 2(a + 1)x - 4 + a = 0 (*) Δ’ = [- (a+1)]2 – 1.(a – 4) = a2 + 2a + 1 – a + 4 2 Δ’ = a + a + 5 1b 2 1 19 0,25 Δ’ = a 0 với mọi a 2 4 Vì Δ’ > 0 với mọi a nên phương trình hoành độ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a. Do đó (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt với mọi a. 1c Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) 0,25 x2 - 2(a + 1)x - 4 + a = 0 (*) Giáo viên: Đoàn Văn Lãm - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 3
4. Diligence is the mother of success x1 + x2 = 2 a + 1 Theo Viet ta có (1) x1.x2 = - 4 + a Theo đề bài x2 + x2 (x +x )2 -2x x (x +x )2 -2x x A = 1 2 = 1 2 1 2 = 1 2 1 2 (2) x1 1-x2 +x2 1-x1 x1 -x1x2 +x2 -x1x2 (x1 +x2)-2x1x2 Thay (1) vào (2) ta có: 0,25 3 9 39 10A = 4a 2 + 6a +12 10A = (2a)2 + 2.2a. + + 2 4 4 2 3 2 2a + 3 39 2 39 39 10A = 2a + + A = + 2 4 10 40 40 39 -3 Vậy giá trị nhỏ nhất của A khi đó a = 40 4 Gọi số giầy phân xưởng làm trong một ngày theo kế hoạch là x 0,25 đôi giầy (Điều kiện: 0 < x < 1100; x N) Thì số giầy phân xưởng thực tế làm được trong một ngày là: 0,25 x + 5 (đôi giầy) Vì mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 đôi nên đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Ta có 1100 1100 phương trình: 2 x x 5 2 Giải phương trình: 0,25 1100 1100 (1,0điểm) - 2 = x x + 5 1100(x + 5)- 2x(x + 5) = 1100x 1100x + 5500- 2x2 -10x -1100x = 0 5500- 2x2 -10x = 0 (x - 50)(x + 55) = 0 0,25 x = 50(TM) hoÆc x = -55(KTM) Vậy mỗi ngày phân xưởng dự định sản xuất 50 đôi giầy Bài Nội dung Điểm 4 2 0,25 Thể tích khối trụ lớn ở giữa: V1 = pr h 2 0,25 ær ö 3 3 V = pr2h + 2pç ÷ h = pr2h = V Tổng thể tích chi tiết máy: ç ÷ 1 èç2ø÷ 2 2 3 0,25 Suy ra: V = 90cm3 . Do đó: V = 60cm3 2 1 1 Câu Đáp án Điểm 5 Hình vẽ cho câu a) 0,25 Giáo viên: Đoàn Văn Lãm - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 4
5. Diligence is the mother of success (3,0đ) P D B N K I A E M O Q a) 1,0 điểm Xét (O) có AB là dây không đi qua O và I là trung điểm của AB (giả thiết) 0,25 OI  AB tại I (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) · 0 MIO 90 Lại có MP,MQ là tiếp tuyến của đường tròn (O) với P,Q là các tiếp điểm MP  OP,MQ  OQ (tính chất tiếp tuyến). 0,25 M· PO M· QO 900 . · · · 0 Ta có MPO MQO MIO 90 nên P,Q,I nằm trên đường 0,25 tròn đường kính MO . Hay năm điểm M ,P,O,I ,Q cùng thuộc một đường tròn đường kính MO . 0,25 b) 1,0 điểm Xét đường tròn đường kính MO Ta có M· QP M· IP (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MP ). Lại có MP MQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) DMPQ cân tại M 0,25 · · MPQ MQP 0,25 Từ đó M· PQ M· IP hay M· PE M· IP 0,25 0,25 Xét DMPE và DMIP ta có: P· MI là góc chung; M· PE M· IP (chứng minh trên) MP ME DMPE ” DMIP (g.g) MP 2 ME.MI . MI MP c) 0,75 điểm Vì AK // MP (giả thiết) nên A· KQ M· PQ (hai góc đồng vị). 0,25 0,25 Xét đường tròn đường kính MO ta có: 0,25 Giáo viên: Đoàn Văn Lãm - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 5
6. Diligence is the mother of success M· IQ M· PQ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MQ ) Từ đó M· IQ A· KQ hay A· IQ A· KQ . Xét tứ giác AKIQ có A· IQ A· KQ . Mà I và K là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh AQ AKIQ là tứ giác nội tiếp (quỹ tích cung chứa góc) A· QK A· IK (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK ) Xét đường tròn (O) có A· QK A· BP (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AP ). Mà A· QK A· IK (chứng minh trên) A· IK A· BP Mà là hai góc trên ở vị trí đồng vị Do đó KI // BP . Gọi D là giao điểm của AK và PB . Theo tính chất đường trung bình của DADB ta suy ra K là trung điểm của AD . Gọi N ' là giao điểm của BK PM . Theo hệ quả của định lý Thales KD KA BK ta có: N 'P N 'M BN ' Vì KD KA nên N 'P N 'M hay N ' là trung điểm của MP . Vậy N ' trùng N hay ba điểm B,N,K thẳng hàng. Câu Lời giải sơ lược Điểm 6 a3 b 0,25 Chứng minh bất đẳng thức sau: a . (0,75đ) a2 b2 2 0,25 2 2 2 0,25 a3 a a b ab ab2 Ta có a . a2 b2 a2 b2 a2 b2 ab2 ab2 b Theo BĐT Cauchy ta có a a a . a2 b2 2ab 2 b3 c c3 a Tương tự theo câu a) ta có : b , c . b2 c2 2 c2 a2 2 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: a3 b3 c3 a b c . a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 a3 a3 2 a3 Ta có: . . a2 ab b2 a2 b2 3 a2 b2 a2 b2 2 b3 2 b3 c3 2 c3 Tương tự ta có . , . . b2 bc c2 3 b2 c2 c2 ca a2 3 c2 a2 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: Giáo viên: Đoàn Văn Lãm - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 6
7. Diligence is the mother of success a3 b3 c3 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 2 a3 b3 c3 a b c 2 2 2 2 2 2 . 3 a b b c c a 3 Giáo viên: Đoàn Văn Lãm - Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 7