Đề thi tuyển sinh vào Khối 10 THPT môn Toán (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Khối 10 THPT môn Toán (Có đáp án)

1. Đề tự luyện số 10 2 Bài 1 (1,5 điểm). Cho hai biểu thức: A = 3 2 2 2 x 2 x 1 x x và B = . 1 (với x 0 và x 1 ) x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A và B. b) Tìm x để B 2 2x Bài 2 (1,5 điểm) 1) Tìm m để đường thẳng d1 : y (2m 5)x 3m 1cắt đường thẳng d2 : y 3x 1tại một điểm có hoành độ bằng 2. 2) Nhà may A sản xuất một lô áo với giá vốn là 30 000 000(đồng) và giá bán mỗi chiếc áo sẽ là 300 000(đồng). Khi đó gọi y (đồng) là số tiền lãi (hoặc lỗ) của nhà may thu được khi bán x chiếc áo. a) Thiết lập hàm số của y theo x. b) Hỏi cần phải bán bao nhiêu chiếc áo mới có thể thu hồi được vốn ban đầu? Bài 3. (2,5 điểm) 1. Cho phương trình x2 m 2 x 2m 0 (1) với x là ẩn số, m là tham số. a) Giải phương trình (1) với m = 1 b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn 2 2 x1 x2 x1x2 3 2. Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 60 km. Hai người đi xe đạp cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B với vận tốc bằng nhau. Sau khi đi được 1 giờ thì xe của người thứ nhất bị hỏng nên phải dừng lại sửa xe 20 phút, còn người thứ hai tiếp tục đi với vận tốc ban đầu. Sau khi sửa xe xong, người thứ nhất đi với vận tốc nhanh hơn trước 4 km/h nên đã đến B cùng lúc với người thứ hai. Tính vận tốc hai người đi lúc đầu. Bài 4 ( 0,75 điểm). Người ta muốn làm một chiếc thùng hình trụ bằng tôn có đường kính đáy là 24 cm và chiều cao là 50 cm. Tính diện tích tôn phải dùng để làm thùng và thể tích của thùng. (Biết thùng không có nắp) Bài 5 (3,0 điểm). Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d ( Bnằm giữa A và C ). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d ). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N . Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q ( P nằm giữa A và O ). a) Chứng minh: 5 điểm A, M, O, I, N cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh: AB.AC AH.AO c) Gọi D là trung điểm HQ , từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E . Chứng minh P là trung điểm của đoạn thẳng ME . Bài 6: (0,75 điểm) Cho a, b, c là các số dương và ab + ac + bc = 1. Tìm giá trị lớn nhất a b c của biểu thức : P = + + a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1
2. Câu Nội dung Điểm 2 2 2 a) A =...= 2 1 2 1 2 0,25 2 A = 2 1 2 1 0,25 B =... = x 1 x 1 0,25 Bài 1 2 2 (1,5điểm) B ( x) 1 x 1 0,25 b) Có: B 2 2x .... x 1 2 2.x 0,25 x 1 Mà x 0 và x 1 => 0 x 1. Vậy 0 x 1 thì B + ≥ 2 x 2 0,25 Câu Đáp án Điểm Để đường thẳng d cắt đường thẳng d 1 2 0,25 2m 5 3 m 4 Thay x 2 vào công thức hàm số y 3x 1 ta được: y 3.2 1 5 0,25 Khi đó: A 2;5 d2 1 Vì d1 cắt d2 tại điểm có hoành độ bằng 2 nên A 2;5 d1 5 2m 5 .2 3m 1 m 14(TMÐK) 0,25 Vậy với m 14 thì đường thẳng d1 : y (2m 5)x 3m 1cắt đường thẳng d2 : y 3x 1tại điểm có hoành độ bằng 2. a) Giá bán 1 chiếc áo là 300000đồng nên số tiền thu về khi bán được x chiếc áo là: 300000.x (đồng) Số vốn ban đầu là 30000000 đồng nên số tiền lãi (hoặc lỗ) thu về 0,25 là:300000.x 30000000 (đồng) 2 Khi đó, ta có hàm số: y 300000.x 30000000 (1) b) Để có thể thu hồi được vốn ban đầu tức y 0 0,25 Thay y 0 vào (1) ta được:0 300000.x 30000000 x 100 0,25 Vậy để thu hồi được vốn cần phải bán được 100 cái áo Nội dung Điểm 1. a) + Thay m = -1 vào phương trình được x2 x 2 0 + Giải phương trình được hai nghiệm x1 1; x 2 2 0,25 + Vậy với m = -1, nghiệm của phương trình: x1 1; x 2 2 0,25 b) m 2 2 4.2m m 2 2 0 với mọi m. 0.25 Vậy phương trình có 2 nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m.
3. 0.25 + Theo hệ thức Vi – ét ta có : x1 x2 m 2; x1.x2 2m . x 2 x 2 x x 3 *) 1 2 1 2 0.25 2 2 2 0.25 x1 x2 x1x2 3 m 2m 4 3 m 1 0 Suy ra m + 1 = 0 hay m = -1 2. Gọi vận tốc hai người đi lúc đầu là x km/h (ĐK x > 0) 0,25 60 Thời gian đi từ A đến B của người thứ hai là h x Quãng đường người thứ nhất đi được trong 1 giờ đầu là x (km) Quãng đường còn lại là 60 – x (km) 60 x Thời gian người thứ nhất đi quãng đường còn lại là h x 4 1 60 1 60 x 20' h . Theo bài ra ta có: 1 0,25 3 x 3 x 4 60.3. x 4 4.x. x 4 3.x. 60 x x2 16x 720 0 0,25 Giảiphương trình ta được: x1 = 36; x2 = -20 Vì x1 = 36 t/m ĐK; x2 = -20 không t/m ĐK Vậy vận tốc hai người đi lúc đầu là 20 km/h 0,25 Bài Đáp án Điểm Bán kính đáy là: R = 24:2 =12 cm, h = 50cm Diện tích xung quanh của chiếc thùng hình trụ là 2 Sxq = 2 Rh = 2 .12.50 = 1200 (cm ) 0,25 Bài 4 Diện tích tôn phải dùng là 2 1200 + 144 = 1344 (cm ) 0,25 Thể tích của thùng hình trụ là: 2 2 3 V = R h = .12 .50 = 7200 (cm ) 0,25 Bài Đáp án Điểm 1.Vẽ hình đúng để làm câu a 0,25 M Q P H O D A B K I d C N E a) ( 1,0 điểm)
4. Ta có ·AMO 900 (do AM là hai tiếp tuyến O ) 0,25 ·ANO 900 (do AN là hai tiếp tuyến O ) 0,25 Xét O có I là trung điểm của dây BC (dây BC không đi qua O) 0,25 OI  BC O· IA 900 Suy ra 3 điểm M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA . 0,25 Hay 5 điểm A, M, O, I, N cùng thuộc một đường tròn. b) ( 1,0 điểm) 5 Chứng minh OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC . ( 3,0 OA  MN tại H . 0,25 điểm) Xét ANO vuông tại N , đường cao NH nên ta có: AH.AO AN2 (1) (hệ thức lượng trong tam giác vuông). 0,25 - Chứng minh ANB ∽ ANC (g.g) 0,25 AB AN = AB.AC=AN2 (2) AN AC 0,25 Từ (1) và (2) ta có: AB.AC AH.AO (3) c) ( 0,75 điểm) Ta có P· MQ 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đk PQ ). Xét MHE và QDM ta có: 0,25 M· EH=D· MQ (cùng phụ với D· MP ), E· MH=M· QD (cùng phụ với M· PO ) ME MH MHE ∽ QDM (g.g) (5) MQ DQ Chứng minh: PMH ∽ MQH (g.g) MP MH MH 0,25 (6) (vì HQ 2DQ) MQ HQ 2DQ MP 1 ME Từ (5) và (6) MQ 2 MQ ME 2MP P là trung điểm của ME . 0,25 a b c P = + + a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 Bài 6 a a a a.a (0,75 = = = 0,25 2 2 (a + b)(a + c) điểm) a + 1 a + ab + ac + bc (a + b)(a + c) b b b b.b = = = b2 + 1 b2 + ab + ac + bc (a + b)(b+ c) (a + b)(b+ c)
5. c c c c.c = = = c2 + 1 c2 + ab + ac + bc (a + c)(b+ c) (a + c)(b+ c) x + y Áp dụng BĐT x.y £ ta được 2 a a + a a.a 1 a a = £ a + b a + c = ( + ) a2 + 1 (a + b)(a + c) 2 2 a + b a + c Tương tự: b b.b 1 b b = £ ( + ) b2 + 1 (a + b)(b+ c) 2 b + a b + c 0,25 c c.c 1 c c £ ( + ) c2 + 1 (a + c)(b+ c) 2 a + c b + c Cộng các BĐT cùng chiều ta được 1 a b a c b c 3 P £ ( + + + + + ) = 2 a + b a + b a + c a + c b + c b + c 2 0,25 Vậy: P max =3/2 Dấu “=” xảy khi a = b = c = 1/ 3 .