Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT môn Toán (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào 10 THPT môn Toán (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 12 Bài 1. (1,5 điểm) 4 4 1. Chứng minh rằng 2 2 8 2 5 2 5 2 1 2 x 2. Cho biểu thức :Q với x 0; x 4 2 x 2 x x 4 a) Rút gọn biểu thức . b) Tìm các giá trị x nguyên để B có giá trị nguyên dương? Bài 2 (1,5 điểm): 2x ay 5b 1 1.Cho hệ phương trình: . Tìm a,b để hệ có nghiệm (x; y) = (1; 2). ax by 6 2. Một người thuê nhà với giá 3000 000 đồng một tháng và người đó phải trả tiền dịch vụ ban đầu là 1000 000 đồng ( Tiền dịch vụ chỉ trả một lần). Gọi x (tháng) là số tháng người đó thuê nhà , y (đồng) là số tiền phải trả khi thuê nhà trong x tháng. a. Viết hệ thức liên hệ giữa y và x? b. Tính số tiền người đó phải trả khi thuê nhà trong 1 năm? Bài 3 (2,5 điểm) 1. Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2mx - 2m - 3 (m là tham số) a) Với m = 3 hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d). 2 2 b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn x1 x2 18. 2. Bài toán có nội dung thực tế: Hai đội công nhân cùng làm một công việc. Nếu hai đội làm chung thì hoàn thành công việc trong 8 ngày. Nếu làm riêng thì đội một hoàn thành nhanh hơn đội hai 12 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày? Bài 4. (0,75 điểm): 3 Công ty sữa Ông Thọ chuyên sản xuất các hộp sữa hình trụ có thể tích 508,68 cm trong đó chiều cao hộp là 8 cm . Hỏi nếu công ty cần xuất xưởng lô hàng 3500 hộp sữa thì cần tốn bao nhiêu tiền để trang trí vỏ hộp sữa? Biết rằng không trang trí ở đáy và nắp hộp, chi phí làm vỏ hộp bao bì là 25 đồng/cm2. (lấy π 3,14 ). Bài 5. (3 điểm). Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (điểm B nằm giữa A và C). Đường tròn (O) đi qua B và C, đường kính DE vuông góc với BC tại K. AD cắt (O) tại F; EF cắt AC tại I. Chứng minh a) Tứ giác DFIK nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DFIK b) D· EA D· IK . c) AI . KE . KD = KI . AB . AC
2. Bài 6 (0,75 điểm): 1 1 1 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn 12 . Tìm giá trị lớn nhất của x y y z z x 1 1 1 biểu thức: P . 3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z DAPAN CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Xét 4 4 2 2 VT 2 2 0,25 2 5 2 5 5 2 5 2 1 2 5 4 2 5 4 8 VP 5 4 0,25 2 1 2 x 2 x 4 x 2 2 x Q 2 x 2 x x 4 x 4 0,25 2 3 x 2 3 Q 0,25 x 2 x 2 x 2 Để biểu thức Q có giá trị nguyên x 2 Ư(3) 0,25 Giải ra ta được x = 1 (thỏa mãn) Vậy x = 1 thì biểu thức Q có giá trị nguyên 0,25 Bài 2 Nội dung Điểm Vì hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (1; 2) nên thay x = 1; 0,25 2 2a 5b 1 y = 2 vào hệ phương trình ta có: a 2b 6 1 2a 5b 3 9b 9 b 1 a 2b 6 a 2b 6 a 4 0,25 Vậy có a = 4 và b = - 1 thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 2). 0,25 2 a) y= 3000000.x+1000000 0,25 b) Thay x=12 vào hàm số trên ta có: y = 3000000.12+1000000 =37000000 0,25 Số tiền phải trả khi thuê nhà trong 1 năm (12 tháng) là: 37000000 0,25 đồng.
3. Bài Nội dung Điểm 1.a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x2 = 2mx - 2m -3  x2 - 2mx + 2m +3 = 0 ( 1) Với m = 3 phương trình (1) trở thành: x2 - 6x + 9 = 0 (a = 1; b = 6; c = 9) ' 32 9 0 0,5 Vì ' 0 nên phương trình có nghiệm kép x 3 Với x = -3 ta có y = 9, khi đó tọa độ giao điểm cần tìm là: A(-3; 9) Vậy với m = 3 thì (d) cắt (P) tại điểm A(-3; 9). b) ∆’ = m2 – (2m +3) = (m - 1)2 - 4 + Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ' 0 hay 0,25 (m - 1)2 – 4 > 0 m 3 hoặc m 1. + Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2 2m 0,25 (*) Bài 3 x1. x2 2m 3 2 2 2 (2,5 điểm) Theo đề bài: x1 + x 2 =18 (x1 +x 2 ) - 2x1x 2 = 18 Kết hợp với (*) ta được: 4m2 4m 6 18 m2 m 6 0 0,25 Giải phương trình, tìm được m = 3 (loại) ; m = -2 (tmđk m<-1) Vậy m=-2 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 2 2 0,25 thỏa mãn x1 x2 18. 2. Gọi số ngày làm riêng để đội thứ nhất hoàn thành công việc là 0,25 x (ngày, x 0 ). Nếu làm riêng thì đội một hoàn thành nhanh hơn đội hai 12 ngày nên số ngày làm riêng để đội hai hoàn thành công việc là x + 12 (ngày). 0,25 1 1 Một ngày: đội một làm được (công việc), đội hai làm được x x 12 (công việc). Nếu hai đội làm chung thì hoàn thành công việc trong 8 ngày nên 1 một ngày cả hai đội làm được (công việc). 8 1 1 1 0,25 Theo đề bài ta có phương trình: x x 12 8 Giải phương trình ta được x 12 (TMĐK); x = - 8 (loại). Vậy số ngày làm riêng để đội một hoàn thành công việc là1 2 ngày. Số ngày đội hai làm riêng để hoàn thành công việc là 0,25 12 12 24 ngày. Bài Nội dung Điểm Gọi R là bán kính đáy hộp sữa Ông Thọ mà công ty sản xuất, 4 (ĐK: R 0 ) (0,75 2 2 0,25 Ta có V R h 508,68 3,14.R .8 điểm) R 4,5 (cm)
4. Diện tích xung quanh của một hộp sữa là: 2 0,25 Sxq = 2πRh 2.3,14.4,5.8 226,08 (cm ) Chi phí trang trí bao bì cho 3500 hộp sữa là: 0,25 226, 08.25.3500 = 19782000 (đồng) Bài Nội dung Điểm D F 0,25 O A B I K C E Ta có : ED  BC I·KD 90o 0,25 0,25 E· FD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn E· FD = 90o Xét tứ giác DFIK có: I·KD +E· FD = 180o a 0,25 Nên DFIK nội tiếp -Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DFIK là trung điểm của 0,25 DI Tứ giác DFIK nội tiếp D· FK D· IK (cùng chắn cung DK) 0,25 0,25 Xét tứ giác AFKE có : E· KA A· FE 90o AFKE nội tiếp b 0,25 Nên D· EA D· FK 0,25 Suy ra: D· EA D· IK (cùng bằng D· FK ) Tứ giác DFIK nội tiếp I·KF I·DF (cùng chắn cung IF) AID AFK IA DA FA KA c IA.KA DA.FA (1) 0,25 - Trong (O) có A· CF A· DB ADB ACF
5. BA DA FA CA BA.CA DA.FA (2) - Mặt khác: D· EA D· IK AEK : DIK Nên: KE . KD = KA . KI (3) 0,25 Từ (1); (2); (3) suy ra AI. KE. KD = AI . KA . KI = DA . FA . KI = AB . AC . KI 0,25 Bài Đáp án Điểm Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số a, b dương, ta có 1 1 1 a b 2 ab , 2 . a b ab 1 1 1 1 4 1 1 1 1 0,25 a b 4 (1) a b a b a b a b 4 a b Dấu bằng xảy ra khi a = b. Áp dụng BĐT (1) ta có: 1 1 1 1 1 3x 3y 2z x z y z 2 x y 4 x z y z 2 x y 1 1 1 1 1 1 1 4 x z y z 8 x y 16 x z y z 8 x y 0,25 Hoàn toàn tương tự, ta cũng có 1 1 1 1 1 ; 3x 2y 3z 16 x y y z 8 x z 1 1 1 1 1 2x 3y 3z 16 x y x z 8 y z Từ đó suy ra
6. 1 2 2 2 1 1 1 1 P 16 x y y z x z 8 x y y z x z 0,25 1 1 1 1 1 P .12 3 4 x y y z x z 4 Dấu ‘=” xẩy ra khi x=y=z =1/8 Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 3 khi x=y=z =1/8