Đề khảo sát học sinh giỏi cấp Thành phố năm học 2023-2024 môn Toán 8 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp Thành phố năm học 2023-2024 môn Toán 8 (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ THÁI BÌNH NĂM HỌC 2023 - 2024 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (4,0 điểm) x2 y2 x2 y2 x3 y3 2 Cho A 2 2 : 2 2 (với x 0, y 0, x y ). x xy xy y xy x y x 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của A biết x, y thỏa mãn x2 5y2 4xy 2y 1 0. Bài 2. (4,0 điểm) 1) Cho P(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết P(x) chia cho x 3 dư 2, chia cho x 4 dư 5, chia cho x2 x 12 được thương là x2 2x 3 và còn dư. Tính P 5 . 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y m 2 x 3 m 2 và điểm B 1;0 (với m là tham số). Tìm m để đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm E , cắt trục Oy tại điểm A sao cho diện tích AOE gấp 3 lần diện tích AOB . Bài 3. (4,0 điểm) 3 3 1) Giải phương trình: x2 4 1 6x 3 x2 6x 5 2) Cho hai số tự nhiên x, y x y thỏa mãn: 2023x2 x 2024y2 y. Chứng minh rằng x y là số chính phương. Bài 4. (4,0 điểm) Cho ABC cân tại A , đường cao AH. Gọi D là giao điểm của AH và đường vuông góc với AB tại B . Trên các tia đối của tia BA và tia CA lần lượt lấy hai điểm E và F ( E khác B , F khác C ). Trên đoạn EF lấy điểm G (G khác E và F ) sao cho BE EG . Từ E kẻ đường thẳng song song với AC , cắt đường thẳng CG tại K. Chứng CF FG minh rằng: 1) BE KE và KE.BC BD.BK ; 2) B· ED B· KC. Bài 5. (2,0 điểm) Cho ABC nhọn, M là một điểm di chuyển trên cạnh AC ( M khác A và C ). Qua A kẻ đường thẳng d bất kỳ không cắt cạnh BC ; N là giao điểm của BM và d . Gọi H, I, K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ các điểm B, M , C lên đường thẳng d. AC.BN.MI Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T . AN.BH.CK Bài 6. (2,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2b 3c 6 . 1 1 Chứng minh rằng: 1. b bc c ca ----- HẾT ----- Họ và tên thí sinh: . Số báo danh:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THÀNH PHỐ THÁI BÌNH ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2023-2024 MÔN: TOÁN 8 (Gồm: 05 trang) Bài Ý Nội dung Điểm x2 y2 x2 y2 x3 y3 2 Cho A 2 2 : 2 2 (với x 0, y 0, x y ). x xy xy y xy x y x 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của A biết x, y thỏa mãn x2 5y2 4xy 2y 1 0. x2 y2 x2 y2 x3 y3 2 A 2 2 : 2 2 x xy xy y xy x y x 0,5 x2 y2 x2 y2 x y x y 2 A . 2 2 x x y y x y xy x y x xy y x 2 2 2 2 x y xy x y x y x y x y 2 A . 0,5 1. xy x y x y x2 xy y2 x (2,0) 2 2 x y x xy y x y x y 2 A . 0,5 xy x y x y x2 xy y2 x 1. x y 2 x y (4,0) A . xy x xy 0,5 x y Vậy A (với x 0, y 0, x y ). xy 2) Ta có: x2 5y2 4xy 2y 1 0 2 2 0,5 x 2y y 1 0 (1) 2 x 2y 0 Vì , x, y 2 y 1 0 0,5 2 2 2. Nên x 2y y 1 0 ,x, y (2) (2,0) 2 2 x 2y 0 x 2 Từ (1) và (2) suy ra: x 2y y 1 0 : thỏa mãn 0,5 y 1 0 y 1 2 1 1 Với x 2; y 1 ta có: A 2 2 0,5 1 Vậy với x, y thỏa mãn bài toán thì A . 2 1) Cho P(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết P(x) chia cho x 3 dư 2, chia cho x 4 dư 5, chia cho x2 x 12 được thương là x2 2x 3 và còn dư. Tính P 5 . 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y m 2 x 3 m 2 và điểm B 1;0 (với m là tham số). Tìm m để đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm E , cắt trục Oy tại điểm A sao cho diện tích AOE gấp 3 lần diện tích AOB .
3. 1) Ta có: x2 x 12 x 3 x 4 0,5 2. 2 2 (4,0) Vì P(x) chia cho x x 12 được thương là x 2x 3 và còn dư nên đa thức dư có dạng ax b. 0,5 Suy ra: P x x 3 x 4 x2 2x 3 ax b Theo bài ra ta có: 1. (2,0) P 3 2 3a b 2 7a 7 a 1 0,5 P 4 5 4a b 5 b 2 3a b 1 P x x 3 x 4 x2 2x 3 x 1 Từ đó ta có P 5 8.1.38 5 1 298. 0,5 Vậy P 5 298. 2) Giao điểm của d với trục Ox là: 3 E ; 0 2 m 0,5 Giao điểm của d với trục Oy là: A 0; 3 2. (2,0) 1 1 S OA.OE; S OA.OB AOE 2 AOB 2 0,5 Ta có: SAOE 3SAOB OE 3.OB 3 x 3. x 3. 1 2 m 1 0,25 E B 2 m 2 m 1 m 1 (thoả mãn) 0,5 2 m 1 m 3 Vậy với m 1; 3 thì S 3.S . AOE AOB 0,25 3 3 1) Giải phương trình: x2 4 1 6x 3 x2 6x 5 2) Cho hai số tự nhiên x, y x y thỏa mãn: 2023x2 x 2024y2 y. Chứng minh rằng x y là số chính phương. 2 3 3 2 3 3. 1) Ta có: x 4 1 6x x 6x 5 (4,0) 2 3 2 2 2 3 x 4 1 6x 3 x 4 1 6x x 4 1 6x x 6x 5 0,75 1. 3 3 x2 6x 5 3 x2 4 1 6x x2 6x 5 x2 6x 5 (2,5) 3 x2 4 1 6x x2 6x 5 0 0,5 1 6x x 1 x 5 0 (do x2 4 0, x 0,5
4. 1 x 6 x 1 0,5 x 5 1  Vậy nghiệm của phương trình là x ; 1; 5. 6  0,25 2) Ta có: 2023x2 x 2024y2 y 2023x2 2023y2 x y y2 0,5 x y 2023x 2023y 1 y2 Gọi x y,2023x 2023y 1 d, d ¥ * x y  d 0,5 2023x 2023y 1 d 2. 2 2 2 (1,5) x y 2023x 2023y 1  d y  d y  d Mà x y  d x  d 2023x 2023y  d 0,25 Suy ra 1 d d 1 do d ¥ * x y,2023x 2023y 1 1 2 Lại có: Tích của x y và 2023x 2023y 1 bằng y là số chính phương 0,25 Nên x y cũng là số chính phương. Cho ABC cân tại A , đường cao AH. Gọi D là giao điểm của AH và đường vuông góc với AB tại B . Trên các tia đối của tia BA và tia CA lần lượt lấy hai điểm E và F ( E khác B , F khác C ). Trên đoạn EF lấy điểm G (G khác E BE EG và F ) sao cho . Từ E kẻ đường thẳng song song với AC , cắt đường CF FG thẳng CG tại K. Chứng minh rằng: 1) BE KE và KE.BC BD.BK ; 2) B· ED B· KC. A 4. (4,0) B H C E D G F K
5. 1) +) Vì EK // AC EK //CF EGK ∽ FGC 0,5 EG EK FG CF 0,5 BE EG Mà (gt) CF FG BE EK BE EK 0,5 CF CF +) Vì BE EK BEK cân tại E. Ta có ABC cân tại A, AH là đường cao nên cũng là đường trung trực 0,25 DB DC BDC cân tại D. 1. Ta có: ABD ACD A· BD ·ACD 90o (3,0) 0,25 B· DC B· AC 180o Ta có EK // AC B· EK B· AC 180o 0,25 B· EK B· DC Vì BEK cân tại E và BDC cân tại D, mà B· EK B· DC 0,25 BEK ∽ BDC BE BK EK BK EK.BC BD.BK 0,5 BD BC BD BC Vì BEK ∽ BDC E· BK D· BC 0,5 E· BK K· BD D· BC K· BD C· BK 90o BE BK 2. Xét BDE và BCK có: D· BE C· BK 90o , (cmt) 0,25 (1,0) BD BC BDE ∽ BCK (c.g.c) B· ED B· KC (đpcm). 0,25 Cho ABC nhọn, M là một điểm di chuyển trên cạnh AC ( M khác A và C ). Qua A kẻ đường thẳng d bất kỳ không cắt cạnh BC ; N là giao điểm của BM và d . Gọi H, I, K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ các điểm B, M , C lên đường thẳng d. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức AC.BN.MI T . AN.BH.CK 5. (2,0) K N A I H d M Q B C
6. Ta có MI // CK (vì cùng  xy ) AMI ∽ ACK AM MI 0,5 AC.MI AM.CK AC CK AC.BN.MI AM.CK.BN AM.BN T (1) 0,5 AN.BH.CK AN.BH.CK AN.BH Kẻ AQ  BN tại Q. Suy ra AM AQ 0,25 AM .BN AQ.BN (2) AQ.BN 2.S Từ (1) và (2) T ABN 1 0,5 AN.BH 2.SABN Dấu " = " xảy ra M trùng với Q. Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 1 khi BM  AC. 0,25 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2b 3c 6 . Chứng minh rằng: 1 1 1. b bc c ca 1 1 1 1 Đặt P b bc c ca b 1 c c 1 a 1 1 c b 1 1 Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương , , , , , b ta có: b 1 c 4 2 2 b 0,75 1 1 c b 1 1 b 2 b 1 c 4 2 2 b 1 1 a c 1 1 6. Tương tự: c 2 0,25 (2,0) c 1 a 4 2 2 c a c 2 b c 1 P 1 4 4 2 a 2b 3c 2 P 3 0,5 4 8 P 3 P 1. 4 1 1 c b 1 1 ; ; b b 1 c 4 2 2 b Dấu " = " xảy ra a b c 1. 1 1 a c 1 1 0,5 ; ; c c 1 a 4 2 2 c Hướng dẫn chung: + Trên đây là các bước giải bắt buộc và biểu điểm tương ứng, thí sinh phải có lời giải chặt chẽ, chính xác mới công nhận cho điểm. + Mọi cách giải khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. + Chấm từng phần. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn, tính đến 0,25 điểm.