Đề khảo sát học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2023-2024 môn Toán 8 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2023-2024 môn Toán 8 (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TIỀN HẢI Năm học 2023 - 2024 Môn: TOÁN 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. (5,0 điểm) 1) Phân tích đa thức x3 2x2 x 2 thành nhân tử. 2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh 49 p2 chia hết cho 24. 3) Cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau và thỏa mãn a 2 b c b2 c a 2024 . Chứng minh c2 a b 2024. Bài 2. (4,0 điểm) 2x 3 2x 8 1) Cho biểu thức T (với x 2 ) x 2 x 2 x2 4 a) Rút gọn biểu thức T. b) Tính giá trị của biểu thức T với x thỏa mãn x2 2x 0 . 2) Cho f(x) là đa thức bậc 3 có hệ số cao nhất là a thỏa mãn f(2) = 3, f(3) = 4 và f(4) – f(1) = 15. Tính a? Bài 3. (4,0 điểm) 1) Cho phương trình m 1 mx 1 m 2 x (m là tham số) Tìm giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm duy nhất là số nguyên. 2) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 y4 y2 1 3) Cho hàm số y mx 4m 3(m là tham số) có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua với mọi giá trị của m. Bài 4. (6,0 điểm) 1) Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BE, CF. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh MEF cân và A· EF A· BC . b) Trên đoạn BE lấy điểm Q sao cho B· FQ C· FE . Chứng minh BFQ đồng dạng với CFE và EF.BC BF.CE BE.CF 2) Cho tam giác nhọn ABC. Gọi N là điểm bất kì trên đoạn thẳng BC (N khác B và C). Gọi các điểm H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên cạnh AB, AC. Xác định vị trí của điểm N để đoạn thẳng HK có độ dài nhỏ nhất. Bài 5. (1,0 điểm). Tìm các cặp số nguyên (a; b) thỏa mãn 2024a 2 b 2025b2 a . .Hết .. Họ và tên thí sinh : Số báo danh: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Chữ kí của cán bộ coi thi 1: . Chữ kí của cán bộ coi thi 2: ..
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2023 - 2024 Môn: TOÁN 8 (Gồm 06 trang) I. Hướng dẫn chung 1. Hướng dẫn chấm chỉ trình bày các bước cơ bản của 1 cách giải. Nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. 2. Bài làm của thí sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm. 3. Bài hình học, thí sinh vẽ hình đúng ý nào thì chấm điểm ý đó, thí sinh vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì cho 0 điểm bài hình đó. 4. Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh mà công nhận ý trên (hoặc làm ý trên không đúng) để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì cho 0 điểm ý đó. 5. Điểm của bài thi là tổng điểm các bài làm đúng và không làm tròn. II. Đáp án và thang điểm HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm Bài 1. (5,0 điểm) 1) Phân tích đa thức x3 2x2 x 2 thành nhân tử. 2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh 49 p2 chia hết cho 24. 3) Cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau và thỏa mãn a 2 b c b2 c a 2024 . Chứng minh c2 a b 2024. 1) Ta có: x3 2x2 x 2= x3 x 2x2 2 0,50 (2đ) = x x2 1 2 x2 1 0,50 x2 1 x 2 0,50 x 1 x 1 x 2 0,50 2) Ta có 49 p2 48 p2 1 0,25 (2đ) 49 p2 24 p2 124 0,25 + Ta có p2 1 p 1 p 1 8 (Vì p là số nguyên tố lẻ) (1) 0,50 + Trong 3 số p – 1, p, p + 1 có 1 số chia hết cho 3 mà p > 3 nên p – 1 và p + 1 có 1 2 0,50 số chia hết cho 3 p 1 p 1 p 13 (2) Vì ƯCLN(8;3) = 1 nên từ (1) và (2) p2 – 1 24 0,25 Vậy 49 p2 24 (đpcm) 0,25 3) Từ a 2 b c b2 c a 2024 (1đ) 2 2 0,25 a b c b c a 0 a 2b a 2c b2c b2a 0 a b ab bc ca 0 0,25 ab bc ca 0 (vì a b) Xét a 2 b c c2 a b a 2b a 2c c2a c2b 0,25 a c ab bc ca
3. 0 (Vì ab + bc + ac = 0) a 2 b c c2 a b Mà a 2 b c 2024 c2 a b 2024 (đpcm) 0,25 Bài 2. (4,0 điểm) 2x 3 2x 8 1) Cho biểu thức T (với x 2 ) x 2 x 2 x2 4 a) Rút gọn biểu thức T. b) Tính giá trị của biểu thức T với x thỏa mãn x2 2x 0 . 2) Cho f(x) là đa thức bậc 3 có hệ số cao nhất là a thỏa mãn f(2) = 3, f(3) = 4 và f(4) – f(1) = 15. Tính a? 1. a) Với x 2 ta có: (1,5đ) 2x 3 2x 8 T x 2 x 2 x2 4 0,25 2x 3 2x 8 x 2 x 2 x 2 x 2 2x x 2 3 x 2 2x 8 0,25 x 2 x 2 2x2 4x 3x 6 2x 8 0,25 x 2 x 2 2x2 5x 2 0,25 x 2 x 2 x 2 2x 1 x 2 x 2 0,25 2x 1 x 2 2x 1 Vậy T = với x 2 0,25 x 2 1. b) Ta có: x2 – 2x = 0 0,25 (1đ) x(x – 2) = 0 Vì x 2 nên x – 2 0 do đó x = 0 (thỏa mãn điều kiện x 2 ) 0,25 2.0 1 1 Thay x = 0 vào T ta được T = 0,25 0 2 2 1 Vậy T với x thỏa mãn x2 – 2x = 0 0,25 2 2) Gọi đa thức cần tìm là f(x) = ax3 + bx2 + cx + d 0,25 (1,5đ) Vì f(2) = 3 8a + 4b + 2c + d = 3 0,25 f(3) = 4 27a + 9b + 3c + d = 4 0,25 19a + 5b + c = 1 (1) 0,25 f(4) – f(1) = 15 63a + 15b + 3c = 15 21a + 5b + c = 5 (2) 0,25 Từ (1) và (2) 2a = 4 a = 2 0,25 Vậy a = 2
4. Bài 3. (4,0 điểm) 1) Cho phương trình m 1 mx 1 m 2 x (m là tham số) Tìm giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm duy nhất là số nguyên. 2) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 y4 y2 1 3) Cho hàm số y mx 4m 3(m là tham số) có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua với mọi giá trị của m. 1) m 1 mx 1 m 2 x (2đ) 0,25 m2x m mx 1 m 2 x 0 2 x m m m 2 m 1 0,25 2 x m 2 m 1 0,25 m 1 Vì m2 2 0 với mọi m nên phương trình có nghiệm duy nhất x 0,25 m2 2 Với m là số nguyên thì m + 1 và m2 + 2 là số nguyên Để phương trình có nghiệm nguyên với m nguyên thì 0,25 m 1m2 2 m 1 m 1 m2 2 m2 1m2 2 2 2 m 2 3m 2 0,25 3m2 2 m2 + 2 là ước của 3. Mà m2 + 2 2 nên m2 2 3 do đó m 1 2 * Với m 1 ta có x (loại) 3 0,25 * Với m = - 1 ta có x 0 (thỏa mãn) Vậy m = -1 thỏa mãn bài toán. 0,25 2) Ta có 2 0,25 (1đ) x2 y4 y2 1 y4 y2 (1) 2 x2 y4 y2 1 y4 2y2 1 y2 1 (2) 2 2 0,25 Từ (1) và (2) suy ra y2 x2 y2 1 2 Do đó x2 y2 1 2 Thay vào (1) ta có y2 1 y4 y2 1 0,25 Suy ra y = 0 Với y = 0 ta tìm được x 1 Vậy (x; y) 1;0 ; 1;0  0,25 3) Gọi điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua với mọi m là A(x0; y0) 0,25 (1đ) suy ra y0 mx0 4m 3 đúng với mọi m m x0 4 y0 3 đúng với mọi m 0,25
5. Suy ra x0 = - 4 và y0 = 3 0,25 Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định A(- 4; 3) với mọi m 0,25 Bài 4. (6,0 điểm) 1) Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BE, CF. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh: MEF cân và A· EF A· BC . b) Trên đoạn BE lấy điểm Q sao cho B· FQ C· FE . Chứng minh BFQ đồng dạng với CFE và EF.BC BF.CE BE.CF 2) Cho tam giác nhọn ABC. Gọi N là điểm bất kì trên đoạn thẳng BC (N khác B và C). Gọi các điểm H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên cạnh AB, AC. Xác định vị trí của điểm N để đoạn thẳng HK có độ dài nhỏ nhất. A E F Q B M C 1.a) 1 BFC vuông tại F, FM là trung tuyến nên MF = BC (1) 0,50 (2,5đ) 2 1 BEC vuông tại E, EM là trung tuyến nên ME = BC (2) 0,50 2 Từ (1) và (2) suy ra ME = MF 0,25 Vậy MEF cân tại M (đpcm) 0,25 AE AB Chứng minh AEB # AFC (gg) 0,50 AF AC Chứng minh AEF # ABC (cgc) 0,25 A· EF A· BC (đpcm) 0,25 1.b) Xét BFQ và CFE có: 0,50 (2,5đ) B· FQ C· FE (gt), F· BQ F· CE (cùng phụ với B· AC ) BFQ # CFE (gg) (đpcm) 0,50 BF BQ BFQ # CFE BF.CE CF.BQ (3) 0,50 CF CE Vì A· EF A· BC mà A· EF B· EF A· BC B· CF 900 B· EF B· CF 0,25 B· FQ C· FE B· FQ Q· FC C· FE Q· FC B· FC Q· FE 0,25 Xét BFC và QFE có B· EF B· CF,B· FC Q· FE 0,25
6. FC BC BFC # QFE (gg) BC.EF FC.QE (4) FE QE Từ (3) và (4) BF.CE + BC.EF = CF.BQ + FC.QE BF.CE + BC.EF = CF(BQ + QE) 0,25 BF.CE + BC.EF = CF.BE (đpcm) 2) A (1,0) E O K H I B N C Kẻ BE  AC tại E 1 Gọi O là trung điểm của AN, chứng minh được OH = OK ( = AN ) 0,25 2 OHK cân tại O. 1 Kẻ OI  HK tại I I·OH K· OH 2 1 0,25 Chứng minh B· AC K· OH 2 I·OH C· AB IH OH EB IOH # EAB (gg) IH .OH EB AB AB 0,25 EB EB HK .2OH .AN AB AB Do ABC cố định nên AB, EB có độ dài không đổi. HK nhỏ nhất khi AN nhỏ nhất N là hình chiếu của A trên BC 0,25 Vậy N là hình chiếu của A trên BC thì đoạn thẳng HK có độ dài nhỏ nhất. Bài 5. (1,0 điểm). Tìm các cặp số nguyên (a; b) thỏa mãn 2024a 2 b 2025b2 a 2024a 2 b 2025b2 a * 2024 a 2 b2 b a b2 0,25 a b 2024a 2024b 1 b2 ) a b 0 a b, thay vào (*) ta được a = b = 0 ) a b 0 0,25 Vì 2024a 2024b 1 lẻ nên b 0
7. do đó a > b suy ra a – b > 0 Gọi ƯCLN( 2024a 2024b 1;a – b) = d 2024a 2024b 1d 2024a 2024b 1d 0,25 suy ra a bd a bd 1d d 1 2 2 b d b d 2024a 2024b 1 và a – b là các số chính phương Do 2024a 2024b 1 chia cho 4 dư 3 nên 2024a 2024b 1 không phải 0,25 là số chính phương (vì số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1) Vậy (a;b) = (0; 0)