Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi năm học 2023-2024 Toán 8 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi năm học 2023-2024 Toán 8 (Có đáp án)

1. UBND HUY ỆN ĐÔNG H ƯNG ĐỀ KH ẢO SÁT CH ỌN NGU ỒN HỌC SINH GI ỎI PHÒNG GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO NĂM H ỌC: 2023 - 2024 MÔN: TOÁN 8 Th ời gian làm bài: 120 phút. Bài 1: (4,0 điểm) . a) Phân tích đa th ức: A= xy2 −2 xy − xy 2 −++ x y 2 thành nhân t ử. b) Tìm các c ặp s ố (x ; y ) đồng th ời th ỏa mãn hai đẳng th ức sau: xy2−2 xy − xy 2 −++= x y 2 0 (1) và x(4− x − y )2 = (2) Bài 2: (3,5 điểm) . 1 1 1 a) Cho ba s ố th ực a; b ; c đôi m ột khác nhau, th ỏa mãn + + = 0 . a b c bc ca ab Ch ứng minh r ằng: (abac− )( −= ) a2 + 2 bc và + + = 1. a2+2 bcb 2 + 2 ca c 2 + 2 ab b) Cho đa th ức Px( ) = x3 + ax 2 + bx + c th ỏa mãn P(1)= 4; P ( − 2) = 7 . Tính giá tr ị của bi ểu th ức: M= P(4) −−+ P ( 5) 2051 . Bài 3: (3,5 điểm) . a) Tìm x bi ết: ( xxxx−1) ( − 2)( − 3)( −= 6) 195 x 2 . b) Tìm t ất c ả các s ố h ữu t ỉ x để K= x2 − x + 1 là s ố chính ph ươ ng. Bài 4: (2,0 điểm) . a2 b 24 ab 22 Cho a; b là hai số th ực dươ ng. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức Q = + + . b2 a 2( ab 2+ 22 ) Bài 5: (7,0 điểm) . 1) Cho tam giác ABC nh ọn, C
   = 45 0 , các đường cao AD; BE cắt nhau t ại H . G ọi M; N lần lượt là trung điểm c ủa AB và CH . G ọi O là giao điểm ba đường trung tr ực c ủa tam giác ABC . a) Ch ứng minh r ằng: t ứ giác DMEN là hình vuông; b) Ch ứng minh r ằng: ba đường th ẳng MN; DE và OH đồng quy; c) Tính t ỉ s ố di ện tích tam giác CDE và di ện tứ giác ABDE ; d) Ch ứng minh r ằng: BE2 > 2. ADDH . . 2) Cho hình thoi ABCD có ABC =120 0 , P là m ột điểm thu ộc c ạnh AB (P≠ A ; B ) . G ọi N là giao điểm c ủa hai đường th ẳng AD và CP ; M là giao điểm c ủa BN và DP . Tính s ố đo DMN . --- HẾT--- Lưu ý: Học sinh không được s ử d ụng máy tính trong khi làm bài.
2. UBND HUY ỆN ĐÔNG H ƯNG HƯỚNG D ẪN CH ẤM PHÒNG GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO KH ẢO SÁT CH ỌN NGU ỒN H ỌC SINH GI ỎI NĂM H ỌC: 2023 - 2024 MÔN: TOÁN 8 (G ồm 06 trang) Bài 1: (4,0 điểm) . a) Phân tích đa th ức: A= x2 y −2 xy − xy 2 −++ x y 2 thành nhân t ử. b) Tìm các c ặp s ố (x ; y ) đồng th ời th ỏa mãn hai đẳng th ức sau: xy2−2 xy − xy 2 −++= x y 2 0 (1) và x(4− x − y )2 = (2) Ý Nội dung Điểm Axy=2 −2 xyxy − 2 −++= xy 2( xyxy 22 − − 2(2) xy) −−− xy 0,50 a =xy( x −−−−− y 2)( x y 2) 0,25 (1,0 đ) =(xy − 1)( x −− y 2) 0,25 xy −1 = 0 0,25 Theo ý a) thì (1) ⇔(xy − 1)( x −− y 2) =⇔ 0  x− y −2 = 0 0,25 Tr ường h ợp 1: xy−=1 0 ⇔ xy = 1 (3) 0,25 = 2 − +=⇔ − −= Thay xy 1 vào (2) thì được xx4 3 0 ( xx 1)( 3) 0 x−1 = 0  x = 1 0,25 ⇔ ⇔  x−3 = 0  x = 3 0,25 1 Với x =1 thay vào (3) thì y = 1 ; V ới x = 3 thay vào (3) thì y = 0,25 3 Tr ường h ợp 2: xy−−=20 ⇔ yx =− 2(4) 0,25 Kết h ợp v ới (2) suy ra x2 −3 x + 1 = 0 (5)  3+ 5 b x = 0,25 (3,0 đ) 2 Gi ải (5) thì được   3− 5 x = 0,25  2 3+ 5 5− 1 Với x = thay vào (4) thì y = 0,25 2 2 3− 5 −5 − 1 Với x = thay vào (4) thì y = 0,25 2 2 Vậy có 4 cặp giá tr ị (x ; y ) cần tìm là: 1   3+ 551 −  3 −−− 5 51  0,25 (1;1); 3;  ; ;  ; ;  322    2 2  Bài 2: (3,5 điểm) . 1 1 1 a) Cho ba s ố th ực a; b ; c đôi m ột khác nhau, th ỏa mãn + + = 0 . a b c bc ca ab Ch ứng minh r ằng: (abac− )( −= ) a2 + 2 bc và + + = 1 a2+2 bcb 2 + 2 ca c 2 + 2 ab b) Cho đa th ức Px( ) = x3 + ax 2 + bx + c th ỏa mãn P(1)= 4; P ( − 2) = 7 . 2
3. Tính giá tr ị của bi ểu th ức: M= P(4) −−+ P ( 5) 2051 . Ý Nội dung Điểm 1 1 1 Xét ba s ố th ực a; b ; c đôi m ột khác nhau, th ỏa mãn + + = 0 . a b c 2 2 0,25 Ta có: (a− b)( a −=−−+=+−− c ) a ac ab bc a bc ab ac (1) 1 1 1 Từ + + = 0 ⇒ ab+ bc + ca = 0 ⇒ bc= − ab − ca (2) 0,25 a b c Kết h ợp (1) và (2) có (abac−)( −=++=+ ) a2 bcbc a 2 2 bc 2 0,25 Vậy đẳ ng th ức (abac− )( −= ) a + 2 bc được ch ứng minh. a Tươ ng t ự có (babc− )( −=+ ) b2 2;( ca cacb − )( −=+ ) c2 2. ab (2,0 đ) 0,25 bc ca ab Do đó: VT = + + (abac−− )( ) ( babc −− )( ) ( cacb −− )( ) bc ca ab 0,25 = − + (abac−− )( ) ( abbc −− )( ) ( acbc −− )( ) bcb()(−− c caa −+ c ) aba ( − b ) = (a− ba )( − cb )( − c ) 0,25 bcb()−− c caa[ ()() −+−+ b b c] aba () − b = (a− ba )( − cb )( − c ) bcb()()()()−− c cab −− c caa −+ b aba − b = (a− ba )( − cb )( − c ) 0,25 (bc− cab )( −+− c ) ( ab ca )( a − b ) = (a− ba )( − cb )( − c ) −−ca( bb )( −+ c ) ab ( − ca )( − b ) (a− cb )( − ca )( − b ) = = (a− ba )( − cb )( − c ) (a− ba )( − cb )( − c ) =1 = VP (vì a; b ; c đôi m ột khác nhau nên (a− ba )( − cb )( −≠ c )0 ). 0,25 bc ca ab Vậy đẳ ng th ức + + = 1 được ch ứng minh. a2+2 bcb 2 + 2 ca c 2 + 2 ab Xét đa th ức Px( ) = x3 + ax 2 + bx + c th ỏa mãn P(1)= 4; P ( − 2) = 7 . 0,25 Xét đa th ức fx( ) = dx + e th ỏa mãn f(1)= 4; f ( − 2) = 7 de+=4  33 d =−  d =− 1 Ta có ⇔  ⇔  ⇒ f( x )= − x + 5 −+= += = 0,25 27de  de 4  e 5 Đa th ức Qx()= Px () − fx () là đa th ức b ậc ba, có h ệ s ố c ủa x3 bằng 1 và nh ận x=1; x = − 2 là các nghi ệm. 0,25 b Suy ra () = ( − 1)( + 2)( − ), ∈ ℝ (1,5 đ) Ta có PxQx()()()= + fx =−( x 1)( x + 2)( xmx −−+) 5 0,25 P(4)=− (4 1).(4 + 2).(4 −−+=− m ) 4 5 73 18 m . 0,25 (−5) = (−5 − 1). (−5 + 2). (−5 − ) − (−5) + 5 = −80 − 18 Suy ra = (4) − (−5) + 2051 = (73 − 18 ) − (−80 − 18 ) + 2051 = 73 − 18 + 80 + 18 + 2051 = 2204 0,25 Vậy giá tr ị của bi ểu th ức = 2204 . 3
4. Bài 3: (3,5 điểm) . c) Tìm x bi ết: ( xxxx−1) ( − 2)( − 3)( −= 6) 195 x 2 d) Tìm t ất c ả các s ố h ữu t ỉ x để K= x2 − x + 1 là s ố chính ph ươ ng. Ý Nội dung Điểm Ta có: (xxxx− 1)( − 2)( − 3)( −= 6) 195 x 2 2 0,25 ⇔−(xxxx 1)( − 6).( − 2)( −= 3) 195 x 2 2 2 ⇔( xxxx −+7 6)( −+= 5 6) 195 x 0,25 Đặt xx2−66 + = tx⇒ 2− 76 x +=− txxx ; 2 − 56 +=+ tx 2 0,25 Khi đó có (txtx−)( +) = 195 x 2 = −+= 22 22 2 tx14 x 20 x 6 0 (1) 0,25 ⇔−=tx195 xt ⇔= 196 x ⇔ ⇔   2 t= − 14 x x+8 x + 6 = 0(2) 0,25 a ⇔−2 + −=⇔−2 = (2,0 đ) Gi ải (1): x20 x 100 94 0 ( x 10) 94 x−=10 94  x =+ 10 94 0,25 ⇔ ⇔  x−=−10 94  x =− 10 94 Gi ải (2): ⇔x2 ++−=⇔+8 x 1610 0 ( x 4)2 = 10 x+=4 10  x =−+ 410 0,25 ⇔ ⇔  x+=−4 10  x =−− 410 Vậy x ∈+{10 94;10 − 94; −+ 4 10; −− 4 10 } 0,25 Gi ả sử tồn t ại số hữu t ỉ x để K= x2 − x + 1 là s ố chính ph ươ ng. Khi đó − + 1 = ( ∈ ℕ) ⇔4xx2 −+= 4 44 y 2 ⇔ (21) x −= 22 4 y − 3 0,25 (1) Vì ∈ ℚ ⇒ 2 − 1 ∈ ℚ (2) Vì 4 − 3 ∈ ℤ do ∈ ℕ nên t ừ (1) suy ra (2 − 1) ∈ ℤ (3) 0,25 Từ (2) và (3) ⇒ 2 − 1 ∈ ℤ b (1) ⇔(2x −− 1)2 4 y 2 =−⇔ 3 (2 xyxy −+ 12)(2 −− 12) =− 3 (1,5 đ) Vì 2 − 1 ∈ ℤ ; ∈ ℕ ⇒ 2 + 2 − 1 ≥ 2 − 2 − 1 ; 2 + 2 − 0,25 1 ∈ ℤ ; 2 − 2 − 1 ∈ ℤ Mặt khác: −=3 1.( − 3) = 3.( − 1) Vì v ậy có 2 tr ường h ợp sau: 2211xy+−=  40 x =  x = 0 0,25 Tr ường h ợp 1: ⇔  ⇔  (th ỏa mãn) 2213xy−−=−  44 y =  y = 1 4
5. 2213xy+−=  44 x =  x = 1 Tr ường h ợp 2: ⇔  ⇔  (th ỏa mãn) 0,25 2211xy−−=−  44 y =  y = 1 Vậy t ất c ả các s ố hữu t ỉ x cần tìm là x = 1 và x = 0. 0,25 Bài 4: (2,0 điểm) . a2 b 24 ab 22 Cho a; b là hai số th ực dươ ng. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức Q = + + b2 a 2( ab 2+ 22 ) Nội dung Điểm a2 b 24 ab 22 Xét a; b là hai số th ực dươ ng và Q = + + b2 a 2( ab 2+ 22 ) 0,25 ab22  4 ab 22 ( ab 222+ )4 ab 22 ⇒ Q +=+++2 2  = + (1) ba22  () ab 222+ ab 22 () ab 222 + (a2+ b 2 ) 2 Đặt = t với điều ki ện t ≥ 4. 0,25 a2 b 2 ab22+( ab 222 + ) Th ật v ậy: với a>0; b > 0 thì a2+ b 2 ≥ 2 ab ⇒ ≥ 2⇒ ≥ 4 0,25 ab a2 b 2 4 4 (1) tr ở thành Q+2 = t + (2) . Cần ch ứng minh +t ≥ 5. 0,25 t t 4 Th ật v ậy: vì t ≥ 4 nên +≥⇔−+≥⇔−t5 tt2 5 40 (1)( tt − 4)0 ≥ luôn đúng ∀t ≥ 4 0,5 t Do đó (2) tr ở thành Q+2 ≥ 5 ⇔ Q ≥ 3 (*) 0,25 Dấu “=” x ảy ra ở (*) ⇔=t4 ⇔ a = b > 0 . 0,25 Vậy MinQ = 3 khi và ch ỉ khi a= b > 0 Bài 5: (7,0 điểm) . 1) Cho tam giác ABC nh ọn có = 45, các đường cao AD; BE cắt nhau t ại H . G ọi M; N lần lượt là trung điểm c ủa AB và CH . G ọi O là giao điểm ba đường trung tr ực c ủa tam giác ABC . a) Ch ứng minh r ằng: t ứ giác DMEN là hình vuông. b) Ch ứng minh r ằng: ba đường th ẳng MN; DE và OH đồng quy. c) Tính t ỉ s ố di ện tích tam giác CDE và di ện tích tứ giác ABDE . d) Ch ứng minh r ằng: BE2 > 2. ADDH . Câu 1 Nội dung Điểm 5
6. A E M H I N O C B D AB Ta có MD= ME = (1) (do DM; EM là hai đường trung tuy ến c ủa các 2 0,5 ADB AEB tam giác vuông và ) CH Tươ ng t ự có: ND= NE = (2) 0,25 Ý a 2 (2,0 đ) Kh ẳng đị nh được ∆ABD = ∆ CHD(. cgc . ) ho ặc (g .. c g ) ⇒ AB= CH (3) 0,25 Từ (1); (2) và (3) ⇒ MD= ME = ND = NE ⇒ tứ giác DMEN là hình thoi (4) 0,25 Có ∆BEC vuông t ại E có = 45 nên vuông cân t ại E ⇒ BE= CE 0,25 ∆ = ∆ Ch ứng minh được MEB NEC(. ccc . ) suy ra = 0,25 Mà + = = 90 ⇒ + = 90 , do đó = 90 (5) 0,25 Từ (4) và (5) suy ra t ứ giác DMEN là hình vuông (theo d ấu hi ệu nh ận bi ết) Có OB= OC (vì O là giao điểm ba đường trung tr ực c ủa ∆ABC ) 0,25 mà BE= CE ⇒ EO là đường trung tr ực c ủa đoạn th ẳng BC ⇒ EO⊥ BC ⇒ EO/ / DH (vì cùng vuông góc v ới BC ) 0,25 Ý b Tươ ng t ự có EH/ / DO ⇒ Tứ giác DHEO là hình bình hành (DHNB) 0,25 (1,5 đ) ⇒ Hai đường chéo DE; HO cắt nhau t ại I là trung điểm c ủa m ỗi đường (6) 0,25 Vì t ứ giác DMEN là hình vuông nên DE và MN cắt nhau t ại trung điểm c ủa 0,25 mỗi đường (7) Từ (6) và (7) ⇒ ba đường th ẳng MN; DE và OH đồng quy t ại điểm I . 0,25 Kh ẳng đị nh được ∆CDE và ∆CAB đồng d ạng v ới nhau. 0,25 2 S   2 ∆CDE =CE = CE Do đó   2 (8) 0,25 S∆CAB  CB  BC Ý c CE 2 1 Lại có ∆BEC vuông cân t ại E nên BE2= 2. CE 2 ⇒ = (9) 0,25 (1,0 đ) BE 2 2 S 1 Từ (8) và (9) suy ra ∆CDE = . Áp d ụng tính ch ất t ỉ l ệ th ức: S∆ 2 CAB 0,25 S1 S 1 S S ∆CDE= ⇒ ∆ CDE= ⇒ ∆ CDE =1. V ậy ∆CDE =1. − − S∆CAB2 SS ∆ CAB ∆ CDE 2 1 S ABDE S ABDE Ch ứng minh được ∆ADC và ∆BDH đồng d ạng v ới nhau. 0,25 6
7. AD DC ⇒ = ⇒ ADDH.= BDDC . BD DH (a+ b ) 2 Ý d Áp d ụng b ất đẳ ng th ức a. b ≤ , d ấu “=” x ảy ra khi a= b . 0,25 (1,0 đ) 4 (BD+ DC ) 2 BC 2 BC 2 Có BD. DC ≤ = , do đó AD. DH ≤ (10) 4 4 4 Dấu “=” ở (10) x ảy ra khi BD= DC ⇔ ∆ ABC vuông cân t ại A , điều này BC 2 mâu thu ẫn v ới gi ả thi ết cho ∆ABC nh ọn có = 45 ⇒ AD. DH < . 0,25 4 Lại có BC2= 2 BE 2 ( do ∆BCE vuông cân t ại E ) 2BE 2 ⇒ AD. DH 2.. AD DH (ĐPCM) 0,25 4 2. Cho hình thoi ABCD có = 120, P là m ột điểm thu ộc c ạnh AB (P≠ A ; B ) . G ọi N là giao điểm c ủa hai đường th ẳng AD và CP ; M là giao điểm c ủa BN và DP . Tính s ố đo . Câu 2 Nội dung Điểm B C I M P N D A Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên AB= BC = CD = DA ; AB// CD ; BC // AD 0,25 Gọi I là giao điểm c ủa CN và BD . BC BI Có BC/ / AD ⇒ = (theo hệ qu ả Thales) (1) 0,25 DN ID BP BI 1,5 đ Có AB/ / CD ⇒ = (theo hệ qu ả Thales) (2) CD ID 0,25 BC BP Từ (1) và (2) ⇒ = (3) DN CD Trong hình thoi ABCD có đường chéo BD là tia phân giác c ủa nên = = . 12 0 = 60. L ại có AB= AD⇒ ∆ ABD cân t ại A Do đó ∆ABD là tam giác đều ⇒ AB= BD mà AB= BC = CD 0,25 BD BP ⇒ BC= CD = BD kết h ợp (3) ⇒ = DN BD BD BP Xét ∆BDP và ∆DNB có: = (= 60) và = DN DB 0,25 Do đó ∆BDP và ∆DNB đồng d ạng (c.g.c) 7
8. Suy ra = ( hai góc t ươ ng ứng) ∆ Mà = + ( tính ch ất góc ngoài tam giác BPM ) Có = + ( hai góc k ề nhau). Suy ra = 0,25 Mà = 60 nên = 60 Lại có + = 18 0 (hai góc k ề bù) nên = 12 0. Lưu ý : + Trên đây là các bước gi ải và bi ểu điểm tươ ng ứng. H ọc sinh ph ải có l ời gi ải ch ặt ch ẽ, chính xác m ới được công nh ận và cho điểm. Cách gi ải khác đúng, cho điểm thành ph ần t ươ ng ứng đáp án trên. + Bài 5 h ọc sinh ph ải v ẽ đúng hình. Điểm kh ảo sát là t ổng các câu, không làm tròn. --- HẾT --- 8
9. Có P(x) =x 3 + ax 2 + bx + c P(1) = a + b + c + 1 P(-2) = 4a – 2b + c – 8 Mà P(1) = 4 P(-2) = 7 a + b + c = 3 (1) 4a – 2b + c = 15 (2) Lấy (2) – (1) v ế v ới v ế ta có: 4a – 2b + c - a - b - c 9