Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 10 - Chương 1 - Bài 1: Khái niệm vectơ

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 10 - Chương 1 - Bài 1: Khái niệm vectơ

1. Bài 1.KHÁI NIỆM VECTƠ A - TểM TẮT Lí THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa vectơ: Vectơ là đoạn thẳng cú hướng, nghĩa là trong hai điểm mỳt r r a B x của đoạn thẳng đó chỉ rừ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là A điểm cuối. Hỡnh 1.1 uuur Vectơ cú điểm đầu là A , điểm cuối là B ta kớ hiệu : AB r r r r Vectơ cũn được kớ hiệu là: a, b, x, y,... r Vectơ – khụng là vectơ cú điểm đầu trựng điểm cuối. Kớ hiệu là 0 2. Hai vectơ cựng phương, cựng hướng. - Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giỏ của vectơ - Hai vectơ cú giỏ song song hoặc trựng nhau gọi là hai vectơ cựng phương     AB cựng phương CD kớ hiệu: AB //CD - Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ. - Hai vectơ cựng phương thỡ hoặc cựng hướng hoặc ngược hướng.     AB cựng hướng CD kớ hiệu: AB CD     AB ngược hướng CD kớ hiệu: AB CD A B F E C D Hỡnh 1.2 H G uuur uuur uur uuur Vớ dụ: Ở hỡnh vẽ trờn trờn (hỡnh 2) thỡ hai vectơ AB và CD cựng hướng cũn EF và HG ngược hướng. Đặc biệt: vectơ – khụng cựng hướng với mọi vộc tơ. 3. Hai vectơ bằng nhau uuur uuur - Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài vộc tơ AB , kớ hiệu AB . uuur Vậy AB = AB. - Hai vectơ bằng nhau nếu chỳng cựng hướng và cựng độ dài. Nếu a bằng b thỡ ta viết a =b .   AA BB = 0 , |0 |= 0. uuur uuur Vớ dụ: (Hỡnh 1.3) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD khi đú AB = CD
2. A B C D Hỡnh 1.3 Dạng toỏn 1. Xỏc định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ: Phương phỏp giải • Xỏc định một vectơ và xỏc định sự cựng phương, cựng hướng của hai vectơ theo định nghĩa • Dựa vào cỏc tỡnh chất hỡnh học của cỏc hỡnh đó cho biết để tớnh độ dài của một vectơ   Chỳ ý: với hai điểm phõn biệt A, B ta cú hai vectơ khỏc vectơ 0 là AB, BA Lưu ý: Bài 1: Cho 5 điểm A, B,C, D, E . Cú bao nhiờu vectơ khỏc Với hai điểm A, B phõn biệt, ta vectơ - khụng cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc điểm luụn xỏc định được hai vectơ khỏc đú.   0 là: AB và BA Lời giải tham khảo  Với một điểm A AA 0 . Cú 10 cặp điểm khỏc nhau A, B, A,C, A, D, A, E, B,C, B, D, B, E, C, D, C, E, D, E. Do đú cú 20 vectơ khỏc 0 Bài 1.1: Cho ABC . Cú thể xỏc định được bao nhiờu vectơ khỏc 0 cú điểm đầu điểm cuối là cỏc đỉnh A, B,C . Lời giải Cú 3 cặp điểm khỏc nhau A, B, A,C, B,C . Do đú cú 6 vectơ khỏc 0 Bài 1.2: Cho tứ giỏc ABCD , cú tõm O Cú bao nhiờu vectơ khỏc 0 . Lời giải Cú 10 cặp điểm khỏc nhau A, B, A,C, A, D, B,C, B, D, C, D, O, A, O, B, O,C, O, D . Do đú ú 20 vectơ khỏc 0 . Bài 1.3: Cú bao nhiờu vec-tơ khụng trong hỡnh?
3. Lời giải       Vectơ AA , BB ,CC , DD , EE , FF . Vậy cú 6 vec-tơ khụng.  Bài 1.1: Cho ba điểm A, B, C phõn biệt thẳng hàng. Lưu ý: uuur uuur Hai vectơ cựng phương nếu chỳng a) Khi nào thỡ hai vectơ AB và AC cựng hướng ? uuur uuur cú cựng giỏ. b) Khi nào thỡ hai vectơ AB và AC ngược hướng ? Hai vectơ cựng hướng khi chỳng Lời giải cú cựng phương và cựng hướng. uuur uuur a) Hai vectơ AB và AC cựng hướng khi A nằm ngoài đoạn BC . uuur uuur b) Hai vectơ AB và AC ngược hướng khi A nằm trong đoạn BC . Bài 1.2: Chứng minh rằng ba điểm A,B,C phõn biệt thẳng uuur uuur hàng khi và chỉ khi AB, AC cựng phương. Lời giải tham khảo uuur uuur Nếu A,B,C thẳng hàng suy ra giỏ của AB, AC đều uuur uuur là đường thẳng đi qua ba điểm A,B,C nờn AB, AC cựng phương. uuur uuur Ngược lại nếu AB, AC cựng phương khi đú đường thẳng AB và AC song song hoặc trựng nhau. Nhưng hai đường thẳng này cựng đi qua điểm A nờn hai đường thẳng AB và AC trựng nhau hay ba điểm A,B,C thẳng hàng. Bài 1.3: Cho tam giỏc ABC . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA, AB . a) Cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ - khụng cựng uuuur phương với MN cú điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đó cho. b) Cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ - khụng cựng uuur hướng với AB cú điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đó cho. Lời giải tham khảo: A' A P N B' B M C Hỡnh 1.4 a)
4. a. Cỏc vectơ khỏc vectơ khụng cựng phương với uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uur uur MN là NM, AB, BA, AP, PA, BP, PB . b. Cỏc vectơ khỏc vectơ - khụng cựng hướng với uuur uuur uur uuuur AB là AP, PB, NM . Bài 1.4: Cho bốn điểm A, B,C, D phõn biệt. uuur uuur a) Nếu AB = BC thỡ cú nhận xột gỡ về ba điểm A, B,C . uuur uuur b) Nếu AB = DC thỡ cú nhận xột gỡ về bốn điểm A, B,C, D . Lời giải: a) B là trung điểm của AC . b) A, B,C, D thẳng hàng hoặc ABCD là hỡnh bỡnh hành. Bài 1.5: Cho hỡnh thoi ABCD cú tõm O . Hóy cho biết khẳng định nào đỳng ? uuur uuur a) = AuuBur BuuCur b) = uAuBur DuCuur c) = - OuuAur uuOur C d) OB = OA uuur uuur e) AB = BC uuur uuur f) 2 OA = BD Lời giải: a) Sai. b) Đỳng. c) Đỳng. d) Sai. e) Sai. f) Đỳng. Bài 1.6: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O . Hóy tỡm cỏc vectơ khỏc vectơ-khụng cú điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giỏc và tõm O sao cho uuur a) Bằng với AB uuur b) Ngược hướng với OC Lời giải: uuur uuur uuur a) FO,OC,ED uuur uuur uuur uuur b) CO,OF,BA,DE Bài 1.7: Cho hỡnh vuụng ABCD tõm O cạnh a . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm đối xứng với C qua . D uuuur a. Hóy tớnh độ dài của vectơ sau MD . b. Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P . Tớnh độ dài MN Lời giải tham khảo
5. a. Áp dụng định lý Pitago trong tam giỏc vuụng MAD ta cú 2 ổaử 5a2 DM 2 = AM 2 + AD2 = ỗ ữ + a2 = ốỗ2ứữ 4 a 5 ị DM = 2 uuuur a 5 Suy ra MD = MD = . 2 b. Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P . Khi đú tứ giỏc ADNP là hỡnh vuụng và a 3a PM PA AM a . 2 2 Áp dụng định lý Pitago trong tam giỏc vuụng NPM ta cú 2 ổ3aử 13a2 MN 2 = NP2 + PM 2 = a2 + ỗ ữ = ốỗ 2 ứữ 4 a 13 ị DM = 2 uuuur a 13 Suy ra MN = MN = . 2 Bài 1.8: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú tõm là O . Tỡm cỏc vectơ từ 5 điểm A, B,C, D,O cú độ dài bằng uuur OB . Lời giải tham khảo uuur uuur uuur BO, DO, OD Bài 1.9: Cho tam giỏc ABC đều cạnh a và G là trọng tõm. Gọi là trung điểm của . I uur AG Tớnh độ dài của cỏc vectơ BI . Lời giải:
6. uuur Ta cú AB = AB = a Gọi M là trung điểm của BC uuur 2 2 Ta cú AG = AG = AM = AB2 - BM 2 3 3 2 2 a a 3 = a2 - = 3 4 3 uur a2 a2 a 21 BI = BI = BM 2 + MI 2 = + = 4 3 6 Dạng toỏn 2. Chứng minh hai vectơ bằng nhau. Ta cú thể dựng một trong cỏc cỏch sau: | a | | b |  + Sử dụng định nghĩa:   a b . a,b cung huong + Sử dụng tớnh chất của cỏc hỡnh . Nếu ABCD là hỡnh bỡnh hành thỡ     A B AB DC, BC AD , o (hoặc viết ngược lại) D C + Nếu a b,b c a c Bài 1: Cho tam giỏc ABC cú D, E, F lần lượt là trung điểm Lưu ý của BC,CA, AB .   Chứng minh: EF CD Lời giải tham khảo A E F B D C
7. Cỏch 1: EF là đường trung bỡnh của ABC nờn EF //CD , 1   EF BC CD EF CD EF CD (1) 2   EF cựng hướng CD (2)   Từ (1),(2) EF CD Cỏch 2: Chứng minh EFDC là hỡnh bỡnh hành 1 EF BC CD và EF //CD EFDC là hỡnh bỡnh 2 hành   EF CD . Bài 1.1: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Điểm I là giao điểm của AM và BN , K là giao điểm của DM và CN .     Chứng minh: AM NC, DK NI Lời giải D M C I K A N B Ta cú MC//AN và MC AN MACN là hỡnh bỡnh hành  AM NC Tương tự MCDN là hỡnh bỡnh hành nờn K là trung điểm   của MD DK = KM . Tứ giỏc IMKN là hỡnh bỡnh hành,     Suy ra NI = KM DK NI Bài 1.2: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau cú chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thỡ chỳng cú chung điểm cuối (hoặc điểm đầu). Lời giải   Giả sử AB AC . Khi đú AB AC , ba điểm A, B,C thẳng hàng và B,C thuục nửa đường thẳng gốc A B  C . (trường hợp điểm cuối trựng nhau chứng minh tương tự) Bài 1.3: Cho tam giỏc ABC cú H là trực tõm và O là tõm đường trũn ngoại tiếp. Gọi B là điểm đối xứng của B qua O . Chứng minh: AH B 'C . Giải
8. Vỡ BB là đường kớnh đường trũn ngoại tiếp ABC nờn Bã AB Bã CB 90. Do đú CH //B A và AH //B C . Suy   ra tứ giỏc AB CH là hỡnh bỡnh hành. Vậy AH B C . Bài 1.4: Cho tứ giỏc ABCD . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung uuuur uuur điểm AB, BC,CD, DA . Chứng minh MN = QP Lời giải: Do M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC nờn MN là đường trung bỡnh của tam giỏc ABC suy ra MN / /AC và 1 MN = AC (1). 2 Tương tự QP là đường trung bỡnh của tam giỏc ADC 1 suy ra QP / /AC và QP = AC (2). 2 Từ (1) và (2) suy ra MN / /QP và MN = QP do đú tứ giỏc MNPQ là hỡnh bỡnh hành uuuur uuur Vậy ta cú MN = QP Bài 1.5: Cho tam giỏc cú trọng tõm . Gọi là trung ABC G uuuIr uuur điểm của BC . Dựng điểm B' sao cho B' B = AG . Chứng minh: uur uur a) = BI IC uur uur b) Gọi J là trung điểm của BB' . Chứng minh BJ = IG Lời giải:
9. a) Vỡ I là trung điểm của BC nờn uur uur BI = CI và BI cựng hướng với IC do đú uur uur uur uur hai vectơ , bằng nhau hay = . uuBurI ICuuur BI IC b) Ta cú B' B = AG suy ra B' B = AG và BB'/ /AG . uur uur Do đú BJ, IG cựng hướng (1). 1 Vỡ G là trọng tõm tam giỏc ABC nờn IG = AG , J là 2 1 trung điểm BB' suy ra BJ = BB' 2 Vỡ vậy BJ = IG (2) uur uur Từ (1) và (2) ta cú BJ = IG . Bài 1.6: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Trờn cỏc đoạn thẳng DC, AB theo thứ tự lấy cỏc điểm M, N sao cho DM = BN . Gọi P là giao điểm của AM, DB và Q là uuur uuur giao điểm của CN, DB . Chứng minh DB = QB Lời giải: Ta cú DM = BN ị AN = MC , mặt khỏc AN song song với MC do đú tứ giỏc ANCM là hỡnh bỡnh hành uuuur uuur Suy ra AM = NC . Xột tam giỏc DDMP và DBNQ ta cú DM = NB (giả ã ã thiết), PDM = QBN (so le trong) ã ã ã ã Mặt khỏc DMP = APB (đối đỉnh) và APQ = NQB (hai ã ã gúc đồng vị) suy ra DMP = BNQ . Do đú DDMP = DBNQ (c.g.c) suy ra DB = QB . uuur uuur uuur uuur Dễ thấy DB, QB cựng hướng vỡ vậy DB = QB .
10. Bài 1.7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DC, AB ; P là giao điểm của AM, DB và Q là giao điểm của CN, DB . Chứng minh: uuur uuur uuur DP = PQ = QB Lời giải: Ta cú tứ giỏc DMBN là hỡnh bỡnh hành vỡ 1 DM = NB = AB, DM / /NB . uuuur 2uuur Suy ra DM = NB . Xột tam giỏc CDQ cú M là trung điểm của DC và MP / /QC do đú P là trung điểm của DQ . Tương tự xột tam giỏc ABP suy ra được Q là trung điểm của PB Vỡ vậy DP = PQ = QB từ đú suy ra uuur uuur uuur DP = PQ = QB Bài 1.8: Cho hỡnh thang ABCD cú hai đỏy là AB và CD với uur uuur = . Từ C vẽ = . Chứng minh: ABuur 2CDuur CI DA a) = DuurI CuurB uuur b) AI = IB = DC Lời giải: uur uuur a) Ta cú CI = DA suy ra AICD là hỡnh bỡnh hành uuur uur ị AD = IC