Đề cương ôn tập môn Toán Khối 10 - Chương 1 - Bài 1: Khái niệm vectơ

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Khối 10 - Chương 1 - Bài 1: Khái niệm vectơ

1. Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ Bài 1. KHÁI NIỆM VECTƠ A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa vectơ: Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút r r a B x của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là A điểm cuối. Hình 1.1 uuur Vectơ có điểm đầu là A , điểm cuối là B ta kí hiệu : AB . r r r r Vectơ còn được kí hiệu là: a, b, x, y,... r Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là 0 . 2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng. - Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ. - Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương . Nhận xét: r - Vectơ 0 luôn cùng phương với mọi vectơ. r - Nếu hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác vectơ 0 thì chúng cùng phương với nhau.     AB cùng phương CD kí hiệu: AB //CD - Hướng của vectơ: là hướng từ điểm đầu đến điểm cuối của vectơ. - Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng. r Quy ước: Vectơ 0 luôn cùng hướng với mọi vectơ. r Nhận xét: Nếu hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác vectơ 0 thì chúng cùng hướng với nhau.     AB cùng hướng CD kí hiệu: AB CD     AB ngược hướng CD kí hiệu: AB CD A B F E C D Hình 1.2 H G uuur uuur uur uuur Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 2) thì hai vectơ AB và CD cùng hướng còn EF và HG ngược hướng. 3. Hai vectơ bằng nhau uuur uuur - Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài của vectơ AB , kí hiệu AB . uuur Vậy AB = AB. - Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. 1 | ....
2. Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ Nếu a bằng b thì ta viết a =b .   AA BB = 0, | 0|= 0. Nhận xét: Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thì chúng bằng nhau. uuur uuur Ví dụ: (Hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD khi đó AB = CD . A B C D Hình 1.3 B- CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng toán 1. Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ: Phương pháp giải • Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định nghĩa. • Dựa vào các tính chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ.   Chú ý: Với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0 là AB, BA . Lưu ý: Bài 1: Cho 5 điểm A, B,C, D, E . Có bao nhiêu vectơ khác Với hai điểm A, B phân biệt, ta vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó. luôn xác định được hai vectơ khác Lời giải tham khảo   0 là: AB và BA  Có 10 cặp điểm khác nhau A, B, A,C, A, D, Với một điểm A AA 0 . A, E, B,C, B, D, B, E, C, D, C, E, D, E. Do đó có 20 vectơ khác 0 cần tìm. Bài 1.1: Cho ABC . Có thể xác định được bao nhiêu vectơ Bài 1.2: Cho tứ giác ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo. khác 0 có điểm đầu điểm cuối là các đỉnh A, B,C ? Có bao nhiêu vectơ khác 0 có điểm Lời giải đầu điểm cuối là các đỉnh Có 3 cặp điểm khác nhau A, B, A,C, B,C . A, B,C, D,O ? Do đó có 6 vectơ khác 0 . Lời giải Có 10 cặp điểm khác nhau A, B, A,C, A, D, B,C, B, D, C, D, O, A, O, B, O,C, Bài 1.3: Có thể kể tên bao nhiêu vectơ- không có điểm đầu và O, D . Do đó ó 20 vectơ khác 0 . điểm cuối là những điểm có tên trong hình vẽ dưới đây ?  2 | ....
3. Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ Lời giải       Vectơ AA , BB ,CC , DD , EE , FF . Vậy có 6 vectơ-không.  Bài 2: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. Lưu ý: uuur uuur -Hai vectơ cùng phương nếu chúng a) Khi nào thì hai vectơ AB và AC cùng hướng ? có giá song song hoặc trùng nhau. uuur uuur -Hai vectơ cùng khi phương thì b) Khi nào thì hai vectơ AB và AC ngược hướng ? chúng cùng hướng hoặc ngược Lời giải hướng. uuur uuur a) Hai vectơ AB và AC cùng hướng khi A nằm ngoài đoạn BC . uuur uuur b) Hai vectơ AB và AC ngược hướng khi A nằm trong đoạn BC . Bài 2.1:Chứng minh rằng ba điểm A,B,C phân biệt thẳng Bài 2.2:Cho tam giác ABC . Gọi uuur uuur M,N,P lần lượt là trung điểm của hàng khi và chỉ khi AB, AC cùng phương. BC,CA, AB . Lời giải tham khảo a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ uuur uuur uuuur Nếu A,B,C thẳng hàng suy ra giá của AB, AC đều là đường uuur uuur - không cùng phương với MN có thẳng đi qua ba điểm A,B,C nên AB, AC cùng phương. điểm đầu và điểm cuối lấy trong uuur uuur điểm đã cho. b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ Ngược lại nếu AB, AC cùng phương khi đó đường thẳng AB uuur và AC song song hoặc trùng nhau. Nhưng hai đường thẳng - không cùng hướng với AB có này cùng đi qua điểm A nên hai đường thẳng AB và AC điểm đầu và điểm cuối lấy trong trùng nhau hay ba điểm A,B,C thẳng hàng. điểm đã cho. Bài 2.3:Cho bốn điểm A, B,C, D phân biệt. Lời giải tham khảo: uuur uuur a) Nếu AB = BC thì có nhận xét gì về ba điểm A, B,C . A' A uuur uuur b) Nếu AB = DC thì có nhận xét gì về bốn điểm A, B,C, D . P N Lời giải: B' a) B là trung điểm của AC . C b) A, B,C, D thẳng hàng hoặc ABCD là hình bình B M hành. Hình 1.4 3 | ....
4. Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ Bài 2.4: Cho hình thoi ABCD có tâm O . Hãy cho biết khẳng a. Các vectơ khác vectơ-không uuuur định nào đúng ? cùng phương với là uuur uuur uuuur uuur uuur uuuMr Nuuur uur uur a) = . AuuBur BuuCur NM, AB, BA, AP, PA, BP, PB b) = . b. Các vectơ khác vectơ - không uAuBur DuCuur uuur c) = - . cùng hướng với AB là OuuAur uuOurC uuur uur uuuur d) OB = OA . AP, PB, NM . uuur uuur e) AB = BC . uuur uuur f) 2 OA = BD . Lời giải: Bài 2.5: Cho lục giác đều ABCDEF tâm . Hãy tìm các vectơ khác a) Sai. O vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối b) Đúng. là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho c) Đúng. uuur d) Sai. a) Bằng với AB . e) Đúng. uuur f) Sai. b) Ngược hướng với OC . Lời giải: Bài 2.6: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a . Gọi M là uuur uuur uuur trung điểm của AB , N là điểm đối xứng với C qua D . a) FO,OC,ED . uuuur a. Hãy tính độ dài của vectơ sau MD . uuur uuur uuur uuur b) CO,OF,BA,DE . b. Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P . Tính độ dài MN . Bài 2.7: Cho tam giác ABC đều Lời giải tham khảo cạnh a và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG . uur Tính độ dài của các vectơ BI . Lời giải: a. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông MAD ta có 2 æaö 5a2 DM 2 = AM 2 + AD2 = ç ÷ + a2 = èç2ø÷ 4 a 5 Þ DM = 2 uuuur a 5 Suy ra MD = MD = . 2 uuur b. Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB Ta có AB = AB = a tại P . Khi đó tứ giác ADNP là hình vuông và Gọi M là trung điểm của BC a 3a uuur 2 PM PA AM a . Ta có AG = AG = AM 2 2 3 4 | ....
5. Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông NPM 2 2 2 a ta có = AB2 - BM 2 = a2 - 2 3 3 4 æ ö 2 2 2 2 2 ç3a÷ 13a MN = NP + PM = a + ç ÷ = a 3 èç 2 ø÷ 4 = 3 a 13 uur Þ DM = BI = BI = BM 2 + MI 2 2 uuuur a 13 a2 a2 a 21 Suy ra MN = MN = . = + = . 2 4 3 6 Bài 2.8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm uuur các vectơ từ 5 điểm A, B,C, D,O có độ dài bằng OB . Lời giải tham khảo uuur uuur uuur BO, DO, OD . Dạng toán 2. Chứng minh hai vectơ bằng nhau. Ta có thể dùng một trong các cách sau: | a | | b |  + Sử dụng định nghĩa:   a b . a,b cung huong + Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì     A B AB DC, BC AD , o (hoặc viết ngược lại) D C + Nếu a b,b c a c Bài 3: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm Lưu ý của BC,CA, AB .   Chứng minh: EF CD . Lời giải tham khảo A E F B D C Cách 1: EF là đường trung bình của ABC nên EF //CD , 1   EF BC CD EF CD EF CD (1) 2   EF cùng hướng CD (2)   Từ (1),(2) EF CD . 5 | ....
6. Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành 1 EF BC CD và EF //CD EFDC là hình bình 2 hành   EF CD . Bài 3.1: Cho hình bình hành ABCD . Hai điểm M và N lần Bài 3.2: Chứng minh rằng hai vectơ lượt là trung điểm của DC và AB . Điểm I là giao điểm của bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc AM và DN , K là giao điểm của BM và CN . điểm cuối) thì chúng có chung điểm     Chứng minh: AM NC, BK NI . cuối (hoặc điểm đầu). Lời giải Lời giải   D M Giả sử AB AC . Khi đó AB AC , C ba điểm A, B,C thẳng hàng và B,C thuôc nửa đường thẳng gốc I K A B  C . (trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự). A N B Ta có MC//AN và MC AN MANC là hình bình hành  AM NC Tương tự MCBN là hình bình hành nên K là trung   Bài 3.4: Cho tứ giác ABCD . Gọi KM điểm của MB BK = . M , N, P,Q lần lượt là trung điểm Tứ giác IMKN là hình bình hành.     AB, BC,CD, DA . Chứng minh Suy ra NI = KM BK NI . uuuur uuur Bài 3.3: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm MN = QP . đường tròn ngoại tiếp. Gọi B là điểm đối xứng của B qua O Lời giải:   . Chứng minh: AH B 'C . Giải Do M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC 1 suy ra MN / /AC và MN = AC (1). Vì BB là đường kính đường tròn ngoại tiếp ABC 2 nên B· AB B· CB 90. Do đó CH //B A và AH //B C . Suy ra tứ giác AB CH là hình bình hành. Tương tự QP là đường trung bình   Vậy AH B C . của tam giác ADC suy ra 1 QP / /AC và QP = AC (2). Bài 3.5: Cho tam giác có trọng tâm . Gọi là trung 2 ABC uuur G uuur I Từ (1) và (2) suy ra MN / /QP và điểm của BC . Dựng điểm B' sao cho B' B = AG . Chứng minh: MN = QP do đó tứ giác MNPQ uur uur là hình bình hành. a) BI = IC . uuuur uuur Vậy ta có MN = QP . 6 | ....
7. Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ b) Gọi J là trung điểm của BB' . Chứng minh uur uur BJ = IG . Lời giải: Bài 3.7: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DC, AB ; P là giao điểm của AM, DB và Q là giao điểm của CN, DB . Chứng minh: uuur uuur uuur DP = PQ = QB . a) Vì I là trung điểm của BC nên Lời giải: uur uur BI = CI và BI cùng hướng với IC do đó uur uur uur uur hai vectơ , bằng nhau hay = . uuBurI ICuuur BI IC b) Ta có B' B = AG suy ra B' B = AG và BB'/ /AG . uur uur Do đó BJ, IG cùng hướng (1). 1 Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên IG = AG , 2 1 Ta có tứ giác DMBN là hình J là trung điểm BB' suy ra BJ = BB' 2 bình hành vì 1 Vì vậy BJ = IG (2) DM = NB = AB, DM / /NB . uur uur 2 Từ (1) và (2) ta có BJ = IG . uuuur uuur Suy ra = . Bài 3.6: Cho hình bình hành ABCD . Trên các đoạn thẳng DM NB Xét tam giác có là DC, AB theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho DM = BN . CDQ M trung điểm của DC và MP / /QC Gọi P là giao điểm của AM, DB và Q là giao điểm của uuur uuur do đó P là trung điểm của DQ . CN, DB . Chứng minh DP = QB . Tương tự xét tam giác ABP Lời giải: suy ra được Q là trung điểm của PB Vì vậy DP = PQ = QB từ uuur uuur uuur đó suy ra DP = PQ = QB . Ta có DM = BN Þ AN = MC , mặt khác AN song song với MC do đó tứ giác ANCM là hình bình hành uuuur uuur Suy ra AM = NC . Xét tam giác DDMP và DBNQ ta có DM = NB · · (giả thiết), PDM = QBN (so le trong). 7 | ....
8. Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ · · Mặt khác DPM = APQ (đối đỉnh) và · · APQ = NQB (hai góc đồng vị) suy ra · · DPM = NQB · · Nên DMP = BNQ . Do đó DDMP = DBNQ (g.c.g) suy ra DP = QB. uuur uuur uuur uuur Dễ thấy DB, QB cùng hướng vì vậy DP = QB . Bài 3.8: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với uur uuur = . Từ C vẽ = . Chứng minh: AB 2CD uur uurCI DA a) = . DuurI CuurB uuur b) AI = IB = DC . Lời giải: uur uuur a) Ta có CI = DA suy ra tứ giác AICD là hình bình hành. uuur uur Suy ra DC = AI và DC / /AI nên DC = AI. 1 Mà AB = 2CD và AB/ /DC do đó AI = AB và 2 3 điểm A, I, B thẳng hàng nên I là trung điểm AB . Ta có DC = IB và DC / /IB Þ tứ giác BCDI là hình bình hành. uur uur Suy ra DI = CB . uur uur b) là trung điểm của Þ = và tứ giác I AB uur AI uuurIB là hình bình hànhÞ = suy ra BuuCr DIuur uuur IB DC AI = IB = DC . 8 | ....
9. Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ Dạng toán 3. Dựng điểm dựa vào đẳng thức vectơ. • Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ  rõ vị trí của điểm đó đối với hình vẽ. Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM a , trong đó O và a đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về: Trung điểm của một đoạn thẳng, điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k, hình bình hành, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, Bài 4.Cho điểm A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho: Lưu ý  a) AM = a ;  b) AM cùng phương a và có độ dài bằng | a |. Lời giải l a d M1 A M2 Giả sử l là giá của a . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d //l (nếu A thuộc l thì d trùng l). Khi đó có hai điểm M và M thuộc d sao cho: 1 2 AM1 AM 2 a . Khi đó ta có:  a) AM = a .  1    b) AM1 = AM 2 cùng phương với a và AM1 AM 2 a Bài 4.1:Cho tam giác ABC . Gọi M,N,P lần lượt là trung Bài 4.2:Cho trước hai điểm A,B phân biệt điểm của BC,CA, AB . . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn uuur uuur uuur Vẽ các vectơ bằng vectơ NP mà có điểm đầu A,B . MA = MB . Lời giải: uuur uuur Lời giải MA = MB Û MA = MB Þ Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB . Trên tia CB lấy điểm B' sao cho BB' = NP . 9 | ....
10. Bài giảng tự luận Khái niệm vectơ uuur Khi đó ta có là vectơ có điểm đầu là và uuBurB' B bằng vectơ NP . Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP . Trên đường thẳng đó lấy điểm A' uuuur uuur sao cho AA' cùng hướng với NP và = . AA' NP uuuur Khi đó ta có là vectơ có điểm đầu là và uuAurA' A bằng vectơ NP . 10 | ....