Đề cương môn Đại số Lớp 10 - Chương 2 - Bài 1: Đại cương về hàm số

Nội dung text: Đề cương môn Đại số Lớp 10 - Chương 2 - Bài 1: Đại cương về hàm số

1. Đại cương về hàm số 19 - ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa Cho D Ì ¡ , D ¹ Æ. Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x Î D với một và chỉ một số y Î ¡ . x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x . Kí hiệu: y = f (x ). D được gọi là tập xác định của hàm số f . 2. Cách cho hàm số Cho bằng bảng Cho bằng biểu đồ Cho bằng công thức y = f (x ). Tập xác định của hàm số y = f (x ) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f (x ) có nghĩa. 3. Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số y = f (x ) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M (x; f (x)) trên mặt phẳng toạ độ với mọi x Î D . Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f (x ) là một đường. Khi đó ta nói y = f (x ) là phương trình của đường đó. 4. Sư biến thiên của hàm số Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số y = f (x ) đồng biến (tăng) trên K nếu " x1,x2 Î K : x1 < x2 Þ f (x1) < f (x2) Hàm số y = f (x ) nghịch biến (giảm) trên K nếu " x1,x2 Î K : x1 f (x2) 5. Tính chẵn lẻ của hàm số Cho hàm số y = f (x ) có tập xác định D . Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với " x Î D thì - x Î D và f (– x ) = f (x ) . Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với " x Î D thì - x Î D và f (– x ) = - f (x ) . Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. 6: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Định lý: Cho (G ) là đồ thị của y = f (x ) và p > 0, q > 0; ta có Tịnh tiến (G ) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f (x ) + q Tịnh tiến (G ) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f (x ) – q Tịnh tiến (G ) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f (x + p) Tịnh tiến (G ) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f (x – p) B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Dạng 1: Tính giá trị của hàm số tại các giá trị của biến số và đồ thị của hàm số. ￿Tính giá trị của hàm số y f x tại x a . Nếu a D thì không tồn tại f a . Nếu a D thì tồn tại duy nhất f a . ￿Điều kiện để hàm số f xác định trên tập A là A  D với D là tập xác định của hàm số. Câu 1. Lưu ý Cho hàm số y f x 2 x –1 3 x 2 . Tính f 1 Trang-1-
2. Đại cương về hàm số Lời giải tham khảo f ( 1) 2 1–1 3 1 2 2.2 3.1 2 5 x 1 1.1 1.2. Cho hàm số y . Tính f 1 , f 2 2x2 3x 1 2 , x ;0 Lời giải x 1 Cho hàm số y f x x 1 , x 0;2 . 2 x 1 , x 2;5 Tính f 4 , f 1 , f 2 Lời giải Dạng 2: Tìm tập xác định của hàm số Phương pháp giải. Tập xác định của hàm số y = f (x) là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f (x) có nghĩa Chú ý : Nếu P(x) là một đa thức thì: 1 * có nghĩa Û P(x) ¹ 0 P(x) * P(x) có nghĩa Û P(x) ³ 0 1 * có nghĩa Û P(x) > 0 P(x) x 1 Lưu ý Câu 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: y x 2 Lời giải tham khảo Điều kiện: x 2 0 x 2 Vậy tập xác định của hàm số là D ¡ \ 2 2x 1 2x 1 2.1 y 2.2 y . x2 x 2x 1 x 3 Lời giải Lời giải Trang-2-
3. Đại cương về hàm số x 1 x 1 2.3 y . 2.4 y x 1 x3 3x 4 x2 x 3 Lời giải Lời giải Câu 3. Tìm tập xác định của hàm số sau: 4 x Lưu ý Lời giải tham khảo Điều kiện: 4 x 0 x 4 Vậy tập xác định của hàm số là D ;4 2 1 3.1 y x 2x 1 x 3. 3.2 y Lời giải x2 4 Lời giải 1 1 3.3 y x 3 3.4 y 1 x x2 2x 1 Lời giải Lời giải x 1 5 3 x 3.5 y 3.6 y (x 3) 2x 1 x2 4x 3 Lời giải Lời giải Trang-3-
4. Đại cương về hàm số 3 x2 1 1 3.7. y khi x 1 x2 2x 3 3.8. y x Lời giải x 1 khi x 1 Lời giải Dạng 3: Xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng cho trước Phương pháp giải C1: Cho hàm số y f (x) xác định trên K. Lấy x1, x2 K; x1 x2 , đặt T f (x2 ) f (x1) Hàm số đồng biến trên K T 0 . Hàm số nghịch biến trên K T 0 . f (x2 ) f (x1) C2: Cho hàm số y f (x) xác định trên K. Lấy x1, x2 K; x1 x2 , đặt T x2 x1 Hàm số đồng biến trên K T 0 . Hàm số nghịch biến trên K T 0 . Lưu ý: Hàm số y f x đồng biến (hoặc nghịch biến) thì phương trình f x 0 có tối đa một nghiệm. Nếu hàm số y f (x) đồng biến (nghịch biến) trên D thì f (x) f (y) x y (x y) và f (x) f (y) x y x, y D . Tính chất này được sử dụng nhiều trong các bài toán đại số như giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và các bài toán cực trị. Câu 4. Xét sự biến thiên của hàm số y x2 4 trên ;0 Lưu ý và trên 0; Lời giải tham khảo TXĐ: D ¡ x1, x2 ¡ , x1 x2 x2 x1 0 2 2 T f x2 f x1 x2 4 x1 4 2 2 x2 x1 x2 x1 . x1 x2 Nếu x1, x2 ;0 T 0 . Vậy hàm số y f x nghịch biến trên ;0 . Nếu x1, x2 0; T 0 . Vậy hàm số y f x đồng biến trên 0; . 4.1Xét sự biến thiên của hàm số 4 y f x 1 4.2 Xét sự biến thiên của hàm số trên y f (x) trên ;0 và 0; x 1 x2 ; 1 và 1; Lời giải Lời giải Trang-4-
5. Đại cương về hàm số 1 4.3 Xét sự biến thiên của hàm số y x 4.4 Xét sự biến thiên của hàm số y 4x 5 x 1 x trên tập xác định của nó. trên 1; Lời giải Lời giải Dạng 4: Xét tính chẵn lẻ của hàm số Phương pháp giải ❖ Sử dụng định nghĩa Hàm số y f (x) xác định trên D : x D x D x D x D Hàm số chẵn . Hàm số lẻ . f ( x) f (x) f ( x) f (x) Trang-5-
6. Đại cương về hàm số Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ. Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. ❖ Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ. B1: Tìm tập xác định của hàm số. B2: Kiểm tra ➢ Nếu x D x D chuyển qua bước ba. ➢ Nếu x0 D x0 D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ. B3: xác định f x và so sánh với f x . ➢ Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn. ➢ Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ. ➢ Nếu tồn tại một giá trị x0 D mà f x0 f x0 , f x0 f x0 kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ. Lưu ý: Cho hàm số y f x , y g x có cùng tập xác định D. Chứng minh rằng : a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số y f x g x là hàm số lẻ. b) Nếu hai hàm số trên một chẵn một lẻ thì hàm số y f x .g x là hàm số lẻ. x Lưu ý Câu 5. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: y 2 Lời giải tham khảo Tập xác định D ¡ . Với mọi x D , ta có x D x f x f x 2 x Vậy y là hàm số lẻ. 2 5.1 y 3x4 – 4x2 3. 5.2 f x x 2 – x 2 Lời giải Lời giải 5.3 y 2x3 3x 1 5.4 f x x 2 x 2 Lời giải Lời giải Trang-6-
7. Đại cương về hàm số x x2 1 1 Khi x 0 5.5 f (x) 2x2 1 x2 1 x 5.6 f (x) 0 Khi x 0 Lời giải 1 Khi x 0 Lời giải Dạng 5: Đồ thị hàm số và tịnh tiến đồ thị hàm số Phương pháp giải Cho hàm số y = f (x) xác định trên D . Đồ thị hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M (x; f (x)) nằm trong mặt phẳng tọa độ với x Î D . Chú ý : Điểm M (x0;y0) Î (C )_ đồ thị hàm số y = f (x) Û y0 = f (x0) . Sử dụng định lý về tịnh tiến đồ thị một hàm số Định lý: Cho G là đồ thị của y f x và p 0, q 0 ; ta có Tịnh tiến G lên trên q đơn vị thì được đồ thị y f x q . Tịnh tiến G xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y f x – q . Tịnh tiến G sang trái p đơn vị thì được đồ thị y f x p . Tịnh tiến G sang phải p đơn vị thì được đồ thị y f x – p . Câu 6. Cho hàm số y = mx 3 - 2(m2 + 1)x 2 + 2m2 - m Lưu ý Nếu đa thức a) Tìm m để điểm M 1;2 thuộc đồ thị hàm số đã cho a xn + a xn- 1 + ... + a x + a = 0 b) Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua với n n- 1 1 0 mọi m . với mọi x Î K khi và chỉ khi Lời giải tham khảo an = an- 1 = ... = a0 a) Điểm M 1;2 thuộc đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi 2 = - m - 2(m2 + 1) + 2m2 - m Û m = - 2 Vậy m 2 là giá trị cần tìm. b) Để N x; y là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua, điều kiện cần và đủ là y = mx 3 - 2(m2 + 1)x 2 + 2m2 - m, " m Trang-7-
8. Đại cương về hàm số 2m2 1 x2 m x3 1 2x2 y 0, m 1 x2 0 3 x 1 x 1 y 2 2 2x y 0 Vậy đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua điểm N 1; 2 . 6.1. Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số sau luôn đi qua với mọi m. y = x 3 + 2(m - 1)x 2 + (m2 - 4m + 1)x - 2(m2 + 1) Lời giải Câu 7. Lưu ý a) Tịnh tiến đồ thị hàm số y x2 1 liên tiếp sang phải hai đơn vị và xuống dưới một đơn vị ta được đồ thị của hàm số nào? b) Nêu cách tịnh tiến đồ thị hàm số y 2x2 để được đồ thị hàm số y 2x2 6x 3. Lời giải tham khảo a) Ta tịnh tiến đồ thị hàm số y x2 1 sang trái hai đơn vị ta được đồ thị hàm số y x 2 2 1 rồi tịnh tiến xuống dưới một đơn vị ta được đồ thị hàm số y x 2 2 hay y x2 4x 4 . Vậy hàm số cần tìm là y x2 4x 4 . 2 2 3 15 b) Ta có : 2x 6x 3 2 x 2 2 Do đó tịnh tiến đồ thị hàm số y 2x2 để được đồ thị hàm số y 2x2 6x 3 ta làm như sau 3 Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y 2x2 đi sang bên trái đơn vị 2 15 và lên trên đơn vị. 2 Trang-8-
9. Đại cương về hàm số 7.1 1 a)Tịnh tiến đồ thị hàm số y x2 2 liên tiếp sang trái 2 đơn vị và xuống dưới đơn vị ta được đồ thị của 2 hàm số nào? b) Nêu cách tịnh tiến đồ thị hàm số y x3 để được đồ thị hàm số y x3 3x2 3x 6 . Lời giải Trang-9-