Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 3 - Bài: Góc và khoảng cách (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 3 - Bài: Góc và khoảng cách (Kèm đáp án)

1. Toán tự luận 10 BÀI GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH Bài GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH I. GÓC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d :ax by c 0 , d :a x b y c 0 . 1) Góc giữa d và d tính theo công thức  n.n  cos d,d  (với n, n theo thứ tự là vectơ pháp tuyến của d, d ) n.n 2) Góc giữa d và d cũng có thể tính theo các công thức sau  u.u  cos d,d  (với u, u theo thứ tự là vectơ chỉ phương của d, d ) u .u  n.u Hay sin d,d  . n.u  n.n 0 3) d  d  u.u 0 Dạng toán 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Cho 2 đường thẳng d : x y 1 0 , d :2x y 3 0 . Tính côsin Lưu ý của góc giữa 2 đường thẳng trên? Lời giải  d có vtpt là n(1;1) ; d có vtpt là n (2; 1)  n.n 2 1 10 cos d,d  . n.n 2. 5 10 x 1 2t x 3 1.2. Cho 2 đường thẳng d :3x 4y 7 0 , 1.1. Cho 2 đường thẳng d : , d : . y 3 t y 2 5t x 2 t d : . Tính gần đúng góc giữa 2 đường thẳng Tính côsin của góc giữa 2 đường thẳng trên. y 6 t Lời giải: trên. Lời giải: Dạng toán 2: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG Câu 2. Cho tam giác ABC có A(0;1), B(3;5), C(2;1) . Viết phương trình Lưu ý đường phân giác trong d của góc B· AC. Lời giải   AB(3;4), AC(2;0) AB 5, AC 2 Trang -1-
2. Toán tự luận 10 BÀI GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH   Vậy d đi qua A(0;1) và có vectơ chỉ phương u 2AB 5AC (16;8) hay vectơ pháp tuyến là n(1; 2) . Vậy d : x 2y 2 0. x 2y 1 0 2.1. Cho hai đường thẳng d: và d’: 2.2. Cho hai đường thẳng 2x y 2 0 . Viết phương trình đường phân giác d :4x 3y 7 0, d :5x 12y 7 0. Viết phương của góc giữa 2 đường thẳng d và d’. trình đường phân giác của góc giữa 2 đường thẳng Lời giải đã cho. Lời giải Lưu ý Câu 3. Cho điểm M (1;2) và đường thẳng d: 2x 3 0. Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua M sao cho góc giữa d và d’ bằng 60 . Lời giải Giả sử d không vuông góc với trục Ox, có hệ số góc k. Phương trình của d : y k(x 1) 2 kx y 2 k 0 .  d,d’ có vectơ pháp tuyến lần lượt là n(2;0), n (k; 1) 2k 1 1 cos d,d cos60 k k 2 1.2 2 3 Vậy phương trình của d là: x 3y 2 3 1 0 hoặc x 3y 2 3 1 0 II. KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm M (x0; y0) đến đường thẳng :ax by c 0 ta áp dụng công thức sau: ax by c d(M , ) 0 0 a2 b2 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song :ax by c 0 và ':ax by c' 0(c c') là: ax by c' d , ' d(M , ') 0 0 (M ) a2 b2 Dạng toán 3: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG  Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (1;2) và Lưu ý đường thẳng :3x 4y 26 0 . Tính khoảng cách từ M đến . Lời giải Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là: 3.1 4.2 26 d(M , ) 3. 32 42 1.1. Tính khoảng cách từ điểm M (2; 3) đến đường 1.2.Cho đường thẳng đi qua hai điểm thẳng : x 2y 1 0 A(1;0), B(0;3) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến Trang -2-
3. Toán tự luận 10 BÀI GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH Lời giải đường thẳng AB. Lời giải  Câu 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng Lưu ý : x 7y 1 0 và : x 7y 2 0 Lời giải Chọn M ( 1;0) . Do // nên khoảng cách giữa 2 đường thẳng 2 bằng d(M , ) . 10 2.1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 2.2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng x 2 t x 2 3t x 2 3t' :3x y 1 0 và : : và : y 5 3t y 1 2t y 2t' Lời giải Lời giải Dạng toán 4: BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHOẢNG CÁCH Câu 3. Cho 3 đường thẳng có phương trình Lưu ý V1: x + y + 3 = 0; V2 : x- y- 4 = 0; V3 : x- 2y = 0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên V3 sao cho khoảng cách từ M đến V1 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến V2 . Lời giải M Î D 3 Þ M(2t;t) Khoảng cách từ M đến V1 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến V2 nên ta có 2t + t + 3 2t - t - 4 d(M;D 1)= 2d(M;D 2 )Û = 2 2 2 é3t + 3 = 2(t - 4) ét = - 11 Û ê Û ê ê + = - - ê = ëê3t 3 2(t 4) ë t 1 Vậy có hai điểm thỏa mãn là M1 (- 22;- 11), M2 (2;1) Trang -3-
4. Toán tự luận 10 BÀI GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH 3.1. Cho đường thẳng d : x y 2 0 và điểm 3.2. Cho đường thẳng d : x 2y 6 0 và điểm M (1;0) . M (1;3) . Viết phương trình đường thẳng song Viết phương trình đường thẳng vuông góc d sao cho song với d sao cho khoảng cách từ M đến khoảng cách từ M đến bằng 5 bằng 3 2. Lời giải Lời giải  Câu 4. Cho tam giác ABC có A(0;1), B(1; 1), C(5;2) . Tính diện Lưu ý tích tam giác ABC. Lời giải tham khảo 4.1. Cho hình vuông ABCD biết B(3;0) và đường 4.2. Cho hình thoi ABCD có D(0;2) , đường thẳng thẳng chứa đường chéo AC có phương trình là chứa đường chéo AC có phương trình : x 2y 9 0 , :4x 3y 2 0 . Tính diện tích hình vuông góc B· AD 60 . Tính diện tích hình thoi ABCD . ABCD . Lời giải Lời giải  Câu 5. Cho hai điểm A(1;2), B(5;4) . Viết phương trình đường Lưu ý Giải cách khác: thẳng d đi qua gốc tọa độ sao cho khoảng cách từ A, B đến d là bằng nhau. d qua O, có VTPT n (a;b) Lời giải TH 1: d // AB 2 2  d : ax by 0(a b 0) . AB (4;2) chọn n (1; 2) là vectơ pháp tuyến của d , mà d đi qua Ta có d(A,d) d(B,d) O(0;0) nên pt d : x 2y 0 a 2b 5a 4b TH2: d đi qua trung điểm của AB a 2b 5a 4b Vậy Gọi I là trung điểm AB I(3;3) . a 2b 5a 4b  d đi qua O và I nên nhận vectơ chỉ phương OI (3;3) chọn 4a 2b 0 (chon a 1,b 2) vectơ pháp tuyến là n (1; 1) 6a 6b 0 (chon a 1,b 1) d : x y 0 . có 2 đường thẳng cần tìm là: d : x 2y 0 hoặc d : x y 0 5.1. Cho 3 điểm A(0;1), B(6;4),C(1;0) . Viết 5.2. Cho 3 điểm A( 1;2), B(1;1),C(1; 1) A(-1;2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua C sao cho phương trình đường thẳng d đi qua C sao cho khoảng khoảng cách từ A đến d gấp đôi khoảng cách từ cách từ A đến d gấp đôi khoảng cách từ B đến d , B đến d , đồng thời A, B nằm khác phía so với đồng thời A, B nằm cùng phía so với d. d . Lời giải Lời giải Trang -4-
5. Toán tự luận 10 BÀI GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH  Câu 6. Cho 2 đường thẳng cắt nhau d: 2x y 1 0 , d’: Lưu ý x 2y 3 0 . Viết phương trình các đường phân giác của góc nhọn và góc tù của d và d’. Lời giải Gọi M (x; y) là một điểm tùy ý thuộc một trong hai đường phân 2x y 1 x 2y 3 giác. Khi đó d(M ,d) d(M ,d 5 5 x y 2 0 . 3x 3y 4 0 Vậy phương trình 2 đường phân giác là x y 2 0, 3x 3y 4 0. 6.1. Cho 2 đường thẳng d :7x y 2 0 và 6.2. Cho tam giác ABC có A(1;4), B( 1;0), C(5;2). d :7x y 4 0 . Viết phương trình đường thẳng Trong các đường thẳng cách đều 3 đỉnh A,B,C , viết cách đều 2 đường thẳng d, d . phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng Lời giải :3x y 6 0 . Lời giải  Câu 7. Cho điểm I(3;2) và đường thẳng : x 3y 7 0 . Viết Lưu ý phương trình đường tròn (C) tâm I và tiếp xúc với . Lời giải (C) tâm I và tiếp xúc với . nên R d(I, ) 10 Vậy phương trình đường tròn (C): x 3 ² y 2 ² 10 7.1. Cho đường tròn (C): x 5 ² y 1 ² 10 và 7.2. Cho đường tròn (C): x 2 ² y² 5 và điểm đường thẳng d : x 3y 18 0 . Viết phương trình M (7;0) . Viết phương trình đường thẳng đi qua M đường thẳng song song với d và tiếp xúc với và tiếp xúc với (C). đường tròn (C). Lời giải Lời giải 7.3. Cho điểm I( 1;3) và đường thẳng 7.4. Cho đường tròn (C) có tâm I(3;1) , bán kính : x y 1 0. Viết phương trình đường tròn (C) R 13 và đường thẳng d : x 5y 5 0. Gọi là tâm I , cắt đường thẳng theo một dây cung đường thẳng vuông góc với d , cắt (C) tại 2 điểm A,B AB 3 2. sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. Viết phương Lời giải trình đường thẳng . . Lời giải 14 m h d(I, ) 26 2 2 2 AB 2 (14 m) 26 m 1 h R 13 2 26 4 14 m 27 Vậy 1 :5x y 1 0, 2 :5x y 27 0 Trang -5-
6. Toán tự luận 10 BÀI GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH  Câu 8. Cho 2 điểm A(3;1) , B(5;0) . Viết phương trình đường Lưu ý thẳng d đi qua B sao cho khoảng cách từ A đến d là lớn nhất. Lời giải tham khảo Gọi H là hình chiếu của A trên d, có d(A,d) AH AB . Vậy  d(A,d)Max khi H trùng với B, nghĩa là AB(2; 1) là vtpt của d. Vậy d :2x y 10 0. Trang -6-