Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 3 - Bài: Đường tròn

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 3 - Bài: Đường tròn

1. Nhiệm vụ 63 BÀI TẬP TỰ LUẬN ĐƯỜNG TRÒN DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó. 1. x2 y2 2x 4y 9 0 2. x2 y2 6x 4y 13 0 3. 2x2 2y2 6x 4y 1 0 4. 2x2 y2 2x 3y 9 0 5. 16x2 16y2 16x 8y 11 . 6. 7x2 7y2 4x 6y 1 0 . Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn, hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn theo m. 7. x2 y2 2mx 4 m 2 y 6 m 0 . 8. x2 y2 - 2 m 1 x 2my 3m2 - 2 0 . 9. x2 y2 2 m 3 x 4my m2 5m 4 0 . 10. x 2 + y2 + (m + 2)x - (m + 4)y + m + 1 = 0. DẠNG 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với 1. I 2; 4 , A –1; 3 . 2. I –3; 2 , A 1;–1 . 3. I 3; 5 , A 7; 2 . 4. I 0;0 , A 4;4 . Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng , với 5. I 3;4 , :3x 4y 1 0 . 6. I 2;3 , :12x 5y 7 0 . 7. I 2;3 ,  Ox . 8. I 4; 5 ,  Oy . Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với 9. A –2; 3 , B 1; 2 . 10. A –3; 1 , B 2; 2 . Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng , với 11. A 2;3 , B 1;1 , : x 3y 1 0 . 12. A 0;4 , B 2;6 , : x 2y 5 0 . 13. A 2;2 , B 8;6 , :5x 3y 6 0 . 14. A 1;0 , B 1;2 , : x y 1 0 . Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng , với 15. A 1;2 , B 3;4 , :3x y 3 0 . 16. A 6;3 , B 3;2 , : x 2y 2 0 . 17. A 1;2 , B 2;1 , : 2x y 2 0 . 18. A 2;0 , B 1;2 ,  Oy . Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng tại điểm B, với 19. A 2;6 , :3x 4y 15, B 1; 3 . 20. A 2;1 , :3x 2y 6, B 4;3 . 21. A 6; 2 ,  Ox, B 6;0 . 22. A 4; 3 , : x 2y 3 0, B 3;0 . Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2, với 23. A 2;3 , 1 :3x 4y 1 0, 2 : 4x 3y 7 0 . 24. A  O 0;0 , 1 : x y 4 0, 2 : x y 4 0 . 25. A 3; 6 , 1  Ox, 2  Oy . Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d, với 26. 1 :3x 2y 3 0, 2 : 2x 3y 15 0, d : x y 0 . 27. 1 : x y 4 0, 2 : 7x y 4 0, d : 4x 3y 2 0 . 28. 1 : 4x 3y 16 0, 2 :3x 4y 3 0, d : 2x y 3 0 . 1
2. Nhiệm vụ 63 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với 29. A 5; 3 , B 0; 4 , C 3;–1 . 30. A –1;–7 , B –4;–3 , C  O 0; 0 . 31. AB : x y 2 0, BC : 2x 3y 1 0, CA: 4x y 17 0 . 32. AB : x 2y 5 0, BC : 2x y 7 0, CA: x y 1 0 . Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với 33. A 2; 6 , B –3;–4 , C 5; 0 . 34. A 2; 0 , B 0;–3 , C 5;–3 . 35. AB : 2x 3y 21 0, BC :3x 2y 6 0, CA: 2x 3y 9 0 . 36. AB : 7x y 11 0, BC : x y 15, CA: 7x 17y 65 0 . Lập phương trình đường tròn C trong các trường hợp sau 37. C tiếp xúc với trục Ox tại điểm A 2;0 và khoảng cách từ tâm của C đến B 6;4 bằng 5. 38. C tiếp xúc với cả hai trục tọa độ và qua M 2;1 . 39. C tiếp xúc với cả hai trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x 2y 8 0 . 40. C qua hai điểm A 2;3 , B 2;1 và có tâm nằm trên trục hoành. 41. C qua hai điểm A 2;0 , B 3;1 và bán kính R 5 . 42. C qua hai điểm A 1;1 , B 0;2 và có tâm nằm trên đường thẳng d : 2x 3y 0 . 43. C tiếp xúc với đường thẳng d1 : x 2y 3 0 tại M 1;2 và có tâm thuộc đường thẳng d2 : x 5y 5 0 . 44. C tiếp xúc với đường thẳng d1 :3x 4y 31 0 tại điểm M 1; 7 và có bán kính R 5 . 45. C tiếp xúc với đường tròn C ' : x2 y2 2x 0 tại điểm A 2;0 và R 5 . 46. C qua A 5;3 và tiếp xúc với đường thẳng d : x 3y 2 0 tại M 1; 1 . 2 2 2 2 47 C qua các giao điểm của C1 : x y 9 0 và C2 : x y 2x 2y 14 và có tâm nằm trên đường thẳng d : x 6y 6 0 . 48. C đối xứng với đường tròn C ' : x 1 2 y 2 2 4 qua d : x y 1 0 . 49. C đối xứng với đường tròn C ' : x 2 2 y 3 2 3 qua d : x y 1 0 . 50. C đối xứng với đường tròn C ' : x2 y2 2x 4y 3 0 qua d : x 2 0 . DẠNG 3. QUỸ TÍCH TÂM ĐƯỜNG TRÒN Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn C có phương trình (m và t là tham số) 1. x2 y2 2 m 1 x 4my 3m 11 0 . 2. x2 y2 2mx 4 m 1 y 3m 14 0 . 3. t 2 1 x2 y2 8 t 2 1 x 4 t 2 4t 1 y 3t 2 3 0 . Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn C , biết 4. C tiếp xúc với đường thẳng d : 6x 8y 15 0 và có bán kính R 3 . 2
3. Nhiệm vụ 63 5. C tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : 2x 3y 6 0, d2 :3x 2y 9 0 . 6. C tiếp xúc với đường tròn C ' : x2 y2 4x 6y 3 0 và có bán kính R 2 . 7. C đi qua điểm A 2;3 và tiếp xúc với đường thẳng d : y 5 0 . 2 2 8. Cho Cm : x y 2mx 4 m 2 y 6 m 0 . a. Tìm điều kiện của m để Cm là đường tròn. b. Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn Cm khi m thay đổi. 2 2 9. Cho Cm : x y m 2 x m 4 y 1 0 . a. Chứng minh Cm là họ đường tròn. b. Chứng minh rằng trong các đường tròn của Cm có một đường tròn qua gốc tọa độ. Tìm phương trình đường tròn đó. 2 2 10. Cho Cm : x y 2 m 1 x 4my 17 0 . a. Tìm điều kiện m để Cm là đường tròn. b. Với giá trị nào của m thì đường tròn Cm tiếp xúc với đường thẳng d : x y 1 0 . c. Tìm tập hợp tâm của họ Cm khi m thay đổi. 2 2 11. Cho Cm : x y 4mx 2 m 1 y 1 0 . a. Tìm điều kiện m để Cm là đường tròn. b. Tìm điểm cố định của họ Cm khi m thay đổi. c. Tìm tập hợp tâm của họ Cm khi m thay đổi. 2 2 12. Cho Cm : x y m 3 x m 2 y m 13 0 . a. Chứng minh Cm là họ đường tròn. b. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì Cm luôn đi qua hai điểm cố định. 2 2 13. Cho Cm : x y m 2 x m 4 y m 1 0 . a. Định m để Cm là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. b. Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn Cm . c. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì Cm luôn đi qua hai điểm cố định. 2 2 2 14. Cho Cm : x y 2mx 2my m 2m 3 0 . a. Định m để Cm là đường tròn. Khi đó tìm tọa độ tâm và bán kính. b. Định m để Cm tiếp xúc với hai trục tọa độ. c. Định m để Cm cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho AB 2 . 15. Cho hai điểm A 2;–4 , B –6; 2 . Tìm tập hợp các điểm M x; y sao cho a. AM 2 BM 2 100 . c. MA 3MB . b. AM 2 BM 2 k 2 , k 0 . d. 2MA2 3MB2 OM 2 . 16. Cho hai điểm A 2;3 , B –2;1 . Tìm tập hợp các điểm M x; y sao cho     a. AM.BM 0 . b. AM.BM 4 . 3
4. Nhiệm vụ 63 17. Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến hai đường thẳngd : x y 3 0 và d ': x y 1 0 bằng k 9 . 18. Cho bốn điểm A 4;4 , B –6;4 , C –6;–2 , D 4;–2 . a. Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. b. Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M đến các cạnh của hình chữ nhật bằng 100 . DẠNG 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn C trong các trường hợp a. d : x y 2 0 & C : x2 y2 2x 6y 6 0 . x t 2 2 b. d : & C : x y 4x 2y 20 0 . y 5 2t 2. Cho đường tròn C : x2 y2 4x 6y 3 0 và đường thẳng :3x y m 0 . Tìm các giá trị của m để a. Đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn C . b. Đường thẳng Δ cắt đường tròn C . c. Đường thẳng Δ và đường tròn C không có điểm chung. 3. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d và đường tròn C , với a. d : mx y 3m 2 0 & C : x2 y2 4x 2y 0 . b. d : 2x y m 0 & C : x2 y2 6x 2y 5 0 . c. d : mx y 7 4m 0 & C : x2 y2 2x 4y 0 . d. mx y 3m 1 0 & C : x2 y2 4x 3y 0 . 3. Cho đường tròn C : x2 y2 2x 2y 1 0 và đường thẳng d đi qua điểm A 1;0 và có hệ số góc k a. Viết phương trình đường thẳng d. b. Biện luận theo k vị trí tương đối của d và C . c. Suy ra phương trình các tiếp tuyến của C xuất phát từ A. 4. Cho đường thẳng d và đường tròn C : d :3x y 10 0, C : x2 y2 4x 2y 20 0 a) Chứng tỏ d cắt C . b) Tìm toạ độ các giao điểm của d và C . 5. Cho đường tròn C : x2 y2 2x 6y 6 0 và điểm M 4;2 . Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt đường tròn C tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB. 6. Cho đường tròn C : x2 y2 4x 2y 1 0 và đường thẳng d : y x . a. Chứng minh rằng d cắt C tại hai điểm phân biệt A và B. b. Tính độ dài đoạn AB. 7. Cho đường tròn C : x2 y2 4x 6y 5 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 3;2 và cắt đường tròn C theo một dây cung có độ dài a. Lớn nhất. b. Nhỏ nhất. 8. Cho đường tròn C : x 1 2 y 2 2 2 và đường thẳng d :3x 2y 1 0 . a. Xác định vị trí tương đối của d và C . 4
5. Nhiệm vụ 63 2 2 b. Tìm trên đường thẳng d điểm M xo ; yo sao cho xo yo đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 9. Cho đường tròn Cm : x y 2mx 2y m 7 0 có tâm là I. Xác định m để đường thẳng d : x y 1 0 cắt Cm tại hai điểm phân biệt A và B sao cho ΔIAB đều. 2 2 10. Cho Cm : x y m 2 x m 4 y m 1 0 . Chứng minh rằng Cm luôn đi qua hai điểm cố định. Suy ra giá trị của m để Cm là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. DẠNG 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Xét vị trí tương đối của hai đường tròn C1 và C2 , tìm toạ độ giao điểm (nếu có) với 2 2 2 2 1. C1 : x y 6x 10y 24 0 C2 : x y 6x 4y 12 0 . 2 2 2 2 2. C1 : x y 4x 6y 4 0 C2 : x y 10x 14y 70 0 . 2 2 5 5 3. C1 : x y 6x 3y 0 C2 có tâm I 5; và bán kính R . 2 2 2 2 2 2 2 2 4. C1 : x y 2x 4y 5 0 C2 : x y x 5y 4 0 . Biện luận số giao điểm của hai đường tròn C1 và C2 , với 2 2 2 C1 : x y 6x 2my m 4 0 5. . 2 2 2 C2 : x y 2mx 2 m 1 y m 4 0 2 2 C1 : x y 4mx 2my 2m 3 0 6. . 2 2 C2 : x y 4 m 1 x 2my 6m 1 0 2 2 2 2 Cho hai đường tròn C1 : x y 7x 7 0 và C2 : x y x 7y 18 0 . 7. Chứng tỏ C1 và C2 cắt nhau tại hai điểm A và B. 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B. 2 2 2 Cho họ đường tròn Cm : x y 2mx 4my 5m 1 0 . 2 2 9. Tìm m để Cm cắt đường tròn C1 : x y 1 tại hai điểm phân biệt A và B. 2 2 10. Tìm m để Cm và C2 : x y 2x 4y 1 0 tiếp xúc trong với nhau. 2 2 2 2 Cho hai đường tròn C1 : x 2 y 2 2 và C2 : x 3 y 2 1. 11. Chứng minh rằng C1 và C2 nằm ngoài nhau. 12. Cho M 1;2 . Hãy tìm hai điểm A C1 , B C2 sao cho M là trung điểm của AB. Cho hai điểm A 8; 0 , B 0; 6 . 13. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB. 14. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của OA, AB, OB. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. 15. Chứng minh rằng hai đường tròn trên tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm. 5
6. Nhiệm vụ 63 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C tại điểm M C 1. C : x2 y2 4x 4y 3 0 & M 3;0 . 2. C : x2 y2 2x 8y 8 0 & M 4;0 . Cho đường tròn C : x2 y2 4x 2y 0 . 3. Lập phương trình tiếp tuyến của C tại A có hoành độ là 0 . 4. Lập phương trình tiếp tuyến của C các giao điểm của nó với trục tung Oy . 5. Lập phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C và đường thẳng d : x y 0 . Cho đường tròn C : x2 y2 8x 6y 17 0 . 6. Chứng tỏ M 6;5 nằm trên đường tròn C . Viết phương trình tiếp tuyến d của C qua M 7. Chứng tỏ N 0; 1 nằm ngoài đường tròn C . Viết phương trình tiếp tuyến d' của C qua điểm N. Viết phương trình tiếp tuyến C kẻ từ một điểm cho trước 8. C : x2 y2 4x 2y 2 0 & A 3;1 . 9. C : x2 y2 4x 4y 1 0 & A 0; 1 . Cho đường tròn C : x 2 2 y 1 2 25. 10. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn C . 11. Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M 5;3 . 12. Lập phương trình tiếp tuyến của C song song với đường thẳng d1 :5x 12y 2 0 . 13. Lập phương trình tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng d2 :3x 4y 7 0 . 14. Lập phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến đi qua điểm A 3;6 . Cho đường tròn C : x2 y2 6x 2y 5 0 C và đường thẳng d : 2x y 3 0 . 15. Viết phương trình các tiếp tuyến của C tại các giao điểm của C với các trục toạ độ. 16. Viết phương trình tiếp tuyến của C vuông góc với d. 17. Viết phương trình tiếp tuyến của C song song với d. Cho đường tròn C . Hãy lập phương trình tiếp tuyến với C , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc trong các trường hợp sau: 2 2 18. C : x 1 y 1 10 450 & d : 2x y 4 0 . 19. C : x2 y2 4x 8y 10 0 600 & d : 2x 3y 1 0 . 2 2 2 2 Cho hai đường tròn C1 : x y 9 và C2 : x y 2x 3 0 . 20. Tìm tâm và bán kính của đường tròn C1 và C2 . 21. Xét vị trí tương đối của C1 và C2 . 22. Viết phương trình tiếp tuyến chung của C1 và C2 . Cho hai điểm A 1; 2 , B 3; 4 và đường thẳng d :3x y 3 0 . 23. Viết phương trình các đường tròn C1 và C2 qua A, B và tiếp xúc với d. 6
7. Nhiệm vụ 63 24. Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác d) của hai đường tròn đó. Cho đường tròn C : x 2 2 y 4 2 4 . Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết rằng tiếp tuyến: 25. Tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. 26. Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 . Cho đường tròn C : x2 y2 6x 2my m2 4 0 . 27. Tìm m để từ A 2; 3 có thể kẻ được hai tiếp tuyến với C . 28. Viết phương trình các tiếp tuyến đó khi m 6 . 2 2 Cho C : x y sin 2 xcos ysin cos ,  k . 29. Chứng minh rằng C luôn là đường tròn  . Định tâm và bán kính đường tròn C . 30. Chứng minh rằng C luôn có một tiếp tuyến cố định và xác định tiếp tuyến đó. 7