Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 3 - Bài: Đường elip (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 3 - Bài: Đường elip (Kèm đáp án)

1. ĐƯỜNG ELIP ĐƯỜNG ELIP 1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c(c > 0) và hằng số a > c . Elip(E) là tập hợp cỏc điểm M thỏa món MF1 + MF2 = 2a . Cỏc điểm F1, F2 là tiờu điểm của (E). Khoảng cỏch F1F2 = 2c là tiờu cự của (E). MF1, MF2 được gọi là bỏn kớnh qua tiờu. y 2) Phương trỡnh chớnh tắc của elip: B2 Với tọa độ tiờu điểm F (- c;0), F (c;0): 1 2 M A1 A2 2 2 x y F O F2 x M (x; y)ẻ (E )Û + = 1 (1) trong đú 1 a2 b2 B1 b2 = a2 - c2 Hỡnh 3.3 (1) được gọi là phương trỡnh chớnh tắc của (E) 3) Hỡnh dạng và tớnh chất của elip: Elip cú phương trỡnh (1) nhận cỏc trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tõm đối xứng. + Tiờu điểm: Tiờu điểm trỏi F1(- c;0), tiờu điểm phải F2(c;0) + Cỏc đỉnh : A1(- a;0), A2(a;0), B1(0;- b), B2(0;b) + Trục lớn : A1A2 = 2a , nằm trờn trục Ox; trục nhỏ : B1B2 = 2b, nằm trờn trục Oy + Hỡnh chữ nhật tạo bởi cỏc đường thẳng x = ± a, y = ± b gọi là hỡnh chữ nhật cơ sở. c + Tõm sai : e = < 1 a + Bỏn kớnh qua tiờu điểm của điểm M (xM ; yM ) thuộc (E) là: c c MF = a + ex = a + x , MF = a - ex = a - x 1 M a M 2 M a M Dạng toỏn 1. Xỏc định cỏc yếu tố của elip Phương phỏp ỏp dụng x2 y2 + Chuyển Elip về dạng: + = 1 ( a > b > 0 ) a2 b2 xỏc định a,b từ đú suy ra c2 = a2 - b2 + Xỏc định cỏc yếu tố của (E)
2. ĐƯỜNG ELIP - Độ dài trục lớn: 2a, độ dài trục bộ: 2b -Tiờu cự 2c -Tọa độ cỏc đỉnh A1(- a;0), A2(a;0), B1(0;- b), B2(0;b) c -Tõm sai e = < 1 a a -Phương trỡnh cỏc đường chuẩn x ± = 0 e -Phương trỡnh 4 cạnh của hỡnh chữ nhật cơ sở : x = ± a, y = ± b Cõu 1. : Xỏc định cỏc đỉnh, độ dài trục, tiờu cự, tiờu điểm , tõm Lưu ý sai, phương trỡnh cỏc đường chuẩn của elip cú phương trỡnh sau: x2 y2 + = 1 4 1 Lời giải tham khảo: a) Từ phương trỡnh của (E) ta cú a2 = 4, b2 = 1ị c2 = a2 - b2 = 3. ị a = 2,b = 1,c = 3 Suy ra tọa độ cỏc đỉnh là A1 (- 2;0); A2 (2;0); B1 (0;- 1); B2 (0;1) Độ dài trục lớn A1 A2 = 4 , độ dài trục bộ B1B2 = 2 Tiờu cự F1F2 = 2c = 2 3 , tiờu điểm là F1 (- 3;0); F2 ( 3;0), c 3 Tõm sai của (E) là e = = a 2 4 3 Phương trỡnh cỏc đường chuẩn x ± = 0 3
3. ĐƯỜNG ELIP x2 y2 x2 y2 1.1 + = 1 1.2 + = 1 25 16 100 64 Lời giải . Lời giải Cõu 2. : Xỏc định cỏc đỉnh, độ dài trục, tiờu cự, tiờu điểm , tõm Lưu ý sai, phương trỡnh cỏc đường chuẩn của elip cú phương trỡnh sau: 4x2 + 25y2 = 100 Lời giải tham khảo x2 y2 Ta cú 4x2 + 25y2 = 100 Û + = 1 suy ra 25 4 a = 5; b = 2 ị c = a2 - b2 = 21 Do đú tọa độ cỏc đỉnh là A1 (- 5;0); A2 (5;0); B1 (0;- 2); B2 (0;2) Độ dài trục lớn A1 A2 = 10 , độ dài trục bộ B1B2 = 4 Tiờu cự F1F2 = 2c = 2 21 , tiờu điểm là F1 (- 21;0); F2 ( 21;0), c 21 Tõm sai của (E) là e = = a 5 25 21 Phương trỡnh cỏc đường chuẩn x ± = 0 21
4. ĐƯỜNG ELIP 2.19x2 + 25y2 = 225 2.216x2 + 36y2 = 576 Lời giải Lời giải Cõu 3. Xỏc định cỏc đỉnh, độ dài trục, tiờu cự, tiờu điểm , tõm sai, Lưu ý phương trỡnh cỏc đường chuẩn của elip cú phương trỡnh sau: 4x2 + 9y2 = 1 Lời giải tham khảo x2 y2 Ta cú 4x2 + 9y2 = 1 Û + = 1 suy ra 1 1 4 9 1 1 5 a = ; b = ị c = a2 - b2 = 2 3 6 ổ 1 ữử ổ1 ữử ổ 1ữử ổ 1ữử Do đú tọa độ cỏc đỉnh là A1 ỗ- ;0ữ; A2 ỗ ;0ữ; B1 ỗ0;- ữ; B2 ỗ0; ữ ốỗ 2 ứữ ốỗ2 ứữ ốỗ 3ứữ ốỗ 3ứữ 2 Độ dài trục lớn A A = 1, độ dài trục bộ B B = 1 2 1 2 3 ổ ử ổ ử 5 ỗ 5 ữ ỗ 5 ữ Tiờu cự F1F2 = 2c = , tiờu điểm là F1 ỗ- ;0ữ; F2 ỗ ;0ữ, 3 ốỗ 6 ứữ ốỗ 6 ứữ c 5 Tõm sai của (E) là e = = a 3 3 5 Phương trỡnh cỏc đường chuẩn x ± = 0 10
5. ĐƯỜNG ELIP 2 2 2 2 3.1 . 9x + 16y = 1 3.2. 16x + 25y = 1 Lời giải Lời giải Dạng toỏn 2. Viết phương trỡnh Elip: Phương phỏp : x2 y2 Phương trỡnh chớnh tắc của elip cú dạng E : + = 1với a > b > 0 a2 b2 Từ cỏc yếu tố đó biết thiết lập phương trỡnh chứa a và b tỡm được a và b Thay vào phương trỡnh trờn ta được phương trỡnh chớnh tắc của elip. Cần lưu ý cỏc hệ thức: a2 = c2 + b2 2 Khoảng cỏch giữa hai đường chuẩn 2a c Cõu 4. : Lập phương trỡnh chớnh tắc của Elip (E) biết: Lưu ý a)(E) cú Độ dài trục lớn bằng 14 và độ dài trục bộ bằng 10? b) (E) cú độ dài trục lớn bằng 10 và tiờu cự bằng 6? Lời giải tham khảo: x2 y2 a) Phương trỡnh chớnh tắc của (E) : + = 1với a > b > 0 a2 b2
6. ĐƯỜNG ELIP Độ dài trục lớn 2a = 14 ị a = 7, Độ dài trục bộ 2b = 10 ị b = 5, x2 y2 Vậy phương trỡnh chớnh tắc của (E) : + = 1 49 25 b). Độ dài trục lớn 2a = 10 ị a = 5, Tiờu cự 2c = 6 ị c = 3, b2 = a2 - c2 = 25 - 9 = 16 ị b = 4 x2 y2 Vậy phương trỡnh chớnh tắc của (E) : + = 1 25 16 4.1 Lập phương trỡnh chớnh tắc của Elip (E) biết: 4.2 Lập phương trỡnh chớnh tắc của Elip (E) biết: E) cú độ dài trục lớn bằng 30 và (E) cú Độ dài trục lớn bằng 18 và độ dài trục bộ tiờu cự bằng 24? bằng 12? . Lời giải Lời giải Cõu 5. : Lập phương trỡnh chớnh tắc của Elip (E) biết: Lưu ý 2 a)(E) cú độ dài trục lớn là 6 và tõm sai e = 3 2 5 b) Cú tõm sai e = và nhận F(4;0) là một tiờu điểm 5 Lời giải tham khảo a)Độ dài trục lớn 2a = 6 ị a = 3, 2 c 2 tõm sai e = Û = ị c = 2, b2 = a2 - c2 = 9 - 4 = 5 ị b = 5 3 a 3
7. ĐƯỜNG ELIP x2 y2 Vậy phương trỡnh chớnh tắc của (E) : + = 1 9 5 2 5 b). Vỡ F(4;0) ị c = 4 ;e = 5 c 2 5 Û = ị a = 2 5, b2 = a2 - c2 = 20 - 16 = 4 ị b = 2 a 5 x2 y2 Vậy phương trỡnh chớnh tắc của (E) : + = 1 20 4 5.1: Lập phương trỡnh chớnh tắc của Elip (E) biết: 5.2 Lập phương trỡnh chớnh tắc của Elip 4 3 (E) biết: Cú tõm sai e = và nhận F(2;0) (E) cú độ dài trục lớn là 8 và tõm sai e = 5 4 là một tiờu điểm. Lời giải Lời giải Cõu 6. : Lập phương trỡnh chớnh tắc của Elip (E) biết: Lưu ý a) Tiờu cự bằng 8 và đi qua điểm M ( 15;- 1) b )Độ dài trục nhỏ bằng 6 và đi qua điểm M (2 15;2) 3 c) Đi qua hai điểm M (1;0) và N( ;1) 2 Lời giải tham khảo Phương trỡnh chớnh tắc của (E) cú dạng: x2 y2 + = 1(a > b > 0) a2 b2 a) Tiờu cự 2c = 8 ị c = 4, đi qua điểm M ( 15;- 1) nờn
8. ĐƯỜNG ELIP 15 1 + = 1(a > b > 0) Û b4 = 16 Û b = 2 16 + b2 b2 với b = 2 ị a = 2 5, x2 y2 Vậy phương trỡnh chớnh tắc (E) là + = 1 20 4 b) Độ dài trục nhỏ 2b = 6 ị b = 3, đi qua điểm M (2 15;2) nờn 60 4 + = 1(a > b > 0) Û a2 = 108 Û a = 108 a2 9 x2 y2 Vậy phương trỡnh chớnh tắc (E) là + = 1 108 9 40 c)Đi qua hai điểm M (3;0) và N(2; ) ta cú hệ phương trỡnh 3 ỡ 9 ù = 1 ù a2 ùỡ a = 3 ớ Û ớù ù 4 40 ù b = 2 2 ù + = 1 ợù ợù a2 9b2 x2 y2 Vậy phương trỡnh chớnh tắc (E) là + = 1 9 8 6.1 . Lập phương trỡnh chớnh tắc của Elip (E) biết: 6.2. Lập phương trỡnh chớnh tắc của Elip 8 6 (E) biết Độ dài trục nhỏ bằng 10 và đi Tiờu cự bằng 6 và đi qua điểm M (1; ) 24 5 qua điểm M ( ;3) 5 Lời giải Lời giải
9. ĐƯỜNG ELIP 6.3. Lập phương trỡnh chớnh tắc của Elip (E) biết 70 Đi qua hai điểm M (4;0) và N(- 3; ) 4 Cõu 7 . Lập phương trỡnh chớnh tắc của Elip (E) Lưu ý biết: a) (E)cú tọa độ một đỉnh là (0; 5) và đi qua điểm ổ4 10 ử M ỗ ;- 1ữ ốỗ 5 ứữ b) (E) cú tiờu điểm thứ nhất (- 3;0) và đi qua 4 33 điểm M (1; ) . 5 Lời giải tham khảo Phương trỡnh chớnh tắc của (E) cú dạng: x2 y2 + = 1(a > b > 0) a2 b2 a) (E) cú một đỉnh cú tọa độ là (0; 5) nằm trờn trục tung nờn b = 5 do đú phương trỡnh chớnh tắc x2 y2 của (E) cú dạng: + = 1(a > 5). a2 5 ổ4 10 ử Mặt khỏc (E) đi qua điểm M ỗ ;- 1ữ nờn ốỗ 5 ứữ 160 1 + = 1 ị a2 = 8 25a2 5 x2 y2 Vậy phương trỡnh chớnh tắc (E) là + = 1 8 5 b) (E) cú tiờu điểm F1(- 3;0) nờn c = 3 suy ra
10. ĐƯỜNG ELIP a2 = b2 + c2 = b2 + 3 (1) 4 33 1 528 Mặt khỏc M (1; ) ẻ (E) ị + = 1 (2) 5 a2 25b2 Thế (1) vào (2) ta được 1 528 + = 1 Û 25b4 - 478b2 - 1584 = 0 b2 + 3 25b2 Û b2 = 22 ị a2 = 25 x2 y2 Vậy phương trỡnh chớnh tắc (E) là + = 1 25 22 7.1 Lập phương trỡnh chớnh tắc của Elip (E) biết: 7.2 Lập phương trỡnh chớnh tắc của Elip (E) biết:(E) cú tiờu điểm thứ nhất (- 2;0) (E)cú tọa độ một đỉnh là (0; 3) và đi qua điểm 5 3 ổ2 6 ử và đi qua điểm M ( ;1) . M ỗ ;- 1ữ 2 ốỗ 3 ứữ Lời giải Lời giải