Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 3 - Bài 1: Phương trình tham số của đường thẳng - Hoàng Phương Thúy (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 3 - Bài 1: Phương trình tham số của đường thẳng - Hoàng Phương Thúy (Kèm đáp án)

1. Hình 10. Tự luận. Phương trình tham số của đường thẳng GV : Hoàng Phương Thúy PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG A. Lí thuyết: 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: * Định nghĩa: Cho đường thẳng . Vectơ u 0 được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với . * Nhận xét: – Nếu u là VTCP của thì ku k 0 cũng là VTCP của . – VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do vậy nếu có VTCP u (a;b) thì n ( b;a) là một VTPT của . 2. Phương trình tham số của đường thẳng: * Định nghĩa: Cho đường thẳng đi qua M 0 (x0 ; y0 ) và u (a;b) là VTCP.  x x0 at Khi đó M (x; y) MM 0 tu t ¡ (1). y y0 bt Hệ (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t gọi là tham số. * Nhận xét: Cho có phương trình tham số là (1), khi đó A A(x0 at; y0 bt) . 3. Phương trình chính tắc của đường thẳng: * Định nghĩa: Cho đường thẳng đi qua M 0 (x0 ; y0 ) và u a,b (với a 0, b 0) là vectơ chỉ phương, khi x x y y đó phương trình 0 0 được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng . a b B. Các dạng toán và phương pháp giải: Dạng 1: Dựa vào phương trình tham số xác định các yếu tố của đường thẳng Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa phương trình tham số. Cụ thể: x x0 at Cho đường thẳng có phương trình tham số là . y y0 bt + Tìm tọa độ 1 điểm thuộc : Chọn 1 giá trị của t rồi thay vào phương trình tham số được tọa độ của 1 điểm thuộc . + Kiểm tra xem 1 điểm có thuộc không: Thay tọa độ điểm đó vào phương trình tham số của , nếu tìm được giá trị của t thì kết luận điểm đó thuộc , nếu không tìm được giá trị của t thì kết luận điểm đó không thuộc . + Tìm vectơ chỉ phương của : VTCP của luôn có dạng u ka;kb ,k 0, chọn 1 giá trị của k thay vào sẽ được 1 VCTP tương ứng. + Kiểm tra 1 vectơ có là VTCP của : Kiểm tra vectơ đó có dạng u ka;kb ,k 0 không? + Tìm vectơ pháp tuyến của : VTPT của có dạng n kb;ka ;k 0.
2. Hình 10. Tự luận. Phương trình tham số của đường thẳng GV : Hoàng Phương Thúy x 3 t Lưu ý: Câu 1. Cho đường thẳng d có phương trình tham số: . Hãy xác y 1 3t + Thường ưu tiên chọn t = 0 định tọa độ 2 điểm thuộc d, 2 VTCP và 2 VTPT của d. trước để hạn chế tính toán. Lời giải tham khảo + Tùy từng trường hợp mà chọn t hợp lí để tiện tính toán tọa độ + Chọn t = 1 thay vào phương trình tham số của d ta được: x 2; y 4 . x, y. Điểm A 2;4 d. + Chọn k 0 . + Chọn t = –1 thay vào phương trình tham số của d ta được: x 4; y 2. + Các giá trị x0 ; y0 ;a;b nếu bị Điểm B 4; 2 d. khuyết thì tức là chúng có giá trị bằng 0. + VTCP của d có dạng u k;3k . Chọn k = 1 và k = –1 ta được   u1 1;3 ;u2 1; 3 là 2 VTCP của d. + VTPT của d có dạng n 3k;k . Chọn k = 1 và k = –1 ta được   n1 3;1 ;n2 3; 1 là 2 VTPT của d. x 2 t x 2t 1.1 Cho d: . Hãy xác định 3 điểm thuộc y 1 3t 1.2 Cho d: 1 . Hãy xác định 3 điểm thuộc d, y 4 t d, 3 VTCP và 3 VTPT của d. 3 3 VTCP và 3 VTPT của d. x 3 5t x 3t 1.3 Cho d: . Hãy xác định 3 điểm thuộc 1.4 Cho d: . Hãy xác định 3 điểm thuộc d, 3 y 2 y 7t d, 3 VTCP và 3 VTPT của d. VTCP và 3 VTPT của d.
3. Hình 10. Tự luận. Phương trình tham số của đường thẳng GV : Hoàng Phương Thúy Dạng 2: Bài toán chuyển đổi giữa các dạng phương trình đường thẳng Phương pháp giải:  Với cho dưới dạng tổng quát: : ax by c 0 Để chuyển về dạng tham số ta thực hiện theo các bước sau: a) có VTPT n a;b có VTCP là: u b; a b) Lấy một điểm A thuộc (cho x tìm y hoặc cho y tìm x). c) Viết phương trình tham số của với đi qua A và có VTCP u b; a . x x0 u1t  Với cho dưới dạng tham số: y y0 u2t + Để chuyển về dạng tổng quát ta khử t từ hệ trên như sau: x x0 t x x0 u1t u1 x x0 y y0 u2 x x0 u1 y y0 0 ... y y u t y y u u 0 2 0 t 1 2 u2 Hoặc từ phương trình tham số, ta lấy một điểm thuộc và VTCP u u1;u2 VTPT n u2 ; u1 rồi viết phương trình tổng quát của . + Để chuyển về dạng chính tắc ta rút t từ hệ trên như sau: x x0 t x x0 u1t u1 x x y y 0 0 . y y u t y y u u 0 2 0 t 1 2 u2 x x y y  Với cho dưới dạng chính tắc: 0 0 u1 u2 + Để chuyển về dạng tổng quát ta đơn giản phương trình trên: x x0 y y0 u2 x u1 y u2 x0 u1 y0 0 . u1 u2 + Để chuyển về dạng tham số ta sử dụng tham số trung gian t như sau: x x0 t x x y y u1 x x0 u1t 0 0 t . u u y y y y u t 1 2 0 t 0 2 u2 Câu 1. Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: x 2y 3 0 . Hãy Lưu ý: viết phương trình tham số của d. Lời giải tham khảo Ta có:
4. Hình 10. Tự luận. Phương trình tham số của đường thẳng GV : Hoàng Phương Thúy A 1;1 d ; n 1;2 là VTPT của d nên u 2;1 là VTCP của d. x 1 2t Do đó phương trình tham số của d là: . y 1 t 1.1 Cho phương trình tổng quát của đường thẳng d: 1.2 Cho phương trình tổng quát của đường thẳng d: 2x 3y 1 0 . Viết phương trình tham số của d. x y 3 0 . Viết phương trình tham số của d. 1.3 Cho phương trình tổng quát của đường thẳng d: 1.4 Cho phương trình tổng quát của đường thẳng d: 3x 2y 1 0 . Viết phương trình tham số của d. 5x y 7 0. Viết phương trình tham số của d. x 1 t Lưu ý: Câu 2. Cho đường thẳng d có phương trình tham số: . Hãy viết y 2 t phương trình tổng quát và phương trình chính tắc (nếu có) của d. Lời giải tham khảo x 1 t t 1 x Ta có: . Do đó phương trình chính tắc của d là: y 2 t t y 2 x 1 y 2 và phương trình tổng quát của d là: x y 3 0 . 1 1 2.1 Cho phương trình tham số của đường thẳng d: 2.2 Cho phương trình tham số của đường thẳng d: x 3 2t x 2t . Hãy viết phương trình tổng quát và . Hãy viết phương trình tổng quát và y 1 t y 1 3t phương trình chính tắc (nếu có) của d. phương trình chính tắc (nếu có) của d.
5. Hình 10. Tự luận. Phương trình tham số của đường thẳng GV : Hoàng Phương Thúy 2.3 Cho phương trình tham số của đường thẳng d: 2.4 Cho phương trình tham số của đường thẳng d: x 1 3t x 2 . Hãy viết phương trình tổng quát và . Hãy viết phương trình tổng quát và y 5 4t y 1 6t phương trình chính tắc (nếu có) của d. phương trình chính tắc (nếu có) của d. x 1 y 2 Lưu ý: Câu 3. Cho đường thẳng d có phương trình chính tắc: . Hãy 2 3 viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của d. Lời giải tham khảo x 1 y 2 Ta có: 3x 3 2y 4 . Do đó phương trình tổng quát của d 2 3 là 3x 2y 7 0 . x 1 y 2 x 1 2t Mặt khác: t . 2 3 y 2 3t 3.1 Cho phương trình chính tắc của đường thẳng d: 3.2 Cho phương trình chính tắc của đường thẳng d: y 5 4 x y 1 x 3 . Hãy viết phương trình tổng quát và . Hãy viết phương trình tổng quát và 2 3 2 phương trình tham số của d. phương trình tham số của d. 3.3 Cho phương trình chính tắc của đường thẳng d: 3.4 Cho phương trình chính tắc của đường thẳng d: x 7 y x 2 y 1 . Hãy viết phương trình tổng quát và . Hãy viết phương trình tổng quát và 5 2 3 4 phương trình tham số của d. phương trình tham số của d.
6. Hình 10. Tự luận. Phương trình tham số của đường thẳng GV : Hoàng Phương Thúy Dạng 3: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng Phương pháp giải: • Để viết phương trình tham số của đường thẳng ta cần xác định: + Điểm A(x0 ; y0 ) . + Một vectơ chỉ phương u a;b của . x x0 at Khi đó phương trình tham số của là t ¡ . y y0 bt • Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng ta cần xác định: + Điểm A(x0 ; y0 ) . + Một vectơ chỉ phương u a;b , ab 0 của . x x y y Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng là 0 0 . a b (trường hợp ab 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc). Chú ý: + Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT. + Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại + Nếu có VTCP u a;b thì n b;a là một VTPT của . Câu 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A 1; 3 và có Lưu ý: VTCP u 1;3 . Lời giải tham khảo x 1 t Phương trình tham số d : . y 3 3t 1.1 Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi 1.2 Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua M 2;3 và có 1 VTCP u 1;2 . qua A 2; 2 và nhận vectơ u 1;2 làm vectơ chỉ phương.
7. Hình 10. Tự luận. Phương trình tham số của đường thẳng GV : Hoàng Phương Thúy Câu 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A 1; 3 và có Lưu ý: VTPT n 1;2 . Nếu có VTPT n a;b thì Lời giải tham khảo u b;a là một VTCP của Vì d nhận vectơ n 1;2 làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của d là . u 2;1 . x 1 2t Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là d : . y 3 t 2.1 Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi 2.2. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi 1 3 qua N 0; 1 và có 1 VTPT n 3; qua P ; 4 và có 1 VTPT n 4;0 . 2 2 2.3 Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A 2; 2 và nhận vectơ n 4;2 làm vectơ pháp tuyến. Câu 3. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Lưu ý: đi qua điểm A 3;0 và B 1;3 Lời giải tham khảo  Đường thẳng đi qua hai điểm A và B nên nhận AB 2;3 làm vectơ chỉ phương. x 3 2t Phương trình tham số : . y 3t
8. Hình 10. Tự luận. Phương trình tham số của đường thẳng GV : Hoàng Phương Thúy x 3 y Phương trình chính tắc : . 2 3 3.1 Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi 3.2 Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A 1; 4 và B 3;6 . 2 qua C 0;5 và D ;4 . 3 3.3 Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi 3.4 Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua E 2; 1 và F 1; 1 qua A 3;0 và B 1;0 Câu 4. Cho điểm A 1; 3 và B 2;3 . Viết phương trình tham số của Lưu ý: đường thẳng đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB . Có thể nhân chia VTCP k lần để được 1 VTCP khác có tọa Lời giải tham khảo  độ “đẹp” hơn, tiện cho việc Ta có AB 3;6 mà song song với đường thẳng AB nên nhận tính toán sau này. u 1;2 làm VTCP x t Vậy phương trình tham số của đường thẳng là : . y 2t 4.1 Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua C 1;1 và song song với đường thẳng AB với A 2; 2 và B 0;1 .
9. Hình 10. Tự luận. Phương trình tham số của đường thẳng GV : Hoàng Phương Thúy Câu 5. Cho điểm A 1; 3 và B 2;3 . Viết phương trình tham số của Lưu ý: đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng AB . Nhắc lại công thức tọa độ trung điểm. Lời giải tham khảo  Vì là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên nhận AB 3;6 làm VTPT và đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB . 1 Ta có I ;0 và nhận u 2;1 làm VTCP nên phương trình tham số 2 1 x 2t của đường thẳng là : 2 . y t 5.1 Cho điểm A 2; 2 và B 0;1 . Viết phương trình tham số của đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng AB . Câu 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng biết đi qua N 3;4 Lưu ý: x 1 3t Nếu hai đường thẳng song và song song với đường thẳng d ': . song với nhau thì chúng có y 4 5t cùng VTCP và VTPT. Lời giải tham khảo Pd ' nên VTCP của d ' cũng là VTCP của nên đường thẳng nhận x 3 3t u 3;5 làm VTCP. Vậy phương trình tham số là . y 4 5t 6.1 Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi 6.2 Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết x 1 2t d đi qua A 3;2 và song song : x 2y 4 0 qua A 3;2 và song song : . y 1 t
10. Hình 10. Tự luận. Phương trình tham số của đường thẳng GV : Hoàng Phương Thúy 6.3 Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng x 1 3t ': . y 2t Câu 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng biết đi qua N 3;4 Lưu ý: x 1 3t Hai đường thẳng vuông góc và vuông góc với đường thẳng d ': . với nhau thì VTCP của đường y 4 5t thẳng này là VTPT của đường Lời giải tham khảo thẳng kia và ngược lại.  Do  d ' nên đường thẳng nhận ud ' 3;5 làm VTPT, suy ra  u 5; 3 là VTCP của . x 3 5t Vậy phương trình tham số là y 4 3t 7.1 Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết 7.2 Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết x 2t d đi qua A 3;2 và vuông góc :3x y 5 0 . d đi qua A 3;2 và vuông góc : . y 3 t 7.3 Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua M 1;2 và vuông góc với đường thẳng d : x 3y 1 0 .