Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 2 - Bài: Tích vô hướng của hai vectơ (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 2 - Bài: Tích vô hướng của hai vectơ (Kèm đáp án)

1. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG Bài 1. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ DẠNG 1: Xác định biểu thức tích vơ hướng, gĩc giữa hai vectơ. Phương pháp giải. • Dựa vào định nghĩa a.b a . b cos a;b • Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vơ hướng của hai vectơ Câu 1. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a . Tính các tích vơ hướng:   A a. AB.BC   b. AB.AC   c) AC.CB    d) AB. 2.AB 3AC B C   a. AB.BC Lời giải   b) AB.AC Lời giải   c) AC.CB Lời giải    d) AB. 2.AB 3AC Lời giải Trang -1-
2. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG Câu 2. Cho tam giác ABC cĩ AB 5, BC 7 , AC 8 .   a) Tính AB.AC , rồi suy ra giá trị của gĩc A .   b) Tính AC.BC .   c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD 3 . Tính CD.CB .   a) Tính AB.AC , rồi suy ra giá trị của gĩc A . Lời giải   b) Tính AC.BC . Lời giải c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD 3 . Tính Lời giải   CD.CB .   Câu 3. Cho hình vuơng ABCD cạnh bằng 2a 2 . Tính tích vơ hướng AB.AC . Hình vẽ Lời giải Trang -2-
3. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB a 2, AD 2a . Gọi K là trung điểm của cạnh AD     a) Phân tích BK , AC theo AB và AD .   b) Tính tích vơ hướng BK.AC . Hình vẽ     a) Phân tích BK , AC theo AB và AD . Lời giải   b) Tính tích vơ hướng BK.AC . Lời giải Câu 5. Cho hình vuơng ABCD cĩ M là trung điểm của đoạn thẳng AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN 3NC .     a) Phân tích DN, MN theo 2 vec-tơ AB và AD b) Chứng minh rằng DN  MN . Hình vẽ Trang -3-
4. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG     a) Phân tích DN, MN theo 2 vec-tơ AB và AD Lời giải b) Chứng minh rằng DN  MN . Lời giải DẠNG 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vơ hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng. Phương pháp giải. • Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ đẳng thức  2 AB2 AB • Sử dụng các tính chất của tích vơ hướng, các quy tắc phép tốn vectơ • Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vơ hướng. Câu 1. Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng :   MA.MB IM 2 IA2 Lời giải Câu 2. Cho hình chữ nhật ABCD cĩ tâm O và M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng:     a) MA.MC MB.MD     b) MA2 MB.MD 2MA.MO Trang -4-
5. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG     a) MA.MC MB.MD Lời giải     b) MA2 MB.MD 2MA.MO Lời giải   1 Câu 3. Cho tam giác ABC cĩ trực tâm H , M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng MH.MA BC 2 . 4 Lời giải Câu 4. Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G và BC a , CA b , AB c . Chứng minh rằng: 1 GA2 GB2 GC 2 a2 b2 c2 . 3 Lời giải Trang -5-
6. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG DẠNG 3: Chứng minh hai vectơ vuơng gĩc. Tìm điều kiện để hai vectơ vuơng gĩc Phương pháp: a..  b a..b 0 Câu 1: Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC. D là hình chiếu của H lên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM  HD Giải Hình vẽ Lời giải Câu 2: Cho a  b và a 1, b 2 . Chứng minh rằng vectơ 2.a b vuơng gĩc với vectơ a b Giải DẠNG 4: Tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về tích vơ hướng hoặc tích độ dài. Phương pháp giải. Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau: Cho A , B là các điểm cố định. M là điểm di động  • Nếu AM k với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường trịn tâm A , bán kính R k .   • Nếu MA.MB 0 thì tập hợp các điểm M là đường trịn đường kính AB .  • Nếu MA.a 0 với a khác 0 cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuơng gĩc với giá của vectơ a Câu 1. Cho hai điểm A , B cố định cĩ độ dài bằng a , vectơ a khác 0 và số thực k cho trước. Tìm tập hợp Trang -6-
7. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG điểm M sao cho   3a2 a) MA.MB 4   b) MA.MB MA2   3a2 Lời giải a) MA.MB 4   b) MA.MB MA2 Lời giải Câu 2. Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau:     a. MA MB 2MB MC 0     b. MA 2MB MB 2MC 0     c. 2MA2 MA.MB MA.MC     a. MA MB 2MB MC 0 Lời giải     b. MA 2MB MB 2MC 0 Lời giải     c. 2MA2 MA.MB MA.MC Lời giải Trang -7-
8. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG DẠNG 5: Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng. Phương pháp giải. • Cho a (x1; y1 ) , b (x2 ; y2 ) . Khi đĩ + Tích vơ hướng hai vectơ là a.b x1 x2 y1 y2 + Gĩc của hai vectơ được xác định bởi cơng thức a.b x x y y cos(a,b) 1 2 1 2 2 2 2 2 a b x1 y1 x2 y2 Chú ý: a  b a.b 0 x1 x2 y1 y2 0 • Để xác định độ dài một vectơ đoạn thẳng ta sử dụng cơng thức + Nếu a (x; y) thì a x2 y2 2 2 + Nếu A(xA ; yA ) , B(xB ; yB ) thì AB (xB xA ) (yB yA ) Câu 1: Cho a(1;2) ; b 3;1 , c( 1; 2) a. Tính a.b ; a. b c b. Tính a ; a 2b c c. Tính gĩc a,b d. Xác định tọa độ của vectơ u biết (a 2b).u 13 và ( b 2u).a 3 Giải a. Tính a.b ; a. b c Lời giải Trang -8-
9. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG b. Tính a ; a 2b c Lời giải c. Tính gĩc a,b Lời giải d. Xác định tọa độ của vectơ u biết Lời giải (a 2b).u 13 và ( b 2u).a 3 Câu 2. Cho tam giác ABC cĩ A 1;2 , B 2;6 , C 9;8 . a) Chứng minh tam giác ABC vuơng tại A . b) Tính diện tích tam giác ABC. c) Tính gĩc B của tam giác ABC . d. Xác định hình chiếu của A lên cạnh BC Giải a) Chứng minh tam giác ABC vuơng tại A . Lời giải b) Tính diện tích tam giác ABC. Lời giải Trang -9-
10. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VƠ HƯỚNG c) Tính gĩc B của tam giác ABC Lời giải c. Xác định hình chiếu của A lên cạnh BC Lời giải Câu 3. Cho tam giác A(1;5) ; B (4; 5) ; C(4;1). a. Tính chu vi tam giác ABC. b. Tính độ dài các đường trung tuyến AM của tam giác ABC c. Tính cosA d. Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường trịn ngoại tiếp I của tam giác ABC. CMR G,H,I thẳng hàng e. Tìm trên trục Ox điểm P cách đều 2 điểm A,B. g. Tìm N trên Oy sao cho tam giác ABN cân tại N. h. Tìm Q trên Ox sao cho tam giác ABQ vuơng tại A Giải a. Tính chu vi tam giác ABC. Lời giải b. Tính độ dài các đường trung tuyến AM của tam Lời giải giác ABC Trang -10-