Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 2 - Bài: Hệ thức lượng trong tam giác (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 2 - Bài: Hệ thức lượng trong tam giác (Kèm đáp án)

1. BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC a, AC b và AB c . Ta có : a2 b2 c2 2bc.cos A A b2 c2 a2 2ca.cos B c2 a2 b2 2ab.cosC c b Hệ quả: b2 c2 a2 cos A 2bc B a C c2 a2 b2 cos B 2ca a2 b2 c2 cosC 2ab 2. Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC a, AC b , AB c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có : a b c 2R sin A sin B sin C 3. Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với ma , mb , mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta có : 2(b2 c2 ) a2 m2 a 4 2(a2 c2 ) b2 m2 b 4 2(a2 b2 ) c2 m2 c 4 4. Diện tích tam giác Với tam giác ABC ta kí hiệu ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, r a b c lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p là nửa chu vi tam giác; S là diện tích 2 tam giác. Khi đó ta có: 1 1 1 S = ah bh ch 2 a 2 b 2 c 1 1 1 = bcsin A casin B absin C 2 2 2 abc = 4R = pr = p( p a)( p b)( p c) (công thức Hê–rông) B - CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH Dạng toán 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC Gồm có 3 loại cơ bản hs chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức Phương pháp: - Sử dụng trực tiếp định lí cosin và định lí sin. - Chọn hệ thức lượng thích hợp đối với tam giác để tính một số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi cho việc Trang-1-
2. BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC giải toán. Loại 1. Xác định các yếu tố trong tam giác khi biết độ dài 3 cạnh. Câu1: Cho tam giác ABC có a 13,b 8,c 7 . Tính góc A, suy ra S, ha, R, r, ma. Lưu ý Lời giải tham khảo - Biết 3 cạnh áp b2 c2 a2 1 dụng định lí cosin a2 b2 c2 2bc cos A cos A A 1200 trong tam giác sẽ 2bc 2 tính được các góc 1 1 3 S bcsin A 56. 14 3 còn lại 2 2 2 1 2S 28 3 S a.h h 2 a a a 13 abc abc 7.8.13 13 3 S R 4R 4S 4.14 3 3 2S 2.14 3 S p.r r 3 a b c 7 8 13 b2 c2 a2 57 m 2 m a 2 4 a 2 1.1. Giải tam giác ABC biết 1.2. Cho tam giác ABC biết a 14; b 18; c 20 a) a = 2, b = 3, c = 4. Tính góc A, B, C, suy ra S, ha, R, r, ma. Lời giải Lời giải 1.3. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 7, BC = 8. a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác c) Tính đường đường cao kẻ từ đỉnh A. Lời giải Trang-2-
3. BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Loại 2: Tính các yếu tố trong tam giác khi biết độ dài 2 cạnh và góc xen giữa 3 Lưu ý Câu2. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và cosA = . Tính cạnh BC, và độ 5 Biết 2 cạnh và góc dài đường cao kẻ từ A. xen giữa của 1 tam giác để tính  Lời giải tham khảo cạnh còn lại có 2 Áp dụng định lí côsin ta có cách: 3 BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AB.AC.cosA = 42 + 52 - 2.4.5. = 17 Suy ra - Sd định lí cosin. 5 - Sd định lí sin. BC = 17 9 4 Vì sin2 A + cos2 A = 1 nên sin A = 1- cos2 A = 1- = 25 5 1 1 4 Theo công thức tính diện tích ta có S = AB.AC.sin A = .4.5. = 8 (1) ABC 2 2 5 1 1 Mặt khác S = a.h = . 17.h (2) ABC 2 a 2 a 1 16 17 Từ (1) và (2) suy ra . 17.h = 8 Þ h = 2 a a 17 16 17 Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là h = a 17 2.1. Giải tam giác ABC biết a = 12; c = 8,2 và 2.2. Cho tam giác ABC biết: b 7,c 5 và µ 0 3 A = 110 . cos A . Tính sinA, a , suy ra S, ha, R. Lời giải 5 Lời giải Trang-3-
4. BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 2.3. Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = 4 và Aµ= 600 . a) Tính chu vi của tam giác b) Tính tanC Lời giải Loại 3: Tính các yếu tố trong tam giác biết hai góc và độ dài cạnh đối diện với góc còn lại µ µ Lưu ý Câu 3. Giải tam giác ABC biết A = 600, B = 400 và c = 14. Trong tam giác khi Lời giải tham khảo biết hai góc và độ dài cạnh đối diện với µ 0 µ µ 0 0 0 0 góc còn lại: áp dụng Ta có C = 180 - A - B = 180 - 60 - 40 = 80 định lí Sin trong tam Theo định lí sin ta có giác để tính các cạnh c sin A 14.sin 600 a = = Þ a » 12,3 còn lại. sinC sin 800 c sin B 14.sin 400 b = = Þ b » 9,1 sinC sin 800 3.1. Giải tam giác ABC , biết: 3.2. Cho tam giác ABC cân tại A biết 0 b = 4,5; Aµ = 300; Cµ= 750 a 3; µB µC 30 Tính R, r, cạnh c, b, suy ra S Lời giải Lời giải Trang-4-
5. BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 3.3. Cho tam giác µABC nộiµ tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết A = 300, B = 450 . Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Lời giải Loại 4: Ứng dụng vào việc đo đạc trong thực tế. Câu 4. Để lập đường dây cao thế từ Lưu ý vị trí A đến ví trí B, ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 500m, rồi nối từ vị trí C thẳng đến vị trí B dài 300m. Góc bằng 700 . B Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B người ta tốn thêm bao nhiêu m dây? A 300m 500m C Lời giải tham khảo Ta có: AB = BC 2 + AC 2 - 2BC.AC.cosC » 487,23(m) Vậy cần thêm 500 + 300 – 487,23 = 312.77 (m) dây. 4.1. Hai chiếc tàu thuỷ 4.2. Giả sử chúng ta cần D cùng xuất phát từ vị trí A đo chiều cao CD của một , đi thẳng theo hai hướng cái tháp với C là chân tháp, tạo với nhau một góc 600 D là đỉnh tháp. Vì không . Tàu thứ nhất chạy với để đến chân tháp được nên từ hai điểm A, B có khoảng tốc độ 30km / h , tàu thứ A B C hai chạy với tốc độ cách 30m sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng người 40km / h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu · 0 · 0 km ? ta đo được các góc CAD 43 , CBD 76 . Hãy Lời giải tính chiều cao CD của tháp. Trang-5-
6. BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải Dạng toán 2. Chứng minh quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác Phương pháp • Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia, hai vế cùng bằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng. • Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản, bất đẳng thức cạnh trong tam giác và bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, bunhiacôpxki, ) Câu 1. Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2 A = sin B.sinC . Chứng minh rằng Lưu ý a) a2 = bc 1 b) cosA ³ 2 Lời giải tham khảo a b c a) Áp dụng định lí sin ta có sin A = , sin B = ,sinC = 2R 2R 2R æ ö2 2 ç a ÷ b c 2 Suy ra sin A = sin B.sinC Û ç ÷ = . Û a = bc đpcm èç2Rø÷ 2R 2R b) Áp dụng định lí côsin và câu a) ta có b2 + c2 - a2 b2 + c2 - bc 2bc - bc 1 cosA = = ³ = đpcm 2bc 2bc 2bc 2 1.1. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c 1.2. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng điều kiện và trung tuyến AM = AB = c chứng minh rằng: cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc a) a2 = 2(b2 - c2) với nhau là b2 + c2 = 5a2 . b) sin2 A = 2(sin2 B - sin2 C) Lời giải Lời giải Trang-6-
7. BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1.3. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta 1.4. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có; có; a) ha = 2R sin B sinC a) a = b.cosC + c.cosB b) sin A = sin B cosC + sinC cosB 2 2 2 3 2 2 2 b) ma + mb + mc = (a + b + c ) Lời giải 4 Lời giải Dạng toán 3: Nhận dạng tam giác Câu 1. Tìm tính chất đặc biệt của tam giác ABC biết: Lưu ý 2a cos A b.cosC c.cos B Cách khác: Áp dụng định lí cosin: Lời giải tham khảo a2 b2 c2 a2 c2 b2 2a cos A a 2a 2a Yêu cầu bài toán tương đương với: 1 cos A A 600 2(2Rsin A)cos A (2Rsin B)cosC 2Rsin C cos B 2 2sin A.cos A sin(B C) sin A 1 cos A (do sin A 0) µA 600 2 1.1. Nhận dạng tam giác ABC nếu ta có 1.2. Nhận dạng tam giác ABC biết: 2 2 2 mb + mc = 5ma Lời giải Trang-7-
8. BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ì ï a = 2bcosC (1) ï 3 3 3 í 2 a - b - c ï a = (2) îï a - b - c Lời giải Câu 2. Nhận dạng tam giác ABC biết Lưu ý a.sin A + bsin B + c sinC = ha + hb + hc Lời giải tham khảo 1 1 Áp dụng công thức diện tích ta có S = bc sin A = ah suy ra 2 2 a a.sin A + bsin B + c sinC = ha + hb + hc Û 2S 2S 2S 2S 2S 2S a. + b. + c. = + + bc ca ab a b c Û a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2 2 2 Û (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0 Û a = b = c Vậy tam giác ABC đều. 2.1. Cho tam giác ABC . Chứng minh tam giác 2.2. Cho tam giác ABC . Chứng minh tam giác ABC ABC cân nếu h = c.sin A 2 a cân nếu 4ma = b(b + 4c.cosA) Lời giải Lời giải Trang-8-