Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 2 - Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 2 - Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ (Kèm đáp án)

1. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNG Bài 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ DẠNG 1: Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ. Phương pháp giải. • Dựa vào định nghĩa a.b a . b cos a;b • Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ Câu 1. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a . Tính các tích vô hướng:   Hình vẽ a) AB.BC Lời giải     b) AB.AC c) AC.CB Lời giải Lời giải Câu 2. Cho tam giác ABC có AB 5, BC 7 , AC 8 .   Hình vẽ a) Tính AB.AC , rồi suy ra giá trị của góc A . Lời giải Trang -1-
2. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNG   b) Tính AC.BC . c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD 3 .   Lời giải Tính CD.CB . Lời giải   Câu 3. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2a 2 . Tính tích vô hướng AB.AC .   Hình vẽ Tính AB.AC , rồi suy ra giá trị của góc A . Lời giải Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB a 2, AD 2a . Gọi K là trung điểm của cạnh AD     Hình vẽ a) Phân tích BK , AC theo AB và AD . Lời giải   b) Tính tích vô hướng BK.AC . Trang -2-
3. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNG Lời giải Câu 5. Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của đoạn thẳng AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN 3NC .     Hình vẽ a) Phân tích DN, MN theo 2 vec-tơ AB và AD Lời giải b) Chứng minh rằng DN  MN . Lời giải Trang -3-
4. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNG DẠNG 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng. Phương pháp giải. • Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ đẳng thức  2 AB2 AB • Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ • Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng. Câu 1. Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng :   MA.MB IM 2 IA2 Chú ý: Lời giải Câu 2. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng:         a) MA.MC MB.MD b) MA2 MB.MD 2MA.MO Lời giải Lời giải Trang -4-
5. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNG   1 Câu 3. Cho tam giác ABC có trực tâm H , M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng MH.MA BC 2 . 4 Lời giải Câu 4. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và BC a , CA b , AB c . Chứng minh rằng: 1 GA2 GB2 GC 2 a2 b2 c2 . 3 Lời giải DẠNG 3: Tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng hoặc tích độ dài. Phương pháp giải. Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau: Cho A , B là các điểm cố định. M là điểm di động  • Nếu AM k với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A , bán kính R k .   • Nếu MA.MB 0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB .  • Nếu MA.a 0 với a khác 0 cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với giá của vectơ a Câu 1. Cho hai điểm A , B cố định có độ dài bằng a , vectơ a khác 0 và số thực k cho trước. Tìm tập hợp Trang -5-
6. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNG điểm M sao cho     3a2 b) MA.MB MA2 a) MA.MB 4 Lời giải Lời giải Câu 2. Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau:         a) MA MB 2MB MC 0 b) MA 2MB MB 2MC 0 Lời giải Lời giải     c) 2MA2 MA.MB MA.MC Lời giải Trang -6-
7. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNG DẠNG 4: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. Phương pháp giải. • Cho a (x1; y1 ) , b (x2 ; y2 ) . Khi đó + Tích vô hướng hai vectơ là a.b x1 x2 y1 y2 + Góc của hai vectơ được xác định bởi công thức a.b x x y y cos(a,b) 1 2 1 2 2 2 2 2 a b x1 y1 x2 y2 Chú ý: a  b a.b 0 x1 x2 y1 y2 0 • Để xác định độ dài một vectơ đoạn thẳng ta sử dụng công thức + Nếu a (x; y) thì a x2 y2 2 2 + Nếu A(xA ; yA ) , B(xB ; yB ) thì AB (xB xA ) (yB yA ) Câu 1. Cho tam giác ABC có A 1;2 , B 2;6 , C 9;8 . a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A . b) Tính góc B của tam giác ABC Lời giải Lời giải Xác định hình chiếu của A lên cạnh BC Lời giải Trang -7-
8. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNG Câu 2. Cho hai vectơ a 0;4 , b 4; 2 a) Tính cosin góc giữa hai vectơ a và b b) Xác định tọa độ của vectơ c biết Lời giải (a 2b).c 1 và ( b 2c).a 6 Lời giải Câu 3. Cho tam giác ABC có A(5;3) , B(2; 1) , C( 1;5) . a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A . Lời giải Lời giải Trang -8-
9. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNG c) Tính diện tích tam giác ABC Lời giải Câu 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho các điểm A 2; 1 , B 2; 4 . Tìm trên trục Oy điểm M sao cho M· BA 45 . Lời giải Câu 5. Cho A(4,3); B(2,7);C( 3, 8) . Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải Trang -9-
10. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG TÍCH VÔ HƯỚNG Trang -10-