Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 1 - Bài: Tổng và hiệu các vectơ - Châu Huỳnh Thuận (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Hình học Lớp 10 - Chương 1 - Bài: Tổng và hiệu các vectơ - Châu Huỳnh Thuận (Kèm đáp án)

1. Tự luận Chõu Huỳnh Thuận: 0945194195 NV 13: TỔNG VÀ HIỆU CÁC VECTƠ A. TểM TẮT Lí THUYẾT 1. Tổng hai vectơ r r uuur r a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a; b . Từ điểm A tựy ý vẽ AB = a rồi từ B uuur r uuur r r vẽ BC = b khi đú vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a; b . uuur r r Kớ hiệu AC = a + b (Hỡnh 1.9) B b) Tớnh chất : r r r r r r a + Giao hoỏn : a + b = b + a r r b r r r r r r a b + Kết hợp : (a + b) + c = a + (b + c) r r C r r r r A a + b + Tớnh chất vectơ – khụng: a + 0 = a, " a Hỡnh 1.9 2. Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối của một vectơ. r r Vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng và cỳng độ dài với vectơ a r Kớ hiệu - a r r r r uuur uuur Như vậy a + (- a) = 0, " a và AB = - BA b) Định nghĩa hiệu hai vectơ: r r r r Hiệu của hai vectơ a và b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b . Kớ r r r r hiệu là a - b = a + (- b) 3. Cỏc quy tắc: uuur uuur uuur Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tựy ý, ta cú : AB + BC = AC Quy tắc hỡnh bỡnh hành : Nếu ABCD là hỡnh bỡnh hành thỡ uuur uuur uuur AB + AD = AC uuur uuur uuur Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tựy ý ta cú : OB - OA = AB Chỳ ý: Ta cú thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1,A2,...,An thỡ uuuur uuuur uuuuuur uuuur A1A2 + A2A3 + ... + An- 1An = A1An B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG 2-3: Chứng minh đẳng thức vectơ. 1. Phương phỏp giải. • Để chứng minh đẳng thức vectơ ta cú cỏc cỏch biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cựng bằng một đại 13- phộp cụng trừ cỏc cec tơ 1
2. Tự luận Chõu Huỳnh Thuận: 0945194195 lương trung gian. Trong quỏ trỡnh biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tớnh vectơ. Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đớch , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trỏi cú đại lượng nào để từ đú liờn tưởng đến kiến thức đó cú để làm sao xuất hiện cỏc đại lượng ở vế trỏi. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn. 2. Cỏc vớ dụ. Vớ dụ 1: Cho năm điểm A,B,C,D,E . Chứng minh rằng uuur uuur uuur uuur uuur a) AB + CD + EA = CB + ED uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) AC + CD - EC = AE - DB + CB Lời giải tham khảo a) Biến đổi vế trỏi ta cú uuur uuur uuur uuur uuur VT = AC + CB + CD + ED + DA (uuur uuur ) uuur (uuur uuur) = CB + ED + AC + CD + DA (uuur uuur ) (uuur uuur ) = (CB + ED ) + AD + DA uuur uuur = CB + ED = VP ĐPCM b) Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuur uuur uuur uuur r AC - AE + CD - CB - EC + DB = 0 ( uuur uu)ur (uuur uuur) r Û EC + BD - EC + DB = 0 uuur uuur r BD + DB = 0 (đỳng) ĐPCM. 3. Bài tập luyện tập : Bài 1.1: Cho bốn điểmA,B,C,D . Chứng minh rằng     a) DA CA DB CB       b) AC DA BD AD CD BA Lời giải tham khảo Bài 1.2: Cho cỏc điểm A, B, C , D, E, F . Chứng minh rằng uuur uuur uuur uuur uuur uuur AD + BE + CF = AE + BF + CD Lời giải tham khảo 2 13- phộp cụng trừ cỏc cec tơ
3. Tự luận Chõu Huỳnh Thuận: 0945194195 DẠNG 4: Chứng minh đẳng thức vectơ ( q.t hỡnh bỡnh hành). 1. Phương phỏp giải. • Để chứng minh đẳng thức vectơ ta cú cỏc cỏch biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cựng bằng một đại lương trung gian. Trong quỏ trỡnh biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tớnh vectơ. Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đớch , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trỏi cú đại lượng nào để từ đú liờn tưởng đến kiến thức đó cú để làm sao xuất hiện cỏc đại lượng ở vế trỏi. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn. 2. Vớ dụ 1: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD tõm O . M là một điểm bất kỡ trong mặt phẳng. Chứng minh rằng uuur uuur uuur r a) BA + DA + AC = 0 uuur uuur uuur uuur r b) OA + OB + OC + OD = 0 A B uuur uuur uuur uuur c) MA + MC = MB + MD . Lời giải tham khảo O D C Hỡnh 1.12 13- phộp cụng trừ cỏc cec tơ 3
4. Tự luận Chõu Huỳnh Thuận: 0945194195 Vớ dụ 2: Cho tam giỏc ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Chứng minh rằng uuur uuur uuur r a) BM + CN + AP = 0 uuur uuur uuur uuur r b) AP + AN - AC + BM = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur c) OA + OB + OC = OM + ON + OP với O là điểm bất kỡ. Lời giải tham khảo 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.3: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD tõm O . M là một điểm bất kỡ trong mặt phẳng.  Chứng minh rằng a) AB OD OC AC     b) BA BC OB OD      c) BA BC OB MO MB Lời giải tham khảo A B O D C Hỡnh 1.47 4 13- phộp cụng trừ cỏc cec tơ
5. Tự luận Chõu Huỳnh Thuận: 0945194195 Bài 1.4: Cho tam giỏc ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Chứng minh rằng uuur uuur uuur r a) NA + PB + MC = 0 uuur uuur uuur uuur b) MC + BP + NC = BC Lời giải tham khảo Bài 1.5: Cho hai hỡnh bỡnh hành ABCD và AB 'C 'D ' cú chung đỉnh A. uuuur uuuur uuuur r Chứng minh rằng B 'B + CC ' + D 'D = 0 Lời giải tham khảo 13- phộp cụng trừ cỏc cec tơ 5
6. Tự luận Chõu Huỳnh Thuận: 0945194195 Bài 1.6: Cho ngũ giỏc đều ABCDE tõm O. Chứng minh rằng uuur uuur uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OE + OF = 0 Lời giải tham khảo Bài 1.7: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Dựng uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur AM = BA, MN = DA, NP = DC, PQ = BC . uuur r Chứng minh rằng: AQ = 0. Lời giải tham khảo DẠNG 5-6 : Xỏc định độ dài tổng, hiệu của cỏc vectơ. 1. Phương phỏp giải. Để xỏc định độ dài tổng hiệu của cỏc vectơ • Trước tiờn sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và cỏc tớnh chất, quy tắc để xỏc định định phộp toỏn vectơ đú. • Dựa vào tớnh chất của hỡnh, sử dụng định lớ Pitago, hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng để xỏc định độ dài vectơ đú. 2. Cỏc vớ dụ. ã Lưu ý Cõu 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú ABC = 300 và BC = a 5 . B Tớnh độ dài của cỏc vectơ D uuur uuur a/AB + BC , uuur uuur b/AC - BC , 6 13- phộp cụng trừ cỏc cec tơ A C Hỡnh 1.10
7. Tự luận Chõu Huỳnh Thuận: 0945194195 uuur uuur c/AB + AC . •Lời giải tham khảo Theo quy tắc ba điểm ta cú uuur uuur uuur a/ AB + BC = AC ã AC Mà sin ABC = BC ã a 5 ị AC = BC.sin ABC = a 5.sin 300 = 2 uuur uuur uuur a 5 Do đú AB + BC = AC = AC = 2 uuur uuur uuur uuur uuur b/ AC - BC = AC + CB = AB Ta cú 5a2 a 15 AC 2 + AB 2 = BC 2 ị AB = BC 2 - AC 2 = 5a2 - = 4 2 uuur uuur uuur a 15 Vỡ vậy AC - BC = AB = AB = 2 c/ Gọi D là điểm sao cho tứ giỏc ABDC là hỡnh bỡnh hành. uuur uuur uuur Khi đú theo quy tắc hỡnh bỡnh hành ta cú AB + AC = AD Vỡ tam giỏc ABC vuụng ở A nờn tứ giỏc ABDC là hỡnh chữ nhật suy ra AD = BC = a 5 uuur uuur uuur Vậy AB + AC = AD = AD = a 5 Bài 1.8: Cho tam giỏc ABC đều cạnh a . Tớnh độ     dài của cỏc vectơ sau AB AC, AB AC . Lời giải tham khảo C A' O A B Hỡnh 1.45 Bài 1.9: Cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ. uuur uuur uuur uuur uuur a) Tớnh AB + OD , AB - OC + OD 13- phộp cụng trừ cỏc cec tơ 7
8. Tự luận Chõu Huỳnh Thuận: 0945194195     b) Tớnh độ dài vectơ MA MB MC MD B' A B O D C Hỡnh 1.46 Vớ dụ 2: Cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ. uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) Tớnh AB + AD , OA - CB , CD - DA r uuur uuur uuur uuur b) Chứng minh rằng u = MA + MB - MC - MD khụng phụ thuộc vị trớ r điểm M . Tớnh độ dài vectơ u Lời giải tham khảo (hỡnh 1.11) a) + Theo quy tắc hỡnh bỡnh hành ta cú uuur uuur uuur AB + AD = AC uuur uuur uuur C' Suy ra AB + AD = AC = AC . Áp dụng định lớ Pitago ta cú AC 2 = AB 2 + BC 2 = 2a2 ị AC = 2a uuur uuur Vậy AB + AD = a 2 A B uuur uuur + Vỡ O là tõm của hỡnh vuụng nờn OA = CO suy ra uuur uuur uuur uuur uuur OA - CB = CO - CB = BC O 8 13- phộp cụng trừ cỏc cec tơ D C Hỡnh 1.11
9. Tự luận Chõu Huỳnh Thuận: 0945194195 uuur uuur uuuur Vậy OA - CB = BC = a uuur uuur + Do ABCD là hỡnh vuụng nờn CD = BA suy ra uuur uuur uuur uuur uuur CD - DA = BA + AD = BD uuur uuur uuur Mà BD = BD = AB 2 + AD 2 = a 2 suy ra CD - DA = a 2 b) Theo quy tắc phộp trừ ta cú r uuur uuur uuur uuur uur uuur u = (MA - MC ) + (MB - MD ) = CA + DB r Suy ra u khụng phụ thuộc vị trớ điểm M . Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC tại C ' . Khi đú tứ giỏc ADBC ' là hỡnh bỡnh hành (vỡ cú cặp cạnh đối song song) uuur uuuur suy ra DB = AC ' r uur uuuur uuuur Do đú u = CA + AC ' = CC ' r uuuur Vỡ vậy u = CC ' = BC + BC ' = a + a = 2a 3. Bài tập luyện tập. ã Bài 1.10: Cho hỡnh thoi ABCD cạnh a và BCD = 600 . Gọi O là tõm hỡnh thoi. uuur uuur uuur uuur Tớnh AB + AD , OB - DC . Lời giải tham khảo Bài 1.11: Cho bốn điểm A, B, C, O phõn biệt cú độ dài ba vectơ uuur uuur uuur uuur uuur uuur r OA, OB, OC cựng bằng a và OA + OB + OC = 0 a) Tớnh cỏc gúc AOB, BOC, COA uuur uuur uuur b) Tớnh OB + AC - OA Lời giải tham khảo 13- phộp cụng trừ cỏc cec tơ 9
10. Tự luận Chõu Huỳnh Thuận: 0945194195 Bài 1.12: Cho gúc Oxy . Trờn Ox, Oy lấy hai điểm A, B . Tỡm điều kiện của uuur uuur A,B sao cho OA + OB nằm trờn phõn giỏc của gúc Oxy . Lời giải tham khảo Dạng 7: tỡm tập hợp điểm thoả điều kiện cho trước 1/ Phương pháp Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trước về dạng:  OM = v , trong đó điểm O cố định và vectơ v đã biết. 2/ Vớ dụ: Vớ dụ 1: Cho ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O.    a. Chứng minh rằng OA OB OC 0 . b. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:          OM = OA OB ; ON = OB OC ; OP = OC OA . Lời giải tham khảo a. Vì ABC đều nên O chính là trọng tâm ABC, do đó ta có ngay:    A OA OB OC 0 . M b. Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB. C1 ▪ Dựng hình bình hành AOBM bằng việc lấy O điểm M đối xứng với O qua C , ta có được    1 B C OM = OA OB . ▪ Các điểm N, P được xác định tương tự. 10 13- phộp cụng trừ cỏc cec tơ