Bài tập tự luận môn Hình học Khối 10 - Chương 1 - Bài: Tổng và hiệu các vectơ - Châu Huỳnh Thuận (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Hình học Khối 10 - Chương 1 - Bài: Tổng và hiệu các vectơ - Châu Huỳnh Thuận (Kèm đáp án)

1. Tự luận-in HS Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 NV 13: TỔNG VÀ HIỆU CÁC VECTƠ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tổng hai vectơ r r uuur r a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a; b . Từ điểm A tùy ý vẽ AB = a rồi từ B uuur r uuur r r vẽ BC = b khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a; b . uuur r r Kí hiệu AC = a + b (Hình 1.9) B b) Tính chất : r r r r r r a + Giao hoán : a + b = b + a r r b r r r r r r a b + Kết hợp : (a + b) + c = a + (b + c) r r C r r r r A a + b + Tính chất vectơ – không: a + 0 = a, " a Hình 1.9 2. Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối của một vectơ. r r Vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng và cúng độ dài với vectơ a r Kí hiệu - a r r r r uuur uuur Như vậy a + (- a) = 0, " a và AB = - BA b) Định nghĩa hiệu hai vectơ: r r r r Hiệu của hai vectơ a và b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b . Kí r r r r hiệu là a - b = a + (- b) 3. Các quy tắc: uuur uuur uuur Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì uuur uuur uuur AB + AD = AC uuur uuur uuur Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB - OA = AB Chú ý: Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1,A2,...,An thì uuuur uuuur uuuuuur uuuur A1A2 + A2A3 + ... + An- 1An = A1An B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ. 1. Phương pháp giải. Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ • Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó. 13- phép công trừ các cec tơ 1
2. Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 • Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó. 2. Các ví dụ. · Lưu ý Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC = 300 và BC = a 5 . B Tính độ dài của các vectơ D uuur uuur a/AB + BC , uuur uuur b/AC - BC , uuur uuur c/AB + AC . •Lời giải tham khảo Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur A C a/ AB + BC = AC Hình 1.10 · AC Mà sin ABC = BC · a 5 Þ AC = BC.sin ABC = a 5.sin 300 = 2 uuur uuur uuur a 5 Do đó AB + BC = AC = AC = 2 uuur uuur uuur uuur uuur b/ AC - BC = AC + CB = AB Ta có 5a2 a 15 AC 2 + AB 2 = BC 2 Þ AB = BC 2 - AC 2 = 5a2 - = 4 2 uuur uuur uuur a 15 Vì vậy AC - BC = AB = AB = 2 c/ Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành. uuur uuur uuur Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AC = AD Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra AD = BC = a 5 uuur uuur uuur Vậy AB + AC = AD = AD = a 5 Bài 1.14: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính     độ dài của các vectơ sau AB AC, AB AC . •Lời giải tham khảo 2 13- phép công trừ các cec tơ
3. Tự luận-in HS Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 : (Hình 1.45) C A' O A B Hình 1.45 Bài 1.15: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ. uuur uuur uuur uuur uuur a) Tính AB + OD , AB - OC + OD     b) Tính độ dài vectơ MA MB MC MD Lời giải tham khảo B' A B O D C Hình 1.46 Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ. uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) Tính AB + AD , OA - CB , CD - DA r uuur uuur uuur uuur C' b) Chứng minh rằng u = MA + MB - MC - MD r không phụ thuộc vị trí điểm M . Tính độ dài vectơ u Lời giải (hình 1.11) a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có uuur uuur uuur A B AB + AD = AC uuur uuur uuur Suy ra AB + AD = AC = AC . Áp dụng định lí Pitago ta có O AC 2 = AB 2 + BC 2 = 2a2 Þ AC = 2a 13- phép công trừ các cec tơ D C3 Hình 1.11
4. Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 uuur uuur Vậy AB + AD = a 2 uuur uuur + Vì O là tâm của hình vuông nên OA = CO suy ra uuur uuur uuur uuur uuur OA - CB = CO - CB = BC uuur uuur uuuur Vậy OA - CB = BC = a uuur uuur + Do ABCD là hình vuông nên CD = BA suy ra uuur uuur uuur uuur uuur CD - DA = BA + AD = BD uuur uuur uuur Mà BD = BD = AB 2 + AD 2 = a 2 suy ra CD - DA = a 2 b) Theo quy tắc phép trừ ta có r uuur uuur uuur uuur uur uuur u = (MA - MC ) + (MB - MD ) = CA + DB r Suy ra u không phụ thuộc vị trí điểm M . Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC tại C ' . Khi đó tứ giác ADBC ' là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) uuur uuuur suy ra DB = AC ' r uur uuuur uuuur Do đó u = CA + AC ' = CC ' r uuuur Vì vậy u = CC ' = BC + BC ' = a + a = 2a 3. Bài tập luyện tập. · Bài 1.16: Cho hình thoi ABCD cạnh a và BCD = 600 . Gọi O là tâm hình thoi. uuur uuur uuur uuur Tính AB + AD , OB - DC . Lời giải tham khảo Bài 1.17: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ uuur uuur uuur uuur uuur uuur r OA, OB, OC cùng bằng a và OA + OB + OC = 0 4 13- phép công trừ các cec tơ
5. Tự luận-in HS Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 a) Tính các góc AOB, BOC, COA uuur uuur uuur b) Tính OB + AC - OA Lời giải tham khảo Bài 1.18: Cho góc Oxy . Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B . Tìm điều kiện của uuur uuur A,B sao cho OA + OB nằm trên phân giác của góc Oxy . Lời giải tham khảo DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ. 1. Phương pháp giải. • Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ. Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho năm điểm A,B,C,D,E . Chứng minh rằng uuur uuur uuur uuur uuur a) AB + CD + EA = CB + ED uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) AC + CD - EC = AE - DB + CB Lời giải tham khảo a) Biến đổi vế trái ta có 13- phép công trừ các cec tơ 5
6. Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 uuur uuur uuur uuur uuur VT = AC + CB + CD + ED + DA (uuur uuur ) uuur (uuur uuur) = CB + ED + AC + CD + DA (uuur uuur ) (uuur uuur ) = (CB + ED ) + AD + DA uuur uuur = CB + ED = VP ĐPCM b) Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuur uuur uuur uuur r AC - AE + CD - CB - EC + DB = 0 ( uuur uu)ur (uuur uuur) r Û EC + BD - EC + DB = 0 uuur uuur r BD + DB = 0 (đúng) ĐPCM. Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng uuur uuur uuur r a) BA + DA + AC = 0 uuur uuur uuur uuur r b) OA + OB + OC + OD = 0 A B uuur uuur uuur uuur c) MA + MC = MB + MD . Lời giải tham khảo O (Hình 1.12) a) Ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur D C BA + DA + AC = - AB - AD + AC uuur uuur uuur Hình 1.12 = - (AB + AD ) + AC uuur uuur uuur Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC suy ra uuur uuur uuur uuur uuur r BA + DA + AC = - AC + AC = 0 b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur r OA = CO Þ OA + OC = OA + AO = 0 uuur uuur r uuur uuur uuur uuur r Tương tự: OB + OD = 0 Þ OA + OB + OC + OD = 0 . c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên uuur uuur uuur uuur uuur uuur r AB = DC Þ BA + DC = BA + AB = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur Þ MA + MC = MB + BA + MD + DC uuur uuur uuur uuur uuur uuur = MB + MD + BA + DC = MB + MD Cách 2: Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA - MB = MD - MC Û BA = CD (đúng do ABCD là hình bình hành) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Chứng minh rằng uuur uuur uuur r a) BM + CN + AP = 0 6 13- phép công trừ các cec tơ
7. Tự luận-in HS Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 uuur uuur uuur uuur r b) AP + AN - AC + BM = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur c) OA + OB + OC = OM + ON + OP với O là điểm bất kì. Lời giải tham khảo (Hình 1.13) a) Vì PN, MN là đường trung bình của tam giác ABC nên PN / /BM , MN / /BP suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành   BM PN   N là trung điểm của AC CN NA A Do đó theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur BM + CN + AP = PN + NA + AP N uuur uuur r ( ) P = PA + AP = 0 b) Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo uuur uuur uuuur C quy tắc hình bình hành ta có AP + AN = AM , B M kết hợp với quy tắc trừ uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uHìnhuur 1.13 Þ AP + AN - AC + BM = AM - AC + BM = CM + BM uuur uuur r Mà CM + BM = 0 do M là trung điểm của BC . uuur uuur uuur uuur r Vậy AP + AN - AC + BM = 0 . c) Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA + OB + OC = OP + PA + OM + MB + ON + NC uuur uuur uuu(r uuur )uuur( uuur ) ( ) = OM + ON + OP + PA + MB + NC (uuur uuur uuur ) uuur uuur uuur = (OM + ON + OP )- (BM + CN + AP ) uuur uuur uuur r Theo câu a) ta có BM + CN + AP = 0 suy ra uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA + OB + OC = OM + ON + OP . 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.19: Cho bốn điểmA,B,C,D . Chứng minh rằng     a) DA CA DB CB       b) AC DA BD AD CD BA Lời giải tham khảo Bài 1.20: Cho các điểm A, B, C , D, E, F . Chứng minh rằng uuur uuur uuur uuur uuur uuur AD + BE + CF = AE + BF + CD 13- phép công trừ các cec tơ 7
8. Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 Lời giải tham khảo Bài 1.21: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng.  Chứng minh rằng a) AB OD OC AC     b) BA BC OB OD      c) BA BC OB MO MB Lời giải tham khảo (Hinh 1.47) A B O D C Hình 1.47 Bài 1.22: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Chứng minh rằng uuur uuur uuur r a) NA + PB + MC = 0 uuur uuur uuur uuur b) MC + BP + NC = BC Lời giải tham khảo Bài 1.23: Cho hai hình bình hành ABCD và AB 'C 'D ' có chung đỉnh A. uuuur uuuur uuuur r Chứng minh rằng B 'B + CC ' + D 'D = 0 Lời giải tham khảo 8 13- phép công trừ các cec tơ
9. Tự luận-in HS Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 Bài 1.24: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng uuur uuur uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OE + OF = 0 Lời giải tham khảo Bài 1.25: Cho hình bình hành ABCD . Dựng uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur AM = BA, MN = DA, NP = DC, PQ = BC . uuur r Chứng minh rằng: AQ = 0. Lời giải tham khảo 13- phép công trừ các cec tơ 9