Bài tập tự luận môn Hình học 10 - Chương 1 - Bài 4: Hệ trục tọa độ - Bùi Thị Thúy (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Hình học 10 - Chương 1 - Bài 4: Hệ trục tọa độ - Bùi Thị Thúy (Kèm đáp án)

1. BÀI GIẢNG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Bài 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I – LÝ THUYẾT 1. Trục và độ dài đại số trên trục a)Định nghĩa • Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e. • Điểm O gọi là gốc tọa độ. • Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục. • Ta kí hiệu trục đó là O; e . r O e M  b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục O; e . Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM k e. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.  c) Cho hai điểm A và B trên trục O; e . Khi đó có duy nhất số a sao cho AB a e. Ta gọi số a là độ dài đại  số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a AB. Nhận xét.   • Nếu AB cùng hướng với e thì AB AB, còn nếu AB ngược hướng với e thì AB AB. • Nếu hai điểm A và B trên trục O; e có tọa độ lần lượt là a và b thì AB b a. 2. Hệ trục tọa độ a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ O; i , j gồm hai trục O; i và O; j vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục O; i được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục O; j được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và i j 1. Hệ trục tọa độ O; i , j còn được kí hiệu là Oxy. y r 1 j x r O i O 1 Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy. b) Tọa độ của vectơ  Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA u và gọi A , A lần lượt là hình chiếu của    1 2 vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có OA OA1 OA2 và cặp số duy nhất x; y để   OA1 x i , OA2 y j. Như vậy u x i y j. Cặp số x; y duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết u x; y hoặc u x; y . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ u. Trang -1-
2. BÀI GIẢNG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Như vậy u x; y u x i y j r u Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau A A khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau. 2 r r u   x x j Nếu và thì r u x; y u x ; y u u . O A y y i 1 Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó. c) Tọa độ của một điểm  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.  Như vậy, cặp số x; y là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM x; y . Khi đó ta viết M x; y hoặc M x; y . Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M. Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là xM , tung độ của điểm M còn được kí hiệu là yM .  M x; y OM x i y j M (x; y) M 2 r j r O i M1 Chú ý rằng, nếu MM1  Ox, MM2  Oy thì x OM1 , y OM2 . d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng Cho hai điểm A xA ; yA và B xB ; yB . Ta có  AB xB xA ; yB yA . 3. Tọa độ của các vectơ u v, u v, k u Ta có các công thức sau: Cho u u1 ;u2 , v v1 ; v2 Khi đó: • u v u1 u2 ; v1 v2 ; • u v u1 u2 ; v1 v2 ; • k u k u1 ; k u2 , k ¡ . Nhận xét. Hai vectơ u u1 ;u2 , v v1 ; v2 với v 0 cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u1 k v1 và u2 k v2 . Trang -2-
3. BÀI GIẢNG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác a) Cho đoạn thẳng AB có A xA ; yA , B xB ; yB . Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I xI ; yI của đoạn thẳng AB là x x y y x A B , y A B . I 2 I 2 b) Cho tam giác ABC có A xA ; yA , B xB ; yB , C xC ; yC . Khi đó tọa độ của trọng tâm G xG ; yG của tam giác ABC được tính theo công thức x x x y y y x A B C , y A B C . G 3 G 3 II – DẠNG TOÁN Dạng toán 1. Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan trên trục (O ; i ) Phương pháp áp dụng Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:  • Điểm M có tọa độ  a OM a.i  • Vectơ AB có độ dài đại số là m AB AB mi • Nếu a, b lần lượt là tọa độ của A, B thì AB b a • Các tính chất + AB BA   + AB CD AB CD  + A; B;C (O; i ) : AB BC AC Câu 1. Trên trục tọa độ (O ; i ) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là Lưu ý –2 ; 1 và 4.    a) Tính tọa độ các vectơ AB ; BC ; CA b) Chứng minh B là trung điểm của AC. Lời giải tham khảo a) Ta có AB 1 2 3 , BC 3, CA 6   b) Ta có BA 3 BC BA BC suy ra B là trung điểm AC 1.1 Trên trục tọa độ (O ; i ) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần 1.2 Trên trục tọa độ O;i cho 2 điểm lượt là A,B có tọa độ lần lượt 3 và 5 . Tọa 3; 1 và -4. độ trung điểm I của AB là : Tính AB,BC,CA, AB CB,BA BC, AB.BA Lời giải Lời giải Trang -3-
4. BÀI GIẢNG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1.3 .Trên trục O;i cho hai điểm M và N có tọa độ lần lượt là - PM 1 5; 3. tìm tọa độ điểm P trên trục sao cho PN 2 Lời giải Lưu ý Câu 2. Trên trục tọa độ (O; i ) cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh AB.CD AC.DB AD.BC 0 Lời giải tham khảo Cách 1: Giả sử tọa độ các điểm A, B, C, D lần lượt là a, b, c, d. Ta có AB.CD b a d c bd ac bc ad AC.DB c a b d bc ad cd ab AD.BC d a c b cd ab ac bd Cộng vế với vế lại ta được AB.CD AC.DB AD.BC 0 Cách 2: AB.CD AC.DB AD.BC AB. AD AC AC. AB AD AD. AC AB AB.AD AB.AC .AC.AB AC.AD AD.AC AD.AB 0 2.1 Trên trục tọa độ (O ; i ) cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ 1 1 11 lần lượt là 2, 4, 1, 6 . Chứng minh rằng . AC AD 3AB Lời giải Trang -4-
5. BÀI GIẢNG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Lưu ý Câu 3.Trên trục O;i cho 3 điểm A,B,C có tọa độ lần lượt là a;b;c .Tìm điểm     I sao cho IA IB IC 0 Lời giải tham khảo Gọi điểm I có tọa độ là x . IA a x IA (a x)i;  IB b x IB (b x)i;  IC c x IC (c x)i;     IA IB IC 0 (a b c 3x)i 0 a b c a b c 3x 0 x . 3 3.1 Trên trục O;i , cho ba điểm A,B,C lần lượt có tọa độ là 3.2 Trên trục O;i , cho ba điểm A,B 5; 2; 4 . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn lần lượt có tọa độ là 2; 6 . Tìm tọa độ      2MA 4MB 3MC 0 . điểm I sao cho IA 3IB . Lời giải Lời giải Dạng toán 2. Xác định tọa độ điểm tọa độ vecto Phương pháp áp dụng • Để tìm tọa độ của vectơ ta làm như sau  a Dựng vectơ OM a . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox, Oy . Khi đó a a1 ; a2 với a1 OH, a2 OK Trang -5-
6. BÀI GIẢNG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ  • Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ OA  • Nếu biết tọa độ hai điểm A(x ; y ), B(x ; y ) suy ra tọa độ AB được xác định theo công  A A B B thức AB xB xA ; yB yA Chú ý: OH OH nếu H nằm trên tia Ox (hoặc Oy ) và OH OH nếu H nằm trên tia đối tia Ox (hoặc Oy ) Với hai vecto a x1 ; y1 và b x2 ; y2 , ta có: a x1 i y1 j x x a b 1 2 y1 y2 a  b x1  x2 ; y1  y2 Câu 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho điểm M x; y . Lưu ý Tìm tọa độ của các điểm a) M1 đối xứng với M qua trục hoành b) M2 đối xứng với M qua trục tung c) M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ Lời giải tham khảo(hình 1.32) a) M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 x; y b) M2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M2 x; y c) M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M3 x; y 1.1 Trong hệ trục tọa độ (O; i ; j ), cho hình vuông ABCD tâm I và có  A(1; 3) . Biết điểm B thuộc trục (O; i ) và BC cùng hướng với i . Tìm tọa    độ các vectơ AB, BC và AC y A D Lời giải O O B C x Hình 1.33 Trang -6-
7. BÀI GIẢNG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Câu 2. Viết tọa độ của các vectơ sau: a 2i 3j;b 2j . Lưu ý Lời giải tham khảo Theo định nghĩa u xi yj u x; y a 2i 3j a 2; 3 b 2j b 0; 2 2.2Cho 2.1 Viết dưới dạng u xi yj khi biết toạ độ của vectơ u là: u (2; 3); u (2;0). a (3; 2), b (7; 4) . Tìm toạ độ của các vectơ sau: Lời giải x a b; y 3a 4b . Lời giải 2.3 Cho a (2;1), b (3; 4), c (7; 2) . Tìm toạ độ của vectơ u sao cho: 2.4 Cho 3 điểm . u 2a 3b c A 2; 3 ,B 4; 5 ,C 0; 1 . Lời giải Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Lời giải Câu 3. Các điểm M 2; 3 , N 0; 4 , P 1;6 lần lượt là trung điểm các cạnh Lưu ý BC , CA , AB của tam giác ABC . Tọa độ đỉnh A của tam giác là: Lời giải tham khảo Trang -7-
8. BÀI GIẢNG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A P N B M C Ta có: APMN là hình bình hành nên   x x x x x x x x AP NM P A M N A M P N yP yA yM yN yA yM yP yN x 2 0 ( 1) x 3 A A . yA 3 ( 4) 6 yA 1 3.1 Cho 3 điểm A(-1; 3), B(2; 4), C(0; -1) là 3 đỉnh của tam giác 3.2 Trong mặt phẳng tọa độ a)Cho điểm G(3; -2). Tìm tọa độ điểm M để G là trọng tâm của ∆ ABM Oxy , cho tam giác MNP b) Tìm tọa độ điểm E sao cho CB 5AE có M 1; 1 ,N 5; 3 và Lời giải P thuộc trục Oy ,trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox .Toạ độ của điểm P là Lời giải Trang -8-
9. BÀI GIẢNG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 3.3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm 3.4. Trong mặt phẳng tọa độ A(6; 3), B( 3;6), C(1; 2). Xác định điểm E trên cạnh BC sao cho Oxy, cho BE 2EC . A 5; 2 ,B 1; 2 . Tìm tọa Lời giải độ điểm C đối xứng với điểm A qua điểm B. Lời giải 3.5. Cho hình chữ nhật ABCD có A(0; 3), D(2;1), I( 1;0) là tâm của hình chữ nhật. Tọa độ trung điểm BC là: Lời giải Dạng toán 3. Sự cùng phương, cùng hướng của hai vecto Phương pháp áp dụng   • Cho u (x; y) ;u' (x'; y') . Vectơ u' cùng phương với vectơ u u 0 khi và chỉ khi có số k sao x' kx cho y' ky  x' y' Chú ý: Nếu xy 0 ta có u' cùng phương u x y Sử dụng điều kiện cần và đủ sau: Trang -9-
10. BÀI GIẢNG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ *Hai vectơ a, b 0) cùng phương khi và chỉ khi có số k để a kb Câu 1. Cho hình bình hành ABCD có A 2; 3 và tâm I 1;1 . Biết điểm Lưu ý K 1; 2 nằm trên đường thẳng AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các đỉnh B,D của hình bình hành. Lời giải tham khảo I là trung điểm AC nên C 4; 1 Gọi D 2a; a B 2 2a; 2 a   AK 1; 1 , AB 4 2a; 1 a   Vì AK, AB cùng phương nên 4 2a 1 a a 1 D 2;1 , B 0;1 1 1 1.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A 0;1 , B 1; 3 , C 2;7 và D 0; 3 . Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD . Lời giải   Câu 2.Cho u m2 m 2 ; 4 và v (m; 2) . Tìm m để hai vecto u, v Lưu ý cùng phương. Lời giải tham khảo Trang -10-