Bài tập tự luận môn Hình học 10 - Chương 1 - Bài 3: Phép nhân một số với một véctơ (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Hình học 10 - Chương 1 - Bài 3: Phép nhân một số với một véctơ (Kèm đáp án)

1. BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ BÀI 3. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VÉCTƠ Dạng 1. [0H1-3-0] Xác định vectơ ka 1.Phương pháp: Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ. – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác. – Tính chất của các hình. 2. Các ví dụ:  Ví dụ 1.: Cho a AB và điểm O. Xác định hai điểm M Lưu ý   và N sao cho: OM 3a; ON 4a Lời giải     Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên b )MA kMB; c )MA k AB 1 đoạn AB sao cho AM= AB. Tìm k trong các đẳng thức Lời giải: 5 sau:  a )AM k AB; Lời giải Ví dụ 3. a) Chứng minh:vectơ đối của 5a là 5 a 2.1 b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2a 3b , Lời giải: Lời giải 0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 1
2. Dạng 2. [0H1-3-1] Đẳng thức véctơ không dùng tính chất trung điểm, trọng tâm 1. Phương pháp giải. Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng: Các tính chất phép toán vectơ Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ 2. Các ví dụ: Ví dụ 1:Cho 4 điểm A,B,C,D. M N là trung điểm AB và CD    Chứng minh: Chứng minh 2 MN = AC + BD       Lời giải 2 MN = AC + BD = AD + BC . Lời giải: A M B D N C Ví dụ 2: Cho  hình bình hành ABCD. Chứng minh: Ví dụ 3: Cho O là tâm của hình bình AB 2AC AD 3AC . hành ABCD. Chứng minh rằng với Lời giải: điểm M bất kì, ta có:  1     MO = (MA + MB + MC + MD ). 4 Lời giải: 2 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371
3. BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ Dạng 3. [0H1-3-2] Đẳng thức véctơ có dùng tính chất trung điểm 1. Phương pháp giải. Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng: Các tính chất phép toán vectơ Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ Tính chất trung điểm: uuur uuur r M là trung điểm đoạn thẳng AB Û MA + MB = 0 uuur uuur uuur M là trung điểm đoạn thẳng AB Û OA + OB = 2OM (Với O là điểm tuỳ ý) 2. Các ví dụ: uuur uuur uuur uuur uuur Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung b) MA + MB + MC + MD = 4MO với M là điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ .Chứng điểm bất kì minh rằng: B uuur uuur uuur uuur r I a) OA + OB + OC + OD = 0 A Lời giải (Hình 1.16) O D J C Hình 1.16 14 Ví dụ 2: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,    CA, AB. Chứng minh rằng: AM + BN + CP = 0 . Lời giải b. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng Ví dụ 3: Cho ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một  1  1  điểm trên cạnh AC, sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của minh rằng KD = AB + AC . MN. 4 3  1  1  Giải: a. Chứng minh rằng AK = AB + AC . 4 6  Giải 0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 3
4. Dạng 4. [0H1-3-3] Đẳng thức véctơ có dùng tính chất trọng tâm 1. Phương pháp giải. Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng: Các tính chất phép toán vectơ Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ Tính chất trung điểm: uuur uuur r M là trung điểm đoạn thẳng AB Û MA + MB = 0 uuur uuur uuur M là trung điểm đoạn thẳng AB Û OA + OB = 2OM (Với O là điểm tuỳ ý) Tính chất trọng tâm: uuur uuur uuur ur G là trọng tâm của tam giác ABC Û GA +GB +GC =O uuur uuur uuur uuur G là trọng tâm của tam giác ABC Û OA +OB +OC =OG (Với O là điểm tuỳ ý) 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì 3GG' AA' BB' CC' . Hướng dẫn giải: Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm G. Gọi G , G , G lần lượt là trọng tâm tam giác BCA , ABC , ACB . 1 2 3 uuuur uuuur uuuur r 1 1 1 Chứng minh rằng GG1 + GG2 + GG3 = 0 Lời giải 4 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371
5. BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ uuur uuur uuur uuur Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng b) OA + OB + OC = OH . tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh uuur uuur r rằng c) GH + 2GO = 0 uuur uuur uuur uuur a)HA + HB + HC = 2HO . Lời giải (Hình 1.17) A H O B C D Hình 1.17 Dạng 5. [0H1-3-4] Tính độ dài véctơ tổng, hiệu, tích với 1 số  Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số. 1. Phương pháp giải. Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a . 1   c) AB 2AC điểm M là trung điểm BC . Dựng các 2 vectơ sau và tính độ dài của chúng. 3   1   d) MA 2,5MB a) CB MA 4 2  1  b) BA BC 2 0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 5
6. Lời giải (Hình 1.14) A L K N C M B H Q P Hình 1.14 Chú ý: Với các em học sinh chưa nắm vững Ví dụ 2: Cho OAB vuông cân với OA = OB = a. Hãy dựng kiến thức về tổng của hai vectơ các vectơ sau đây và tính độ dài của chúng:   thì thường kết luận ngay rằng: a. 3OA + 4 OB     21    AB + AC  = AB  + AC  = a + a = 2a. b. OA + 2.5OB , 14  3  4 c. OA OB . 4 7  Giải Giải O A B C 6 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371
7. BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ O A A 1 B B1 C1 r Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a . r uuur uuur uuur uuur b) Tính độ dài vectơ u a) Chứng minh rằng u = 4MA - 3MB + MC - 2MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M. Lời giải (Hình 1.15) A' A B O D C Hình 1.15 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.3.26. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi điểm M , N lần lượt là trung điểm BC, CA . Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.  1  1   a) AN CB b) BC 2MN 2 2    3  c) AB 2AC c) 0,25MA MB 2 Bài 1.3.27: Cho hình vuông ABCD cạnh a . r uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh rằng u = MA - 2MB + 3MC - 2MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M. r b) Tính độ dài vectơ u 0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 7
8. Dạng 6 [0H1-3-5] Phân tích 1 véctơ theo hai véctơ không cùng phương 1. Phương pháp giải. Sử dụng các tính chất phép toán vectơ, ba quy tắc phép toán vectơ và tính chất trung điểm, trọng tâm trong tam giác. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= là trung điểm của  các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD  và EF. Đặt u AE; v AF . Hãy phân tích các vectơ 2MC. Hãy phân tích vectơ AM       AI ,AG,DE,DC theo hai vectơ u,v . theo hai vectơ u AB, v AC . Hướng dẫn giải: Lời giải: A C r uuur r uuur Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Đặt a = AB, b = AC . A uuuur 1 uuur uuur uuur a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: AM = AB, CN = 2BC M 3 uuur uuur uuuur r r b) Hãy phân tích CM , AN, MN qua các véc tơ a và b. Lời giải (hình 1.23) B C N Hình 1.23 c) Gọi I là điểm thỏa: uuur uuur MI = CM . Chứng minh I ,A,N thẳng hàng 8 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371
9. BÀI GIẢNG PHÉP NHÂN VECTO VỚI 1 SỐ uuur uuuur Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao b) Phân tích các vectơ GC , MN qua các véc cho BM = 3CM , trên đoạn AM lấy N sao cho uuur uuur 2AN = 5MN . G là trọng tâm tam giác ABC . tơ GA và GB uuuur uuur uuur Giải: a) Phân tích các vectơ AM , BN qua các véc tơ AB và uuur AC Lời giải (hình 1.24) A N B M C Hình 1.24 0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 9
10. Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM , CD = 2CN và G là trọng M uuur uuuur uuur A B tâm tam giác MNB . Phân tích các vectơ AN, MN, AG qua các véc tơ G uuur uuur AB và AC Lời giải (hình 1.25) D N C Hình 1.25 3. Bài tập luyện tập. uuur uuur uuur uuur r uuur uuur r Bài 1.3.46: Cho tam giác ABC .Lấy các điểm M,N,P sao cho MB = 3MC , NA + 3NC = 0,PA + PB = 0 uuur uuur uuuur   a) Biểu diễn các vectơ AP, AN , AM theo các vectơ AB và AC     b) Biểu diễn các vectơ MP , MN theo các vectơ AB và AC Có nhận xét gì về ba điểm M, N, P thẳng hàng? uur uur uur uur r Bài 1.3.47: Cho tam giác ABC.Gọi I, J là hai điểm xác định bởi IA = 2IB, 3JA + 2JC = 0    a)Tính IJ theo AB và AC . b)Đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC Bài 1.3.48. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC . uur uuur uuur uuur a) Hãy phân tích AI , AJ theo AB và AC . uuur uur uuur b) Hãy phân tích AG theo AI và AJ . r r Bài 1.3.49: Cho hai vectơ a, b không cùng phương. Tìm x sao cho r r r r r r a) u = a + (2x - 1)b và v = xa + b cùng phương r r r r r 2r b) u = 3a + xb và u = (1- x )a - b cùng hướng 3 10 164/20 Quyết Tiến pleiku Gia Lai | 0988323371