Bài tập tự luận môn Hình học 10 - Chương 1 - Bài 2: Tổng và hiệu của các vectơ (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Hình học 10 - Chương 1 - Bài 2: Tổng và hiệu của các vectơ (Kèm đáp án)

1. BÀI 2: TỔNG VÀ HIỆU CỦA CÁC VECTƠ I – LÝ THUYẾT 1.Tổng của hai vectơ Định nghĩa: Phép cộng hai vectơ a và b là vectơ a b , được xác định tùy theo vị trí của hai vectơ. Có 3 trường hợp. a b nối đuôi a b cùng điểm gốc a b là hai vectơ bất kỳ a b cộng theo a b cộng theo Quy tắc 3 điểm a b được cộng theo Quy tắc hình bình hành 2 trường hợp trên    - Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ A, B,C ta có AB AC CB - Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành khi đó ta có:      AC AB AD AB DC    và   DB DA DG AD BC   Quy tắc trung điểm của đoạn thẳng: Điểm I là trung điểm của đoạn AB IA IB 0    Quy tắc trọng tâm của tam giác: Điểm G là trọng tâm ABC GA GB GC 0 Tính chất - Giao hoán: a b b a - Kết hợp: a b c a c b - Cộng với vectơ đối: a a 0 - Cộng với vectơ không: a 0 0 a a 2. Hiệu của hai vectơ a) Vectơ đối r r r ĐỊNH NGHĨA: Nếu tổng của hai vectơ a và b là vectơ – không, thì ta nói a là vectơ đối của vectơ r r r b , hoặc a là vectơ đối của vectơ b . r r Kí hiệu: Vectơ đối của vectơ a là - a r r r Như vậy a + (- a) = 0 b) Hiệu của hai vectơ r r r r r r Hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu là a - b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b , tức là: r r r r a - b = a + (- b) Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ. Tính chất   + a :a 0 a + a :a a 0 + AB BA r r Cách dựng hiệu của hai vectơ a và b uuur r uuur r r r uuur uuur uuur uuur uuur Lấy điểm O tùy ý, dựng OA = a,OB = b . Khi đó, a - b = OA - OB = OA + BO = BA uuuur Ta có qui tắc 3 điểm : Nếu MN là vectơ đã cho thì với điểm O bất kì, ta luôn có: uuuur uuur uuur MN = ON - OM Quy tắc tam giác    Với ba điểm bất kì A, B,C ta có AB CB CA 13- phép công trừ các cec tơ 1
2. II – DẠNG TOÁN 1. Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Phơng pháp giải: Áp dụng các quy tắc vectơ và tính chất • Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ. 1.1 :Cho năm điểm A,B,C,D,E . Chứng minh rằng Lưu ý: uuur uuur uuur uuur uuur + Thường ưu tiên các vecto có a) AB + CD + EA = CB + ED uuur uuur uuur uuur uuur uuur điểm đầu hoặc điểm cuối giống b) AC + CD - EC = AE - DB + CB nhau. Lời giải + Có thể biến đổi từ vế phải a) Biến đổi vế trái ta có sang vế trái và ngược lại uuur uuur uuur uuur uuur +Khi biến đổi cần phải hướng VT = AC + CB + CD + ED + DA đích , chẳng hạn biến đổi vế (uuur uuur ) uuur (uuur uuur) phải, ta cần xem vế trái có đại = CB + ED + AC + CD + DA (uuur uuur ) (uuur uuur ) lượng nào để từ đó liên tưởng = (CB + ED ) + AD + DA đến kiến thức đã có để làm sao uuur uuur xuất hiện các đại lượng ở vế = CB + ED = VP . trái. Và ta thường biến đổi vế b) Đẳng thức tương đương với phức tạp về vế đơn giản hơn. uuur uuur uuur uuur uuur uuur r AC - AE + CD - CB - EC + DB = 0 ( uuur uu)ur (uuur uuur) r Û EC + BD - EC + DB = 0 uuur uuur r BD + DB = 0 (đúng). 1.2 : Cho bốn điểmA,B,C,D . Chứng minh rằng 1.3 Cho các điểm A, B, C , D, E, F . Chứng minh     uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) DA CA DB CB rằng AD + BE + CF = AE + BF + CD       b) AC DA BD AD CD BA Lời giải Lời giải uuuur uuur uuur uuur uuur 1.4 Tính tổng MN + PQ + RN + NP + QR . 1.5.Cho tam giácABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung Lời giải: điểm của BC, CA, AB . Chứng minh rằng uuur uuur uuur uuur uuur MN + PQ + RN + NP + QR = uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) BM + CN + AP = 0 MN + NP + PQ + QR + RN = MN uuur uuur uuur uuur uuur uuur Lời giải b) OA + OB + OC = OM + ON + OP với O là điểm bất kì. Lời giải 2 13- phép công trừ các cec tơ
3. 1.6: Cho bốn điểmA,B,C,D . Chứng minh rằng 1.7. Cho tam giácABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung     điểm của BC, CA, AB . a) DA CA DB CB       Chứng minh rằng A b) AC DA BD AD CD BA uuur uuur uuur r N Lời giải a) NA + PB + MC = 0 P uuur uuur uuur uuur b) MC + BP + NC = BC B C Lời giải ( hình 1.48) M Hình 1.48 1.8. Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là 1.9. Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh điểm của BC, CA, AB . Chứng minh rằng rằng uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r a) BM + CN + AP = 0 a) BA + DA + AC = 0 uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur r b) AP + AN - AC + BM = 0 b) OA + OB + OC + OD = 0 uuur uuur uuur uuur Lời giải c) MA + MC = MB + MD Lời giải 1.10. Cho hai hình bình hành ABCD và 1.11. Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một AB 'C 'D ' có chung đỉnh A. Chứng minh rằng điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng uuuur uuuur uuuur r     a) AB OD OC AC B 'B + CC ' + D 'D = 0     b) BA BC OB OD Lời giải      c) BA BC OB MO MB Lời giải 13- phép công trừ các cec tơ 3
4. 1.13. Cho hình bình hành ABCD . Dựng 1.14. Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r AM = BA, MN = DA, NP = DC, rằng:OA + OB + OC + OE + OF = 0 uuur uuur Lời giải PQ = BC . uuur r Chứng minh rằng: AQ = 0. Lời giải DẠNG 2: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ 1. Phương pháp giải. Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ • Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó. • Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó. 2. Các ví dụ. · Lưu ý 2.1. Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC = 300 và BC = a 5 . Tính độ dài của các vectơ uuur uuur B D a/AB + BC , uuur uuur b/AC - BC , uuur uuur c/AB + AC . Lời giải Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur a/ AB + BC = AC · AC A C Mà sin ABC = Hình 1.10 BC · a 5 Þ AC = BC.sin ABC = a 5.sin 300 = 2 4 13- phép công trừ các cec tơ
5. uuur uuur uuur a 5 Do đó AB + BC = AC = AC = 2 uuur uuur uuur uuur uuur b/ AC - BC = AC + CB = AB Ta có 5a2 a 15 AC 2 + AB 2 = BC 2 Þ AB = BC 2 - AC 2 = 5a2 - = 4 2 uuur uuur uuur a 15 Vì vậy AC - BC = AB = AB = 2 c/ Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành. uuur uuur uuur Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AC = AD Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra AD = BC = a 5 uuur uuur uuur Vậy AB + AC = AD = AD = a 5 2.2: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính độ dài của 2.3. Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài     uuur uuur uuur các vectơ sau AB AC, AB AC . ba vectơ OA, OB, OC cùng bằng a và uuur uuur uuur r Lời giải OA + OB + OC = 0 a) Tính các góc AOB, BOC, COA uuur uuur uuur b) Tính OB + AC - OA Lời giải 2.4. Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a . 2.5. Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh M là một điểm bất kỳ. a . M là một điểm bất kỳ. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) Tính AB + OD , AB - OC + OD a) Tính AB + AD , OA - CB , CD - DA     b) Chứng minh rằng b) Tính độ dài vectơ MA MB MC MD r uuur uuur uuur uuur Lời giải u = MA + MB - MC - MD không phụ thuộc r vị trí điểm M . Tính độ dài vectơ u Lời giải 13- phép công trừ các cec tơ 5
6. · 2.7. Cho góc Oxy . Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B 2.6. Cho hình thoi ABCD cạnh a và BCD = 600 . uuur uuur Gọi O là tâm hình thoi. . Tìm điều kiện của A,B sao cho OA + OB nằm uuur uuur uuur uuur · Tính AB + AD , OB - DC . trên phân giác của góc Oxy . Lời giải Lời giải 2.8. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh C , AB = 2 . uuur uuur Tính độ dài của AB + AC. Lời giải 6 13- phép công trừ các cec tơ