Bài tập tự luận môn Hình học 10 - Chương 1 - Bài 2: Tổng và hiệu của các vectơ - Châu Huỳnh Thuận

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Hình học 10 - Chương 1 - Bài 2: Tổng và hiệu của các vectơ - Châu Huỳnh Thuận

1. Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 BÀI 2: TỔNG VÀ HIỆU CỦA CÁC VECTƠ I – LÝ THUYẾT 1.Tổng của hai vectơ Định nghĩa: Phép cộng hai vectơ a và b là vectơ a b , được xác định tùy theo vị trí của hai vectơ. Có 3 trường hợp. a b nối đuôi a b cùng điểm gốc a b là hai vectơ bất kỳ a b cộng theo a b cộng theo a b được cộng theo Quy tắc 3 điểm Quy tắc hình bình 2 trường hợp trên hành    - Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ A, B,C ta có AB AC CB - Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành khi đó ta có:      AC AB AD AB DC    và   DB DA DG AD BC Tính chất: - Giao hoán: a b b a - Kết hợp: a b c a c b - Cộng với vectơ không: - Cộng với vectơ đối: a a 0 a 0 0 a a 2. Hiệu của hai vectơ Vectơ đối của vectơ a kí hiệu là - a . Đặc biệt a a 0 Định nghĩa: Hiệu hai vectơ a và b là vectơ a b a b   Tính chất:+ a :a 0 a + a :a a 0 + AB BA Quy tắc tam giác đối với hiệu hai vectơ    Với ba điểm bất kì A, B,C ta có AB CB CA 3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác   ✓ Điểm I là trung điểm của đoạn AB IA IB 0    ✓ Điểm G là trọng tâm ABC GA GB GC 0 II – DẠNG TOÁN 1
2. Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 1. Dạng 1: Các câu hỏi lý thuyết Câu 1/ Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Trong các khẳng định sau, hãy tìm lhẳng định sai         a. MN QP b. MQ NP c. PQ MN d. MN AC Câu 2/ Cho tam giác đều ABC. Mệnh đề nào sau đây sai ?        a. AB BC b. AC BC c. AB BC d. AC không cùng  phương BC Câu 3/ Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Mệnh đề nào sau đây đúng ?       a. AC = a b. AC BC c. AB = a d. AB cùng hướng với BC Câu 4. Cho hai vectơ không cung phương a và b . Khẳng định nào sau đây đúng ? a. Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ a và b b. Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b c. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b , đó là vectơ 0 d. Cả a, b, c đều sai Câu 5/ Chọn câu sai : a. Mỗi vectơ đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó b. Độ dài của vectơ a được kí hiệu là a    c. 0 = 0 , PQ = PQ d. AB = AB = BA Câu 6/ Gọi C là trung điểm của đoạn AB. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau :     a. CA = CB b. AB và AC cùng hướng     c. AB và CB ngược hướng d. AB = CB Câu 7/ Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau : a. Được gọi là vectơ suy biến b. Được gọi là vectơ có phương tùy ý c. Được gọi là vectơ không, kí hiệu là 0 d. Là vectơ có độ dài không xác định. Hãy chọn câu sai Câu 8. Câu nào sai trong các câu sau đây a. Vectơ đối của a 0 là vectơ ngược hướng với vectơ a và có cùng độ dài với vectơ a b. Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0 2
3. Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195     c. Nếu MN là một vectơ đã cho thì với điểm 0 bất kì ta luôn có thể viết : MN = OM - ON d. Hiệu của hai vectơ là tổng của vectơ thứ nhất với vectơ đối của vectơ thứ hai Câu 9. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau : a. Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng b. Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau c. Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài d. Cả a, b, c đều đúng Câu 10. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khi đó :   a. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AC cùng phương với AB   b. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là CA cùng phương với AB   c. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là CA cùng phương với AB   d. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB = AC Câu 11/ Cho tam giác ABC. D, E, F là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Hệ thức nào đúng ?             a. AD + BE + CF = AB + AC + BC b. AD + BE + CF = AF + CE + BD             c. AD + BE + CF = AE + BF + CD d. AD + BE + CF = BA + BC + AC Câu 12/ Cho hình bình hành ABCD. Câu nào sau đây sai ?             a. AB + AD = AC b. BA + BD = BC c. DA = CB d. OA + OB + OC + OD = 0 Câu 13/ Câu nào sau đây sai ?    a. Với ba điểm bất kì I, J, K ta có IJ + JK = IK    b. Nếu AB + AC = AD thì ABCD là hình bình hành   c. Nếu OA = OB thì O là trung điểm của AB    d. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0 Câu 14/ Cho tam giác ABC. M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB       ( I ) AM + BN + CP = 0 (1) ( II ) GA + GB + GC = 0 (2) Câu nào sau đây đúng ? a. Từ (1) (2) b. Từ (2) (1) c. (1) (2) d. Cả a,b,c đều đúng Câu 15/ Cho tam giác ABC. I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Xét các mệnh đề :          ( I ) AB + BC + AC = 0 ( II ) KB + JC = AI ( III ) AK + BI + CJ = 0 Mệnh đề sai là : 3
4. Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 a. Chỉ ( I ) b. ( II ) và ( III ) c. Chỉ ( II ) d. ( I ) và ( III ) Câu 16/ Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng ?         a. GA + GC + GD = BD b. GA + GC + GD = DB        c. GA + GC + GD = 0 d. GA + GC + GD = CD Câu 17/ Cho hình bình hành ABCD. M là điểm tùy ý. Tìm khẳng định đúng cho các khẳng đình sau :         a. MA + MB = MC + MD b. MB + MC = MD + MA         c. MC + MB = MD + MA d. MA + MC = MB + MD 0 Câu 18/ Cho hai lực F1 = F2 = 100N, có điểm đặt tại O và tạo với nhau góc 60 . Cường độ lực tổng hợp của hai lực ấy bằng bao nhiêu ? a. 100 3 N b. 50 3 N c. 100N d. 200N      Câu 19/ Chỉ ra vectơ tổng MN + PQ + RN + NP + QR trong các vectơ sau :     a. MR b. MP c. MQ d. MN   Câu 20/ Cho tam giác vuông cân ABC đỉnh C, AB = 2 . Tính độ dài của AB + AC a. 5 b. 2 5 c. 3 d. 2 3       Câu 21/ Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Để chứng minh : AD + BE + CF = AE + BF + CD Một học sinh tiến hành như sau :          ( I ) Ta có : AD + BE + CF = AE + ED + BF + FE + CD + DF     ( II ) Ta lại có DF + FE + ED = DD = 0       ( III ) Suy ra AD + BE + CF = AE + BF + CD a. Lập luận trên sai từ giai đoạn ( I ) b. Lập luận trên sai từ giai đoạn ( II ) c. Lập luận trên sai từ giai đoạn ( III ) d.Lập luận trên đúng hoàn toàn Câu 22/ Cho tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Xét các mệnh đề :          ( I ) AB = AI + IB ( II ) AI = AB + AC ( III ) AC = BI + AI Mệnh đề đúng là : a. Chỉ ( I ) b. ( I ) và ( III ) c. Chỉ ( III ) d. ( II ) và ( III ) Câu 23/ Với bốn điểm A, B, C, D trong đó không có 3 điểm thẳng hàng :     a. ABCD là hình bình hành khi AB = DC b. ABCD là hình bình hành khi AB + AD =  AC 4
5. Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195   c. ABCD là hình bình hành khi AD = BC d. Cả ba câu đều đúng   Câu 24/ Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Độ dài AD + AB bằng : a 3 a 2 a. 2a b. a 2 c. 2 2 Câu 25/ Cho hình thang ABCD có AB song song với CD. Cho AB = 2a ; CD = a. O là trung điểm của AD. Khi đó :   3a a. OB + OC 2   b. OB + OC a   c. OB + OC 2a   d. OB + OC 3a Câu 26/ Cho hai vectơ a và b ( a 0 ; b 0 ). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau : a. a + b a b b. a + b a b a và b cùng phương c. a + b a b a và b cùng hướng d. a + b a b a và b ngược hướng Câu 27/ Cho tam giác ABC. Tìm khẳng định đúng :          a. AB + BC = AC b. AB + BC + CA = 0 c. AB = BC AB = BC d. AB + AC  = BC Câu 28/ Cho tam giác đều ABC cạnh a. Khi đó :       a 3 a. AB + AC a b. AB + AC a 3 c. A B + A C d. 2   AB + AC 2a Câu 29/ Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đương chéo.     Khi đó OA + OB + OC + OD bằng :       a. 0 b. AC + BD c. CA + BD d. CA + DB Câu 30/ Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho : NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN. Khi đó :  1  1  a. AK = AB + AC 6 4 5
6. Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195  1  1  b. AK = AB - AC 4 6  1  1  c. AK = AB + AC 4 6  1  1  d. AK = AB - AC 6 4 2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ bằng quy tắc 3 điểm Phơng pháp giải: Áp dụng quy tắc 3 điểmvà tính chất 2.1 :Cho năm điểm A,B,C,D,E . Chứng minh rằng Lưu ý: uuur uuur uuur uuur uuur a) AB + CD + EA = CB + ED + Thường ưu tiên các uuur uuur uuur uuur uuur uuur vecto có điểm đầu hoặc b) AC + CD - EC = AE - DB + CB điểm cuối giống nhau. Lời giải tham khảo a) Biến đổi vế trái ta có + Có thể biến đổi từ vế uuur uuur uuur uuur uuur phải sang vế trái và ngược VT = AC + CB + CD + ED + DA (uuur uuur ) uuur (uuur uuur) lại = CB + ED + AC + CD + DA (uuur uuur ) (uuur uuur ) = (CB + ED ) + AD + DA uuur uuur = CB + ED = VP . b) Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuur uuur uuur uuur r AC - AE + CD - CB - EC + DB = 0 ( uuur uu)ur (uuur uuur) r Û EC + BD - EC + DB = 0 uuur uuur r BD + DB = 0 (đúng). 2.2 : Cho bốn điểmA,B,C,D . Chứng 2.3 Cho các điểm A, B, C , D, E, F . minh rằng Chứng minh rằng     uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) DA CA DB CB       AD + BE + CF = AE + BF + CD b) AC DA BD AD CD BA uuuur uuur uuur uuur uuur 2.4 Tính tổng MN + PQ + RN + NP + QR . 2.5 Cho hình bình hành ABCD ,với giao điểm hai đường chéo là I . Chứng 6
7. Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195   minh rằng: AB CD 0 .  DẠNG 3: Quy tắc 3 điểm (Biến đổi vectơ) 1. Phương pháp giải. Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ. 2. Ví dụ minh họa. 3.1:Cho tam giácABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung Lưu ý: điểm của BC, CA, AB . Chứng minh rằng +Khi biến đổi cần phải uuur uuur uuur r a) BM + CN + AP = 0 hướng đích , chẳng hạn uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) OA + OB + OC = OM + ON + OP với O là điểm biến đổi vế phải, ta cần bất kì. xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng A đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại N P lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn. C B M Hình 1.13 Lời giải tham khảo a) Vì PN, MN là đường trung bình của tam giác ABC nên PN / /BM , MN / /BP suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành  BM PN   N là trung điểm của AC CN NA Do đó theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur BM + CN + AP = PN + NA + AP uuur uuur r ( ) = PA + AP = 0 7
8. Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 b) Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA + OB + OC = OP + PA + OM + MB + ON + NC uuur uuur uuu(r uuur )uuur( uuur ) ( ) = OM + ON + OP + PA + MB + NC (uuur uuur uuur ) uuur uuur uuur = (OM + ON + OP )- (BM + CN + AP ) uuur uuur uuur r Theo câu a) ta có BM + CN + AP = 0 suy ra uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA + OB + OC = OM + ON + OP . 3.2 :Cho bốn điểmA,B,C,D . Chứng minh 3.3 Cho hình bình hành ABCD tâm rằng O . M là một điểm bất kì trong mặt     phẳng. Chứng minh rằng a) DA CA DB CB           a) AB OD OC AC b) AC DA BD AD CD BA     b) BA BC OB OD      c) BA BC OB MO MB 3.4 Cho tam giácABC . Gọi M, N, P lần lượt 3.5 Cho ngũ giác đều ABCDE tâm là trung điểm của BC, CA, AB . Chứng minh O. Chứng minh rằng: uuur uuur uuur uuur uuur r rằng uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OE + OF = 0 a) NA + PB + MC = 0 uuur uuur uuur uuur b) MC + BP + NC = BC 8
9. Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 DẠNG 4: Chứng minh đẳng thức vectơ ( quy tắc hình bình hành). 1. Phương pháp giải. • Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ. 2. Ví dụ. 4.1 : Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm Lưu ý: bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng uuur uuur uuur r + Cho hình bình hành a) BA + DA + AC = 0 uuur uuur uuur uuur r ABCD cho quy tắc nào, b) OA + OB + OC + OD = 0 nếu đổi tên hình bình uuur uuur uuur uuur c) MA + MC = MB + MD hành thì quy tắc hình bình Lời giải tham khảo hành tên mới. +Khi biến đổi cần phải a) Ta có A B uuur uuur uuur uuur uuurhướnguuu r đích , chẳng hạn BA + DA + AC = - AB - ADbiến+ A Cđổi vế phải, ta cần uuur uuur uuur xem vế trái có đại lượng O = - (AB + AD ) + AC nào để từ đó liên tưởng D C Theo quy tắc hình bình đến kiến thức đã có để hành ta có làm sao xuất hiện các đại uuur uuur uuur AB + AD = AC suy ra lượng ở vế trái. Và ta uuur uuur uuur uuur uuur r thường biến đổi vế phức BA + DA + AC = - AC + AC = 0 b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: tạp về vế đơn giản hơn. uuur uuur uuur uuur uuur uuur r OA = CO Þ OA + OC = OA + AO = 0 uuur uuur r uuur uuur uuur uuur r Tương tự: OB + OD = 0 Þ OA + OB + OC + OD = 0 . c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên uuur uuur uuur uuur uuur uuur r AB = DC Þ BA + DC = BA + AB = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur Þ MA + MC = MB + BA + MD + DC uuur uuur uuur uuur uuur uuur = MB + MD + BA + DC = MB + MD Cách 2: Đẳng thức tương đương với uuur uuur uuur uuur uuur uuur MA - MB = MD - MC Û BA = CD (đúng do ABCD là hình bình hành) 9
10. Tự luận Châu Huỳnh Thuận: 0945194195 4.2: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Chứng minh rằng uuur uuur uuur r a) BM + CN + AP = 0 uuur uuur uuur uuur r b) AP + AN - AC + BM = 0 Lời giải tham khảo a) Vì PN, MN là đường trung bình của tam giác ABC nên PN / /BM , MN / /BP suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành  BM PN N là trung điểm của A   AC CN NA Do đó theo quy tắc ba điểm N ta có P uuur uuur uuur uuur uuur uuur BM + CN + AP = PN + NA + AP uuur uuur r ( ) C = PA + AP = 0 B M Hình 1.13 b) Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo uuur uuur uuuur quy tắc hình bình hành ta có AP + AN = AM , kết hợp với quy tắc trừ uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur Þ AP + AN - AC + BM = AM - AC + BM = CM + BM uuur uuur r Mà CM + BM = 0 do M là trung điểm của BC . uuur uuur uuur uuur r Vậy AP + AN - AC + BM = 0 . Bài 4.3: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Bài 4.4: Cho tam giác ABC . Gọi M, M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng N, P lần lượt là trung điểm của minh rằng   BC, CA, AB . Chứng minh rằng a) AB OD OC AC uuur uuur uuur r     a) NA + PB + MC = 0 b) BA BC OB OD uuur uuur uuur uuur      c) BA BC OB MO MB b) MC + BP + NC = BC 10