Bài tập tự luận môn Đại số Lớp 10 - Chương 4 - Bài: Dấu của tam thức bậc hai (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Đại số Lớp 10 - Chương 4 - Bài: Dấu của tam thức bậc hai (Kèm đáp án)

1. 51. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG 1. Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với x ) là biểu thức dạng ax 2 + bx + c . Trong đó a,b,c là nhứng số cho trước với a ¹ 0. Nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f (x ) = ax 2 + bx + c ; D = b2 - 4ac và D ' = b'2- ac theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f (x ) = ax 2 + bx + c . 2. Dấu của tam thức bậc hai Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau f (x ) = ax 2 + bx + c, (a ¹ 0) D 0, " x Î ¡ ïì b ïü D = 0 a.f (x ) > 0, " x Î ¡ \ í - ý îï 2aþï a.f (x ) > 0, " x Î (- ¥ ;x1 ) È (x2;+ ¥ ) D > 0 a.f (x ) < 0, " x Î (x1; x2 ) Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax 2 + bx + c ïì a > 0 ïì a > 0 ax 2 + bx + c > 0, " x Î R Û íï ax 2 + bx + c ³ 0, " x Î R Û íï ï D < 0 ï D £ 0 îï îï ïì a < 0 ïì a < 0 ax 2 + bx + c < 0, " x Î R Û íï ax 2 + bx + c £ 0, " x Î R Û íï ï D < 0 ï D £ 0 îï îï B – CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ➢ DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI. Phương pháp giải. Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó. * Đối với đa thức bậc cao P(x) ta làm như sau Phân tích đa thức P (x ) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất) Lập bảng xét dấu củaP (x ) . Từ đó suy ra dấu của nó . P(x) * Đối với phân thức (trong đó P (x ), Q (x ) là các đa thức) ta làm như sau Q(x) Phân tích đa thức P (x ), Q (x ) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất) P(x) Lập bảng xét dấu của . Từ đó suy ra dấu của nó. Q(x) Baøi 1. Xét dấu của các tam thức sau: Lưu ý a) 3x 2 - 2x + 1 b) - x 2 + 4x + 5 c) - 4x 2 + 12x - 9 Lời giải tham khảo a) Ta có D ' = - 2 0 3x 2 - 2x + 1 > 0, " x Î ¡ .
2. éx = - 1 b) Ta có - x 2 + 4x + 5 = 0 Û ê êx = 5 ëê Bảng xét dấu x - ¥ - 1 5 + ¥ - x 2 + 4x + 5 - 0 + 0 - Suy ra - x 2 + 4x + 5 > 0 Û x Î (- 1;5) và - x 2 + 4x + 5 < 0 Û x Î (- ¥ ;- 1) È (5;+ ¥ ) c) Ta có: ïì 3ïü D ' = 0, a < 0 suy ra - 4x 2 + 12x - 9 < 0 " x Î ¡ \ íï ýï îï 2þï 1.1 f (x) = - 2x 2 + 3x - 1 1.2 f (x) = x 2 + 5x + 6 Lời giải Lời giải 1.3 h(x) = - 2x 2 + x - 1 1 1.4 g(x) = x 2 - x + 1 Lời giải 4 Lời giải 2 2 1.5 f (x) = 3x - 2x - 8 1.6 f x 2x 7x 8 Lời giải Lời giải
3. Baøi 2. Xét dấu của các tam thức sau: Lưu ý a) (- x 2 + x - 1)(6x 2 - 5x + 1) x 2 - x - 2 b) - x 2 + 3x + 4 c) x 3 - 5x + 2 Lời giải tham khảo a) Ta có - x 2 + x - 1 = 0 vô nghiệm é 1 êx = 6x 2 - 5x + 1 = 0 Û ê 2 ê 1 êx = ëê 3 Bảng xét dấu x 1 1 - ¥ + ¥ 3 2 - x 2 + x - 1 - | - | - 6x 2 - 5x + 1 + 0 - 0 + (- x 2 + x - 1)(6x 2 - 5x + 1) - 0 + 0 - Suy ra : æ1 1ö ➢ (- x 2 + x - 1)(6x 2 - 5x + 1) > 0 Û x Î ç ; ÷ èç3 2ø÷ æ 1ö æ1 ö ➢ (- x 2 + x - 1)(6x 2 - 5x + 1) > 0 Û x Î ç- ¥ ; ÷È ç ;+ ¥ ÷ èç 3ø÷ èç2 ø÷ éx = - 1 éx = - 1 b) Ta có x 2 - x - 2 = 0 Û ê , - x 2 + 3x + 4 = 0 Û ê êx = 2 êx = 4 ëê ëê Bảng xét dấu x - ¥ - 1 2 4 + ¥ x 2 - x - 2 + 0 - 0 + | + - x 2 + 3x + 4 - 0 + | + 0 - x 2 - x - 2 - x 2 + 3x + 4 - || - 0 + || - Suy ra x 2 - x - 2 ➢ > 0 Û x Î (2;4) - x 2 + 3x + 4
4. x 2 - x - 2 ➢ < 0 Û x Î (- ¥ ;- 1) È (- 1;2) È (4;+ ¥ ) - x 2 + 3x + 4 c) Ta có x 3 - 5x + 2 = (x - 2)(x 2 + 2x - 1) x 2 + 2x - 1 = 0 Û x = - 1 ± 2 Bảng xét dấu x - ¥ - 1- 2 - 1 + 2 2 + ¥ x - 2 - | - | - 0 + x 2 + 2x - 1 + 0 - 0 + | + x 3 - 5x + 2 - 0 + 0 - 0 + Suy ra ➢ x 3 - 5x + 2 > 0 Û x Î (- 1- 2;- 1 + 2) È (2;+ ¥ ) ➢ x 3 - 5x + 2 < 0 Û x Î (- ¥ ;- 1- 2) È (- 1 + 2;2) 2.1 f (x) = (x 2 - 5x + 4)(2 - 5x + 2x 2) Lời giải x 2 - x + 6 2.2 x - - x 2 + 3x + 4 Lời giải
5. 8 2.3 f (x) = x 2 - 3x - 2 - x 2 - 3x Lời giải 2.4 x 3 - 3x + 2 Lời giải Baøi 3. Tùy theo giá trị của tham số m, hãy xét dấu của các biểu thức Lưu ý f (x) = x 2 + 2mx + 3m - 2 Lời giải tham khảo Tam thức f (x) có a = 1 > 0 và D ' = m2 - 3m + 2. * Nếu 1 0 " x Î R . ém = 1 * Nếu ê Þ D ' = 0 Þ f (x) ³ 0 " x Î R và f (x) = 0 Û x = - m êm = 2 ëê ém > 2 * Nếu ê Þ D ' > 0 Þ f (x) có hai nghiệm êm < 1 ëê 2 2 x1 = - m - m - 3m + 2 và x2 = - m + m - 3m + 2 . Khi đó: +) f (x) > 0 Û x Î (- ¥ ;x1) È (x2;+ ¥ ) +) f (x) < 0 Û x Î (x1;x2) .
6. 3.1 f (x) = 2x 2 + (m - 9)x + m2 + 3m + 4 3.2 g(x) = (m - 1)x 2 + 2(m - 1) + m - 3 Lời giải Lời giải ➢ DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU. Cho tam thức bậc hai ax 2 + bx + c ïì a > 0 ïì a > 0 ax 2 + bx + c > 0, " x Î R Û íï ax 2 + bx + c ³ 0, " x Î R Û íï ï D < 0 ï D £ 0 îï îï ïì a < 0 ïì a < 0 ax 2 + bx + c < 0, " x Î R Û íï ax 2 + bx + c £ 0, " x Î R Û íï ï D < 0 ï D £ 0 îï îï Baøi 4. Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm Lưu ý f (x ) = mx 2 - x - 1 Lời giải tham khảo Với m = 0 thì f (x ) = - x - 1 lấy cả giá trị dương (chẳng hạn f (- 2) = 1) nên m = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m ¹ 0 thì f (x ) = mx 2 - x - 1 là tam thức bậc hai do đó ì ïì m < 0 ï a = m < 0 ï 1 f (x ) < 0, " x Û í Û í 1 Û - < m < 0 ï D = 1 + 4m - 4 î îï 4 1 Vậy với - < m < 0 thì biểu thức f (x ) luôn âm. 4
7. 4.1 g(x ) = (m - 4)x 2 + (2m - 8)x + m - 5 4.2 f (x ) = - x 2 - 2x - m Lời giải Lời giải 4.3 g(x ) = 4mx 2 - 4(m - 1)x + m - 3 4.4 g(x ) = (2m2 + m - 6)x 2 + (2m - 3)x - 1 Lời giải Lời giải Baøi 5. Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương Lưu ý - x 2 + 4(m + 1)x + 1- 4m2 h(x ) = - 4x 2 + 5x - 2 Lời giải tham khảo Tam thức - 4x 2 + 5x - 2 có a = - 4 < 0, D = - 7 < 0 suy ra - 4x 2 + 5x - 2 < 0 " x Do đó h(x ) luôn dương khi và chỉ khi h '(x ) = - x 2 + 4(m + 1)x + 1- 4m2 luôn âm ïì a = - 1 < 0 ï 5 Û í 2 Û 8m + 5 < 0 Û m < - ï D ' = 4 m + 1 + 1- 4m2 < 0 8 îï ( ) ( ) 5 Vậy với m < - thì biểu thức h(x ) luôn dương. 8
8. 5.1 3x2 - 2(m + 1)x - 2m2 + 3m - 2 ³ 0 " x Î R 5.2 k (x ) = x 2 - x + m - 1 Lời giải Lời giải 5.3 f (x ) = (m + 1)x 2 - 2(m - 1)x + 3m - 3 5.4 f x m 2 x2 2 m 2 x m 3 Lời giải Lời giải Baøi 6. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì Lưu ý a) Phương trình mx 2 - (3m + 2)x + 1 = 0 luôn có nghiệm b) Phương trình (m2 + 5)x 2 - ( 3m - 2)x + 1 = 0 luôn vô nghiệm Lời giải tham khảo 1 a) Với m = 0 phương trình trở thành - 2x + 1 = 0 Û x = suy ra 2 phương trình có nghiệm 2 Với m ¹ 0, ta có D = (3m + 2) - 4m = 9m2 + 8m + 4 2 Vì tam thức 9m + 8m + 4 có am = 9 > 0, D 'm = - 20 < 0 nên 9m2 + 8m + 4 > 0 với mọi m Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m . 2 b) Ta có D = ( 3m - 2) - 4(m2 + 5) = - m2 - 4 3m - 16 2 Vì tam thức - m - 4 3m - 8 có am = - 1 < 0, D 'm = - 4 < 0 nên - m2 - 4 3m - 8 < 0 với mọi m Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m . 6.1 Phương trình 6.2 Phương trình x 2 - 2(m + 2)x - (m + 3) = 0 luôn có (m2 + 1)x 2 + ( 3m - 2)x + 2 = 0 luôn vô nghiệm
9. Lời giải nghiệm Lời giải 6.3 Phương trình 6.4 Phương trình x2 2 m 1 x 2m2 m 3 0 luôn vô nghiệm x2 2 m 1 x 4m 15 0 luôn có 2 nghiệm phân Lời giải biệt Lời giải Lưu ý Baøi 7. Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là ¡ với mọi giá trị của m mx y = (2m2 + 1)x 2 - 4mx + 2 Lời giải tham khảo ĐKXĐ: (2m2 + 1)x 2 - 4mx + 2 ¹ 0 Xét tam thức bậc hai f (x ) = (2m2 + 1)x 2 - 4mx + 2 Ta có a = 2m2 + 1 > 0, D ' = 4m2 - 2(2m2 + 1) = - 2 < 0 Suy ra với mọi m ta có f (x ) = (2m2 + 1)x 2 - 4mx + 2 > 0 " x Î ¡ Do đó với mọi m ta có (2m2 + 1)x 2 - 4mx + 2 ¹ 0, " x Î ¡ Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ 2x 2 - 2(m + 1)x + m2 + 1 2x + 3m 7.1 y = 7.2 y = m2x 2 - 2mx + m2 + 2 x 2 + 2(1- m )x + 2m2 + 3 Lời giải Lời giải