Bài tập tự luận môn Đại số Lớp 10 - Chương 4 - Bài 5: Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Đại số Lớp 10 - Chương 4 - Bài 5: Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai (Kèm đáp án)

1. Bài 5.3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRèNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRèNH QUY VỀ BẬC HAI Dạng toỏn 1: Phương trỡnh trựng phương Phương trỡnh trựng phương: ax4 bx2 c 0, (a 0) ( ) — Đặt t x2 0 thỡ ( ) at2 bt c 0 ( ) — Để xỏc định số nghiệm của ( ), ta dựa vào số nghiệm của ( ) và dấu của chỳng, cụ thể: ( ) vô nghiệm Để ( ) vụ nghiệm ( ) có nghiệm kép âm. ( ) có 2 nghiệm âm ( ) có nghiệm kép t1 t2 0 Để ( ) cú 1 nghiệm  ( ) có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại âm ( ) có nghiệm kép dương Để ( ) cú 2 nghiệm phõn biệt  ( ) có 2 nghiệm trái dấu Để ( ) cú 3 nghiệm ( ) cú 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm cũn lại dương. Để ( ) cú 4 nghiệm ( ) cú 2 nghiệm dương phõn biệt. b. Cú hai nghiệm phõn biệt. Bài 1: Cho phương trỡnh: x4 (m + 2)x2 + m = 0 (1) Tỡm m để phương trỡnh: a.Cú nghiệm duy nhất. b. Cú hai nghiệm phõn biệt. c.Cú ba nghiệm phõn biệt. d.Cú bốn nghiệm phõn biệt Lời giải tham khảo Đặt t = x2 với điều kiện t 0. Khi đú, phương trỡnh được biến đổi về dạng: f(t) = t2 (m + 2)t + m = 0. (2) a. Phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất S 0 m 2 0 (2) cú nghiệm t1 0 = t2 P 0 m 0 vụ nghiệm. Vậy, khụng tồn tại m thoả món điều kiện đầu bài. c. Cú ba nghiệm phõn biệt. d. Cú bốn nghiệm phõn biệt 1
2. Bài 1.1: Cho phương trỡnh b) Phương trỡnh (*) cú nghiệm (m + 1)x 4 - 4x 2 + 1 = 0(*). Tỡm m để a) Phương trỡnh (*) cú bốn nghiệm phõn biệt b) Phương trỡnh (*) cú nghiệm  Giải a) Phương trỡnh (*) cú bốn nghiệm phõn biệt Dạng toỏn 2: Phương trỡnh chứa GTTĐ Để giải phương trỡnh chứa dấu trị tuyệt đối, ta tỡm cỏch khử dấu trị tuyệt đối bằng cỏch: A khi A 0 dựng định nghĩa A , hoặc bỡnh phương 2 vế hoặc đặt ẩn phụ. A khi A 0 A 0 B 0 A B Loại 1: A B A B hoặc sử dụng định nghĩa: A B  A 0 A B A B A B Loại 2: A B  A B Loại 3: a. A b. B C dựng phương phỏp chia khoảng để giải. Bài 2: Giải cỏc phương trỡnh sau a) 2x + 1 = x 2 - 3x - 4 . b) x 2 - 4x - 5 = 4x - 17  Giải 2
3. 3 Bài 2.1: Giải cỏc phương trỡnh sau: b ) = x + 3. | x 4 | 1 a) x2 x 2x 4 3  Giải Lập bảng xột dấu x2 x và 2x 4 : x 0 1 2 + x2 x + 0  +  + 2x 4   0 + Trường hợp 1: Với x 0 hoặc 1 x 2, phương trỡnh cú dạng: x2 x (2x 4) = 3 x2 3x + 1 = 0 1 x = (3 5 ) (loại). 2 Trường hợp 2: Với 0 < x < 1, phương trỡnh cú dạng: (x2 x) (2x 4) = 3 0 x 1 1 5 x2 + x 1 = 0 x = 2 Trường hợp 3: Với x 2, phương trỡnh cú dạng: x2 x + 2x 4 = 3 x2 + x 7 = 0 x 2 1 29 x = 2 Vậy nghiệm của phương trỡnh là: 5 1 29 1 x = và x = . 2 2 c) (x + 2)x3 3x = x6 6x4 + 9x2 + 2x. Gọi ý: Viết lại phương trỡnh dưới dạng: (x3 3x)2 (x + 2)x3 3x + 2x = 0. (1) Đặt t = x3 3x, điều kiện t 0. Chỳ ý: Trong một số trường họp ta cú thể giải phương trỡnh chứa GTTĐ bằng cỏch sử dụng tớnh chất của GTTĐ Ta sử dụng cỏc tớnh chất sau: Tính chất 1: Ta cú: a + b = a + b ab 0. 3
4. a 0 Tính chất 2: Ta cú: a + b = a + b . b 0 a 0 Tính chất 3: Ta cú: a + b = a b . b 0 Tính chất 4: Ta cú: |a b = a b b(a b) 0. với lược đồ thực hiện theo cỏc bước: Bước 1: Đặt điều kiện cú nghĩa (nếu cần) cho cỏc biểu thức trong phương trỡnh. Bước 2: Biến đổi phương trỡnh về một trong 4 tớnh chất đó biết. Bước 3: Giải ( hoặc biện luận) phương trỡnh đại số nhận được. Bước 4: Kết luận. Bài 2.2: Giải phương trỡnh,bpt: b) 2x2 3x + 1 2x2 5x < 2x + 1. a) x2 4x + 3 + x2 4x = 3.  Giải Ta cú thể trỡnh bày theo cỏc cỏch sau: Cỏch 1: Viết lại phương trỡnh dưới dạng: x2 4x + 3 + 4x x2 = ( x2 4x + 3) + (4x x2) 2 Tính chất 2 x 4x 3 0 0 x 1  . 2 3 x 4 4x x 0 Vậy, nghiệm của phương trỡnh là [0; 1]  [3; 4]. Cỏch 2: Viết lại phương trỡnh dưới dạng: x2 4x + 3 + x2 4x = ( x2 4x + 3) ( x2 4x) x 3 2 Tính chất 3 x 4x 3 0 0 x 1  x 1 . 2 3 x 4 x 4x 0 0 x 4 Vậy, nghiệm của phương trỡnh là [0; 1]  [3; 4]. Dạng toỏn 3: Bất phương trỡnh chứa GTTĐ g(x) 0 f (x) g(x) Loại 1: f (x) g(x) Hoặc g(x) 0 . f (x) g(x) 2 2 f (x) g (x) f (x) 0 g(x) 0 g(x) 0 f (x) g(x) Loại 2: f (x) g(x) Hoặc 2 2 f (x) g (x) g(x) f (x) g(x) f (x) 0 f (x) g(x) Bài 3. : Giải cỏc bất phương trỡnh sau : b) x 5 x2 + 7x 9 0. a) x- 3 > 2x + 4 4
5. | x2 4x | 3 b) 1. Bài 3.1: Giải cỏc bất phương trỡnh sau: x2 | x 5 | | x 2 | a. 3. x2 5x 6 b) x2 4x + 2 3 0. | x 2 4x 2 | 2 Dạng 4: Phương trỡnh , bất phương trỡnh vụ tỷ Phương phỏp 1: Nõng luỹ thừa B 0 A 0 (hay B 0)    A B 2 A B A B A B  A B A B2 .  3 A B A B3 . 2 Bài 4: Giải phương cỏc trỡnh sau: b. x 1 = 1 x a. 5x 6 = x 6. 5
6. Bài 4.1: Giải phương cỏc trỡnh sau: b. x 4 1 x = 1 2x . a. 3 x x 2 1. Phương phỏp 2: Sử dụng ẩn phụ Bai 4.2: Giải phương cỏc trỡnh sau: b). (x + 5)(2 x) = 3 x2 3x . a) x 2 + x 2 + 11 = 31  Giải a) Đặt t = x 2 + 11, t ³ 0. Khi đú phương trỡnh đó cho trở thành: ột = 6 t 2 + t - 42 = 0 Û ờ ờt = - 7 ởờ Vỡ t ³ 0 ị t = 6, thay vào ta cú x 2 + 11 = 6 x 2 + 11 = 36 Û x = ± 5 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x = ± 5 2 2 x 3x 3 + x 3x 6 = 3. 2 c) d) ( 3x 2 + x 1 ) = 4x 9 + 2 3x 5x 2 . 6
7. 1 1 e) 3 x + 8 = 9x + + x x Bài 4.3: Giải bất phương trỡnh: b) (x 1) 2x 1 3(x 1) a) (x + 1)(x + 3) x2 4x 5 . Phương phỏp 3: Đặt ẩn phụ khụng hoàn toàn Bài 4.4: Giải phương trỡnh b) 60 - 24x - 5x 2 = x 2 + 5x - 10 a) 3 x + 3 = 3x 2 + 4x - 1 Lời giải ĐKXĐ: x ³ - 3 Phương trỡnh Û - 27(x + 3)- 3 x + 3 + 3x 2 + 31x + 80 = 0 Đặt t = x + 3 (t ³ 0) phương trỡnh trở thành - 27t 2 - 3t + 3x 2 + 31x + 80 = 0 2 Cú D t = (18x + 93) suy ra - 3x - 16 x + 5 t = ,t = 1 9 2 3 - 3x - 16 ã x + 3 = Vụ nghiệm 9 - 3x - 16 vỡ với x ³ - 3 thỡ < 0 9 x + 5 ã x + 3 = Û x 2 + x - 2 = 0 Û x = 1 hoặc 3 x = - 2 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x = 1 và x = - 2 7
8. c) x + 3 4 - x 12 + x = 28 - x ( ) ( )( ) Bài 4.5: Giải cỏc bất phương trỡnh sau: b) x2 1 2x x2 2x . a) x2 + 4x (x + 4) x2 2x 4 . Giải a)Đặt t = x2 2x 4 , bất phương trỡnh cú dạng f(x) = x2 (t 4)x 4t 0. (1) coi vế trỏi là một tam thức bậc hai theo x, ta cú = (t 4)2 + 16t = (t + 4)2 x 4 khi đú f(x) = 0 cú nghiệm x t Tức là (1) được biến đổi thành dạng (x + 4)(x t) 0 (x + 4)(x x2 2x 4 ) 0 x 4 0 x 4 2 2 x x 2x 4 0 x 2x 4 x x 4 0 x 4 2 2 x x 2x 4 0 x x 2x 4 0 x 4 x 0 x 2 . 2 2 0 x 2x 4 x x 4 x 4 Vậy bất ptrỡnh cú nghiệm là x ( ; 4]  [2; + ). Phương phỏp 4: Phõn tớch thành tớch bằng cỏch nhõn liờn hợp. Để trục căn thức ta nhõn với cỏc đại lượng liờn hợp; A B A B A B A B A B A B 2 2 3 A 3 B 3 A 3 A 3 B 3 B A B 3 3 A B 2 2 2 2 3 A 3 A 3 B 3 B 3 A 3 A 3 B 3 B Với A, B khụng đồng thời bằng khụng. 8
9. Bài 4.6: Giải cỏc phương trỡnh sau b) 3x 2 3 x 2 2 2(x - 1) a) = x + 20 2 (3 - 7 + 2x ) Lời giải tham khảo 7 7 2x 0 x a) ĐKXĐ: 2 3 7 2x x 1 Phương trỡnh 2 2 2(x - 1) (3 + 7 + 2x ) Û = x + 20 2 2 (3 - 7 + 2x ) (3 + 7 + 2x ) 2 x 1 2 10 2x 6 7 2x x 20 2 2x 2 10 2x 6 7 2x 2 x 20 7 2x 5 x 9 (thỏa món điều kiện) Vậy phương trỡnh cú ngjiệm x 9 c) (x + 3) 2x 2 + 1 = x 2 + x + 3 d) 33 x + x 2 + 8 = x 2 + 15 + 2 9
10. Phương phỏp 5: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trỡnh. Phương phỏp giải: Dạng 1: Khi gặp phương trỡnh cú chứa cỏc đại lượng a + f (x ), f (x ) và b - f (x ) (hoặc b + f (x ) ) thỡ ta đặt u = a + f (x ), v = b - f (x ) (hoặcv = b - f (x ) ) và đưa về hệ phương trỡnh ùỡ g(u;v) = c ùỡ g(u;v) = c ớù (hoặc ớù ). Giải hệ tỡm được u, v từ đú giải phương trỡnh ù u2 + v2 = a + b ù u2 - v2 = a - b ợù ợù u = a + f (x ) hoặc v = b ± f (x ) tỡm được x . Dạng 2: Khi gặp phương trỡnh cú thể đưa về dạng f n (x ) + b = a n af (x )- b ta đưa về hệ đối xứng loại 2 ùỡ tn + b = ay bằng cỏch đặt t = f (x ), y = n af (x )- b ta cú hệ ớù ù yn + b = at ợù Bài 4.7: Giải cỏc phương trỡnh sau b) 3 2(x - 2) + 4 4(x + 2) = 2. a) 3 20 + x + 16 - x = 6 Lời giải a) ĐKXĐ: x Ê 16. ùỡ 3 ù u = 20 + x 3 Đặt ớù suy ra u Ê 36, v ³ 0 và ù v = 16 - x ợù u3 + v2 = 36 Khi đú phương trỡnh trở thành u + v = 6 Ta cú hệ phương trỡnh ùỡ u + v = 6 ùỡ v = 6 - u ớù Û ớù ù u3 + v2 = 36 ù u3 + (6 - u)2 = 36 ợù ợù ùỡ v = 6 - u Û ớù ù u(u2 + u - 12) = 0 (*) ợù ộu = 0 ờ ờ 3 Phương trỡnh (*) Û ờu = 3 thỏa món u Ê 36 . ờu = - 4 ởờ Với u = 0 ị 0 = 3 20 + x Û x = - 20 , u = 3 ị 3 = 3 20 + x Û x = 7và u = - 4 ị - 4 = 3 20 + x Û x = - 84 Vậy phương trỡnh đó cho cú ba nghiệm: x = - 20;x = - 84;x = 7. 2 c) x - x + 1 = 1- 8x 2 2 3 d) x + 3x + 3 = 23 + x 2 x 3 10