Bài tập tự luận môn Đại số Khối 10 - Chương 6 - Bài 2: Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập tự luận môn Đại số Khối 10 - Chương 6 - Bài 2: Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác (Kèm đáp án)

1. Toỏn tự luận GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Đ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GểC (CUNG) LƯỢNG GIÁC A. TểM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG 1. Định nghĩa é é Trờn đường trũn lượng giỏc cho cung AM cú sđ AM . Tung độ y OK của điểm M gọi là sin của và kớ hiệu là sin . sin OK. Hoành độ x OH của điểm M gọi là cụsin của và kớ hiệu là cos . cos OH. sin Nếu cos 0, tỉ số gọi là tang của và kớ cos hiệu là tan (người ta cũn dựng kớ hiệu tg ). sin tan . cos cos Nếu sin 0, tỉ số gọi là cụtang của và sin Cỏc giỏ trị sin , cos , tan , cot được gọi là cỏc kớ hiệu là cot (người ta cũn dựng kớ hiệu cotg ): cos giỏ trị lượng giỏc của cung . cot . sin Ta cũng gọi trục tung là trục sin, cũn trục hoành là trục cụsin 2. Hệ quả 1) sin và cos xỏc định với mọi R Hơn nữa, ta cú sin k2 sin , k R; cos k2 cos , k R. 2) Vỡ 1 OK 1; 1 OH 1 nờn ta cú 1 sin 1 1 cos 1. 3) Với mọi m R mà 1 m 1 đều tồn tại và  sao cho sin m và cos  m. 4) tan xỏc định với mọi k k Z . 2 5) cot xỏc định với mọi k k  . é 6) Dấu của cỏc giỏ trị lượng giỏc của gúc phụ thuộc vào vị trớ điểm cuối của cung AM trờn đường trũn lượng giỏc. Bảng xỏc định dấu của cỏc giỏ trị lượng giỏc Gúc phần tư I II III IV Giỏ trị lượng giỏc Trang -1-
2. Toỏn tự luận GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG cos sin tan cot Mẹo ghi nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos” 3. Giỏ trị lượng giỏc của cỏc cung đặc biệt 2 3 3 0 6 4 3 2 3 4 2 2 Gúc 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 1 sin 2 3 3 2 0 2 2 2 1 2 2 0 –1 0 cos 3 2 1 2 1 0 .. - –1 0 1 2 2 2 2 3 tan a 0 1 || –1 0 || 0 3 3 - 3 3 3 cot a || 1 0 - –1 || 0 || 3 3 3 II – í NGHĨA HèNH HỌC CỦA TANG VÀ CễTANG 1. í nghĩa hỡnh học của tan Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường trũn lượng giỏc. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cỏch chọn gốc tại A . Gọi T là giao điểm của OM với trục t ' At.  tan được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT trờn trục t 'At. Viết: tan AT Trục t 'At được gọi là trục tang. Trang -2-
3. Toỏn tự luận GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG y t M a A x O T t' 2. í nghĩa hỡnh học của cot Từ B vẽ tiếp tuyến s 'Bs với đường trũn lượng giỏc. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cỏch chọn gốc tại B . Gọi S là giao điểm của OM với trục s 'Bs  cot được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ BS trờn trục s 'Bs . Viết: cot BS Trục s 'Bs được gọi là trục cụtang. y s' B S s M a x O tan k tan , k  ; Nhận xột: cot k cot , k  . III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 1. Cụng thức lượng giỏc cơ bản Đối với cỏc giỏ trị lượng giỏc, ta cú cỏc hằng đẳng thức sau sin cos tan , k , k  cot , k , k  cos 2 sin k sin2 cos2 1 tan .cot 1, , k  2 1 1 1 tan2 , k , k  1 cot2 , k , k  cos2 2 sin2 2. Giỏ trị lượng giỏc của cỏc cung cú liờn quan đặc biệt Gúc phụ nhau( và ) Gúc đối nhau ( và ) Gúc bự nhau( và ) 2 cos( ) cos sin( ) sin sin cos 2 sin( ) sin cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan( ) tan tan cot 2 Trang -3-
4. Toỏn tự luận GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG cot( ) cot cot( ) cot cot tan 2 Gúc hơn kộm ( và ) Gúc hơn kộm ( và ) 2 2 sin( ) sin sin cos 2 cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot tan 2 Chỳ ý: Để nhớ nhanh cỏc cụng thức trờn ta nhớ cõu: " cos - đối, sin – bự, phụ - chộo, hơn kộm tang cụtang, hơn kộm chộo sin". Với nguyờn tắc nhắc đến giỏ trị nào thỡ nú bằng cũn khụng nhắc thỡ đối. 2 II. CÁC DẠNG TOÁN  DẠNG TOÁN 1: XẫT DẤU GểC(CUNG) LƯỢNG GIÁC. 1. Phương phỏp giải : Dấu của cỏc giỏ trị lượng giỏc của gúc phụ thuộc vào vị trớ điểm cuối (điểm ngọn) của é cung AM trờn đường trũn lượng giỏc. Vỡ thế cần xỏc định vị trớ điểm M trờn đường trũn lượng giỏc rồi sử dụng bảng xột dấu cỏc giỏ trị lượng giỏc. VÍ DỤ MINH HỌA. Xỏc định dấu của cỏc biểu thức sau: a) sin1560 Lưu ý Lời giải tham khảo Do 00 1560 1800 nờn sin1560 0 . b) sin với . 2 2 Lời giải tham khảo 3 Ta cú sin 0 2 2 2 2 Bài tập : Xỏc định dấu của cỏc biểu thức sau: 1.1. cos 800 3 1.2. tan ................................................................................................................................... 2 ........................................................................................................................................... ................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ................................................................................................................................... Trang -4-
5. Toỏn tự luận GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG ................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................ ........................................................................................................................................... 14 1.3. cos .tan sin .cot 2 1.4. 9 ................................................................................................................................ ........................................................................................................................................... ................................................................................................................................ ........................................................................................................................................... ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ ........................................................................................................................................... ................................................................................................................................ ........................................................................................................................................... DẠNG TOÁN 2 : RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Phương phỏp giải. Sử dụng định nghĩa giỏ trị lượng giỏc Sử dụng cỏc hệ thức lượng giỏc cơ bản và giỏ trị lượng giỏc của gúc liờn quan đặc biệt VÍ DỤ MINH HỌA Bài 1. Rỳt gọn biểu thức sau: Lưu ý a) P cos(900 - x).sin(x 1800 ) sin(4500 x).cos(1800 x). Lời giải tham khảo P cos(900 - x).sin(x -1800 ) sin(4500 - x).cos(1800 x). -sin x.sin(1800 - x) -sin(900 - x).cos x = -sin x.sin x - cos x.cos x = - (sin2 x cos2 x) 1 1 sin2 x.cos2 x b) cos2 x (x k ,k Z) cos2 x 2 Lời giải tham khảo 1 sin2 x.cos2 x 1 cos2 x sin2 x cos2 x 1 tan2 x 1 tan2 x cos2 x cos2 x Bài tập : Rỳt gọn biểu thức sau: 7p 5p 7p 2.2. B sin2 25 sin2 45 sin2 60 sin2 65 2.1.A = sin + cos9p + tan(- ) + cot 6 4 2 ................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... ................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... ................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... ................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................ ............................................................................................................................................... Trang -5-
6. Toỏn tự luận GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG 1 cos 1 p 3p 5p 2.3.C 2.4.D = tan2 .tan .tan sin2 1 cos 8 8 8 ....................................................................................................................................... ................................................................................................................................. ....................................................................................................................................... ................................................................................................................................. ....................................................................................................................................... ................................................................................................................................. ....................................................................................................................................... ................................................................................................................................. ....................................................................................................................................... ................................................................................................................................. ....................................................................................................................................... ................................................................................................................... 2.6. A 1– sin2 x .cot2 x 1– cot2 x , 2.5. A cos sin , ta được: 2 ................................................................................................................................ .............................................................................................................................................. ................................................................................................................................ .............................................................................................................................................. ................................................................................................................................ .............................................................................................................................................. ................................................................................................................................ .............................................................................................................................................. ................................................................................................................................ .............................................................................................................................................. ................................................................................................................  DẠNG TOÁN 3 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THƯC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GTLG. PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng định nghĩa giỏ trị lượng giỏc Sử dụng tớnh chất và bảng giỏ trị lượng giỏc đặc biệt Sử dụng cỏc hệ thức lượng giỏc cơ bản VÍ DỤ MINH HỌA : 1 1. Tớnh cỏc giỏ trị lượng giỏc cũn lại của gúc , biết sin và 900 1800 Lưu ý 3 Lời giải tham khảo Vỡ 900 < a < 1800 nờn cosa < 0 . 1 2 2 Ta cú sin2 a + cos2 a = 1 suy ra cosa = - 1- sin2 a = - 1- = - . 9 3 sina 1 cosa Do đú tana = = - và cota = = - 2 2 . cosa 2 2 sina 2 3 2. Cho cos150 . Tớnh giỏ trị của tan15 2 Lời giải tham khảo Trang -6-
7. Toỏn tự luận GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG 1 4 2 tan2 150 1 1 2 3 0 2 0 tan15 2 3 . cos 15 2 3 1 3 3. Cho cos . Tớnh sin 3 2 Lời giải tham khảo 3 1 Ta cú sin sin 2 sin cos . 2 2 2 3 Bài tập : 3.1.Tớnh cỏc giỏ trị lượng giỏc cũn lại của gúc , biết 3.2.Tớnh cỏc giỏ trị lượng giỏc cũn lại của gúc , 2 3p biết tan 2 và 2 . cos và p < a < . 3 2 ............................................................................................................................ .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................ .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................ .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................ .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................ .............................................................................................................................................. ............................................................................................................................ .............................................................................................................................................. ........................................................................................................................... 3.3.Cho gúc thỏa món tan 2 và 180o 270o. 3.4.Cho cot 3 2 với . Tớnh giỏ trị 2 Tớnh P cos sin . tan cot . 2 2 ....................................................................................................................................... ................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ................................................................................................................................. .................................................................................................................................  DẠNG TOÁN 4 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THƯC LƯỢNG GIÁC THEO GTLG ĐƠN GIẢN HƠN. PHƯƠNG PHÁP : Từ hệ thức lượng giỏc cơ bản là mối liờn hệ giữa hai giỏ trị lượng giỏc, khi biết một giỏ trị lượng giỏc ta sẽ suy ra được giỏ trị cũn lại. Cần lưu ý tới dấu của giỏ trị lượng giỏc để chọn cho phự hợp. Trang -7-
8. Toỏn tự luận GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Sử dụng cỏc hằng đẳng thức đỏng nhớ trong đại số. VÍ DỤ MINH HỌA : 2 tan a + 3cot a 1. Cho cosa = . Tớnh giỏ trị của biểu thức A = . Lưu ý 3 tan a + cot a Lời giải tham khảo Ta cú 1 1 tan a + 3 + 2 tan2 a + 3 2 A = tan a = = cos a = 1 + 2cos2 a 1 tan2 a + 1 1 tan a + tan a cos2 a 4 17 Suy ra A = 1 + 2. = 9 9 2. Cho tan a = 3. Tớnh giỏ trị của biểu thức sin a - cosa B = sin3 a + 3cos3 a + 2sin a Lời giải tham khảo sin a cosa - 2 2 3 3 tan a (tan a + 1)- (tan a + 1) B = cos a cos a = sin3 a 3cos3 a 2sin a tan3 a + 3 + 2tan a tan2 a + 1 + + ( ) cos3 a cos3 a cos3 a 3(9 + 1)- (9 + 1) 2 Suy ra B = = 27 + 3 + 2.3(9 + 1) 9 BÀI TẬP : 3 4.1.Cho sin và 900 1800 . Tớnh giỏ trị 4.2.C 5 p ổ pử cot 2 tan Cho gúc a thỏa món < a < 2p và tanỗa+ ữ= 1 . Tớnh của biểu thức C 2 ốỗ 4ứữ tan 3cot ổ pử P= cosỗa - ữ+ sin a . ốỗ 6ứữ ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ..................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ..................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ..................................................................................................................... ........................................................................ ................................................................................................................ Trang -8-
9. Toỏn tự luận GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG 5 1 4.3. Cho gúc a thỏa món sin a + cosa = . Tớnh 4.4.Cho 3sin4 a - cos4 a = . Tớnh 4 2 P = sin a.cosa. A = 2sin4 a - cos4 a . ................................................................................................................................ ............................................................................................................................................... ................................................................................................................................ ............................................................................................................................................... ................................................................................................................................ ............................................................................................................................................... ................................................................................................................................ ............................................................................................................................................... ................................................................................................................................ ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................... .............................................................................................................................................  DẠNG TOÁN 5 : TèM GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG PHÁP : 1 sin 1 Sử dụng hệ quả . 1 cos 1. VÍ DỤ MINH HỌA : 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của biểu thức: A 4 3cos x Lưu ý Lời giải tham khảo Ta cú: 1 cos x 1 3 3cos x 3 1 4 3cos x 7 Kết luận: max A 7 , min A 1 2. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của biểu thức: B sin( 2x ) với x ; 4 4 4 Lời giải tham khảo 3 Ta cú: x 2x 2x 4 4 2 4 4 2 4 4 4 4 2 2 3 1 sin( 2x ) y 1 ,( 2x ) ; 4 2 2 4 4 4 2 Kết luận: max y 1 , min y 2 x ; x ; 4 4 4 4 BÀI TẬP : 5.1.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của biểu 5.2. T thức: C 4cos2 x cos x 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của biểu thức: .................................................................................................................................... Trang -9-
10. Toỏn tự luận GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG .................................................................................................................................... 3 D cot( x )với x ; .................................................................................................................................... 4 4 2 .................................................................................................................................... ................................................................................................................................ .................................................................................................................................... ................................................................................................................................ .................................................................................................................................... ................................................................................................................................ .................................................................................................................................... ................................................................................................................................ .................................................................................................................................... ................................................................................................................................ .................................................................................................................................... ................................................................................................................................ ..................................................................................................... .................................................................................................  DẠNG TOÁN 6 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, BIẾN ĐỔI HỆ THỨC CƠ BẢN Phương phỏp giải. Sử dụng cỏc hệ thức lượng giỏc cơ bản, cỏc hằng đẳng thức đỏng nhớ và sử dụng tớnh chất của giỏ trị lượng giỏc để biến đổi + Khi chứng minh một đẳng thức ta cú thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cựng bằng một đại lượng khỏc. + Chứng minh biểu thức khụng phụ thuộc gúc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất hiện nhõn tử chung ở tử và mẫu để rỳt gọn hoặc làm xuất hiện cỏc hạng tử trỏi dấu để rỳt gọn cho nhau. VÍ DỤ MINH HỌA : Chứng minh cỏc đ ẳng thức sau 1. cos4 sin4 2cos2 1 Lưu ý Lời giải tham khảo Ta cú cos4 sin4 (cos2 sin2 )(cos2 sin2 ) cos2 sin2 cos2 (1 cos2 ) 2cos2 1 2 1 2 . 1 cot4 sin2 sin4 Lời giải tham khảo ổ 2 a ử 4 2 2 1 ỗ cos ữ 1- cot a = (1+ cot a)(1- cot a)= ỗ1- ữ sin2 a ốỗ sin2 a ứữ Ta cú ộ 2 a - - 2 a ự 1 ờsin (1 sin )ỳ = ờ ỳ 2 ờ 2 ỳ sin a ờ sin a ỳ ở ỷ 2sin2 a - 1 2 1 = = - . sin4 a sin2 a sin4 a Trang -10-