Bài tập trắc nghiệm môn Đại số Lớp 10 - Chương 4 - Bài 1: Bất đẳng thức - Bùi Thị Vân Anh (Kèm đáp án)
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập trắc nghiệm môn Đại số Lớp 10 - Chương 4 - Bài 1: Bất đẳng thức - Bùi Thị Vân Anh (Kèm đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
bai_tap_trac_nghiem_mon_toan_lop_10_chuong_4_bai_1_bat_dang.docx
SOAN BDT-GV.docx
Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm môn Đại số Lớp 10 - Chương 4 - Bài 1: Bất đẳng thức - Bùi Thị Vân Anh (Kèm đáp án)
- BÙI THỊ VÂN ANH - NV 41-BẤT ĐẲNG THỨC – TỰ LUẬN - HS BÀI 1: BẤT ĐẲNG THỨC 4.1.1 CÁC CÂU HỎI CHƯA PHÂN DẠNG – DÙNG ĐỊNH NGHĨA Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A ³ B ta cú thể sử dụng cỏc cỏch sau: • Ta đi chứng minh A - B ³ 0. Để chứng minh nú ta thường sử dụng cỏc hằng đẳng thức để phõn tớch A - B thành tổng hoặc tớch của những biểu thức khụng õm. • Xuất phỏt từ BĐT đỳng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh. Cõu 1: Cho cỏc số thực a,b,c . Chứng minh rằng Lưu ý: a2 + b2 cỏc bất đẳng thức sau: ab Ê 2 Lời giải tham khảo: a2 + b2 - 2ab = (a - b)2 ³ 0 Ta cú ị a2 + b2 ³ 2ab Đẳng thức Û a = b . 2 2 ổa + bử 1.2) 3 a2 b2 c2 a b c 1.1) ab Ê ỗ ữ ốỗ 2 ứữ 2 1.3) a b c 3 ab bc ca 1.4) Cho năm số thực a,b,c,d,e. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b + c + d + e) 1 1 2 Lưu ý: Cõu 2: Cho ab ³ 1. Chứng minh rằng : + ³ a2 + 1 b2 + 1 1 + ab Lời giải tham khảo: Ta cú
- 1 1 2 1 1 1 2 + - = ( - ) + ( - ) a2 + 1 b2 + 1 1 + ab a2 + 1 1 + ab b2 + 1 1 + ab ab - a2 ab - b2 a - b b a = + = ( - ) (a2 + 1)(1 + ab) (b2 + 1)(1 + ab) 1 + ab 1 + b2 1 + a2 a - b b - a + a2b - b2a = . 1 + ab (1 + b2)(1 + a2) a - b (a - b)(ab - 1) (a - b)2(ab - 1) = = ³ 0 (Do ab ³ 1) . 1 + ab (1 + b2)(1 + a2) (1 + ab)(1 + b2)(1 + a2) Cõu 3: Cho số thực x . Chứng minh rằng :x 4 + 3 ³ 4x Lưu ý: Lời giải tham khảo: Bất đẳng thức tương đương với x 4 - 4x + 3 ³ 0 2 x 1 x3 x2 x 3 0 x 1 x2 2x 3 0 2 2 x 1 x 1 1 0 (đỳng với mọi số thực x ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1. 3.1) x4 5 x2 4x 3.2) x12 x4 1 x9 x Cõu 4: Cho a,b là cỏc số thực. Chứng minh rằng: Lưu ý: a4 + b4 - 4ab + 2 ³ 0 Lời giải tham khảo: BĐT tương đương với (a4 + b4 - 2a2b2 ) + (2a2b2 - 4ab + 2) ³ 0 2 2 Û (a2 - b2 ) + 2(ab - 1) ³ 0 (đỳng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = ± 1. 2 2 4.1) 2(a4 + 1) + (b2 + 1) ³ 2(ab + 1)
- 4.2) 3(a2 + b2 )- ab + 4 ³ 2(a b2 + 1 + b a2 + 1) Cõu 5: Cho hai số thực x, y thỏa món x ³ y . Chứng minh rằng: Lưu ý: 3 4(x 3 - y 3 ) ³ (x - y ) Lời giải tham khảo: 3 Bất đẳng thức tương đương 4(x - y )(x 2 + xy + y2 )- (x - y ) ³ 0 ộ 2 2 2 ự Û (x - y )ờ4(x + xy + y )- (x - y ) ỳ³ 0 ở ỷ ộ 2 2 ự Û (x - y )ở3x + 3xy + y ỷ³ 0 ộ 2 2 ự ờổ y ử 3y ỳ Û 3(x - y ) ỗx + ữ + ³ 0 (đỳng với x ³ y ) ĐPCM. ờốỗ 2ứữ 4 ỳ ởờ ỷỳ 5.1) x 3 - 3x + 4 ³ y 3 - 3y 4.1.2 CÂU HỎI Lí THUYẾT Cỏc tớnh chất cơ bản của bất đẳng thức: * a > b và b > c ị a > c * a > b Û a + c > b + c * a > b và c > d ị a + c > b + d * Nếu c > 0 thỡ a > b Û ac > bc ; Nếu c b Û ac < bc * a > b ³ 0 ị a > b
- * a ³ b ³ 0 Û a2 ³ b2 *a > b ³ 0 ị an > bn * Chỳ ý hai mệnh đề sau thường dựng ộ ự 1)a ẻ ởa;b ỷị (a - a )(a - b ) Ê 0 (* ) ộ ự 2)a,b,c ẻ ởa;b ỷị (a - a )(b - a )(c - a ) + (b - a)(b - b)(b - c) ³ 0(* * ) Cõu 1: Cho hai số thực x, y thỏa món x ³ y . Lưu ý: Ở trong bài toỏn trờn ta đó xuất phỏt từ 3 Chứng minh rằng: 4(x 3 - y 3 ) ³ (x - y ) BĐT đỳng đú là tớnh chất về độ dài ba cạnh của tam giỏc. Sau đú vỡ cần xuất Lời giải tham khảo: hiện bỡnh phương nờn ta nhõn hai vế Vỡ a,b,c là độ dài ba cạnh tam giỏc nờn ta cú : của BĐT với c. a + b > c ị ac + bc > c2 . Ngoài ra nếu xuất phỏt từ BĐT Tương tự :bc + ba > b2; ca + cb > c2 | a - b |< c rồi bỡnh phương hai vế ta Cộng ba BĐT này lại với nhau ta cú đpcm cũng cú được kết quả. Cõu 2: Cho a,b,c ẻ [0;1]. Chứng minh : Lưu ý: 2 2 2 2 2 2 Ta cú thể dựng chứng minh tương đương: a + b + c Ê 1 + a b + b c + c a BĐT cần chứng minh tương đương với Lời giải tham khảo: a2 1- b + b2 1- c + c2 1- a Ê 1 Vỡ a,b,c ẻ [0;1] ( ) ( ) ( ) ộ ự ị (1- a2)(1- b2)(1- c2) ³ 0 Mà a,b,c ẻ ở0;1ỷ 2 2 2 Û 1 + a2b2 + b2c2 + c2a2 - a2b2c2 ³ a2 + b2 + c2 (*) ị a Ê a,b Ê b,c Ê c do đú 2 2 2 a (1- b) + b (1- c) + c (1- a) Ta cú : a2b2c2 ³ 0; Ê a(1- b) + b(1- c) + c(1- a) a2b2 + b2c2 + c2a2 Ê a2b + b2c + c2a nờn từ (*) ta suy Ta chỉ cần chứng minh ra a(1- b) + b(1- c) + c(1- a) Ê 1 a2 + b2 + c2 Ê 1 + a2b2 + b2c2 + c2a2 ộ ự Thật vậy: vỡ a,b,c ẻ ở0;1ỷ nờn theo nhận 2 2 2 đpcm. Ê 1 + a b + b c + c a xột (* * ) ta cú abc + (1- a)(1- b)(1- c) ³ 0 Û a + b + c - (ab + bc + ca) Ê 1 Û a(1- b) + b(1- c) + c(1- a) Ê 1 vậy BĐT ban đầu được chứng minh 4.1.3 BÀI TẬP ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
- a b Định lý: Với hai số khụng õm a, b, ta cú: ab (thường được viết a + b 2 ab ), 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Mở rộng a b c 1. Với cỏc số a, b, c khụng õm, ta luụn cú: 3 abc 3 thường được viết: a + b + c 3 3 abc hoặc (a + b + c)3 27abc. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 2. Với n số ai, i = 1, n khụng õm, ta luụn cú: a a ... a n a .a ....a . 1 2n n 12 n nsố hạng nsố hạng dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an. Một số chỳ ý khi sử dụng bất đẳng thức cụsi: * Khi ỏp dụng bđt cụsi thỡ cỏc số phải là những số khụng õm * BĐT cụsi thường được ỏp dụng khi trong BĐT cần chứng minh cú tổng và tớch * Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là cỏc số bằng nhau 2 2 Lưu ý: Cõu 1: Cho a,b là số dương thỏa món a + b = 2 . ổa b ửổa b ử Chứng minh:ỗ + ữỗ + ữ³ 4 ốỗb a ứữốỗb2 a2 ứữ Lời giải tham khảo: Áp dụng BĐT cụsi ta cú a b a b a b a b 2 + ³ 2 . = 2, + ³ 2 . = b a b a b2 a2 b2 a2 ab ổa b ửổa b ử 4 Suy ra ỗ + ữỗ + ữ³ (1) ỗ ữỗ 2 2 ữ ốỗb a ứữốỗb a ứữ ab Mặt khỏc ta cú 2 = a2 + b2 ³ 2 a2b2 = 2ab ị ab Ê 1 (1) ổa b ửổa b ử Từ (1) và (2) suy ra ỗ + ữỗ + ữ³ 4 ĐPCM. ốỗb a ứữốỗb2 a2 ứữ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. 5 1.1) (a + b) ³ 16ab (1 + a2 )(1 + b2 ) ổ 1ửổ 1ửổ 1ử Lưu ý: Cõu 2: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng: ỗa + ữỗb + ữỗc + ữ³ 8 ốỗ bứữốỗ c ứữốỗ a ứữ
- Lời giải tham khảo: 1 a 1 b 1 c Áp dụng BĐT cụsi ta cú:a + ³ 2 , b + ³ 2 , c + ³ 2 b b c c a a ổ 1ửổ 1ửổ 1ử a b c Suy ra ỗa + ữỗb + ữỗc + ữ³ 8 . . = 8 ĐPCM. ốỗ bứữốỗ c ứữốỗ a ứữ b c a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . 2.1) a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) ³ 6abc 3 2.2) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ³ (1 + 3 abc ) 2.3) a2 bc + b2 ac + c2 ab Ê a3 + b3 + c3 Cõu 3: Cho a,b,c là số dương thỏa món a2 + b2 + c2 = 3 . Lưu ý: Chứng minh rằng: a2b + b2c + c2a Ê 3 Lời giải tham khảo: 2 Ta cú (a2 + b2 + c2 ) = 9 Û a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2b2 = 9 (1) Áp dụng BĐT cụsi ta cú a4 + b4 ³ 2a2b2, b4 + c4 ³ 2b2c2, c4 + a4 ³ 2c2a2 Cộng vế với vế lại ta được a4 + b4 + c4 ³ a2b2 + b2c2 + c2a2 (2) Từ (1) và (2) ta cú a2b2 + b2c2 + c2a2 Ê 3 (3) Áp dụng BĐT cụsi ta cú a2 + a2b2 ³ 2 a2.a2b2 = 2a2b , tương tự ta cú b2 + b2c2 ³ 2b2c, c2 + c2a2 ³ 2c2a Cộng vế với vế ta được a2 + b2 + c2 + a2b2 + b2c2 + c2a2 ³ 2(a2b + b2c + c2a) (4) Từ giả thiết và (3), (4) suy ra a2b + b2c + c2a Ê 3 ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
- ab bc ca 3 3.1) + + Ê 3 + c2 3 + a2 3 + b2 4 4.1.4 BÀI TẬP ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARS (BUNHIACOPXKI) 2 2 2 2 2 Định lớ: Cho a1, a2, b1, b2 là những số thực, ta cú: (a1b1 + a2b2) ( a1 + a2 )( b1 + b 2 ) a a Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 = 2 . b1 b2 Mở rộng 2 2 2 2 2 2 2 1) Với cỏc số thực a1, a2, a3, b1, b2, b3, ta luụn cú:(a1b1 + a2b2 + a3b3) ( a1 + a2 + a3 )( b1 + b2 + b3 ), a a a Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 = 2 = 3 . b1 b2 b3 2 n n n 2 2 2) Với hai bộ n số ai, bi, i = 1,n , ta luụn cú aibi ai . bi , i 1 i 1 i 1 a a a Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 = 2 = ... = n . b1 b2 bn 2 2 2 2 a1 a2 ... an a1 a2 ... an 3) Với a1, a2, ..., an là n số tuỳ ý, ta luụn cú: . n n Cõu 1: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luụn cú Lưu ý: (x3 y3 )2 x2 y2 x4 y4 Lời giải tham khảo: VT = (x3 + y3)2 = (x.x2 + y.y2)2 (x2 + y2)(x4 + y4), đpcm. x y 1 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi: = = x = y. x 2 y 2 x y 5 Lưu ý: Cõu 2: Chứng minh rằng nếu x + 3y = 2 thỡ x2 + y2 . 2 Lời giải tham khảo: 2 5 Ta cú: 22 = (x + 3y) 2 (1 + 33)(x2 + y2) = 10(x2 + y2) x2 + y2 = , 10 2 x 3y 2 1 3 dấu "=" xảy ra khi x y x = và y = . 5 5 1 3
- 49 2.1) Nếu 2x + 3y = 7 thỡ 2x2 + 3y2 5 Cõu 3: Cho cỏc số khụng õm x, y thoả món Lưu ý: x3 y3 2 . Chứng minh rằng: x2 y2 2 Lời giải tham khảo: ỏp dụng bất đẳng thức Bunhiacụpxki ta cú: 2 3 3 2 x2 y2 x. x y. y x y x3 y3 2 x y (x2 + y2) 4 4(x + y)2 = 4(1.x + 1.y)2 4(1 + 1)(x2 + y2) = 8(x2 + y2) (x2 + y2)3 8 x2 + y2 2, đpcm. x y | x | | y | Dấu "=" xảy ra khi: x3 y3 x = y = 1. x3 y3 2 3 3 x y 2 4.1.5 BÀI TẬP ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC VECTƠ 4.1.6 BÀI TẬP ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRỊ TUYỆT ĐỐI Cỏc tớnh chất của bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối 1. a a a với mọi số thực a. 2.x a a x a với a 0 (tương tự x 0). 3.x a x a hoặc x a với a 0 (tương tự x > a x a với a > 0). 4. a b a b a b 4.1.7 BÀI TẬP SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 4.1.8 BÀI TẬP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Phương phỏp giải.
- Điều quan trọng dạng toỏn này là cần phỏt hiện ra được bất đẳng thức phụ. Bất đẳng thức phụ cú thể là những BĐT cơ bản đó cú hoặc là chỳng ta từ đặc điểm của BĐT cần chứng minh chỳng ta dự đoỏn và đưa ra BĐT phụ từ đú vận dụng vào bài toỏn. Cõu 1: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng: Lưu ý: a b c a + b + c + + ³ b3 c3 a3 abc Lời giải tham khảo: Trước tiờn ta chứng minha3 + b3 ³ a2b + b2a . BĐT tương đương vớia3 + b3 - a2b - b2a ³ 0 Û a2(a - b) + b2(b - a) ³ 0 Û (a - b)2(a + b) ³ 0 (đỳng với mọi a > 0,b > 0 ) ị a3 + b3 ³ a2b + b2a . Đẳng thức xảy ra khi a = b. a 1 1 1 Ta cú a3 + b3 ³ a2b + b2a Û + ³ + b3 a2 b2 ab b 1 1 1 c 1 1 1 Hoàn toàn tương tự ta cú + ³ + , + ³ + c3 b2 c2 bc a3 c2 a2 ac a b c 1 1 1 Cộng vế với vế rỳt gọn ta được + + ³ + + b3 c3 a3 a b c a b c a + b + c Hay + + ³ , đẳng thức xảy ra khi a = b = c . b3 c3 a3 abc 1 1 1 1 1.1) + + Ê a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc 2 Cõu 2: Cho a,b là cỏc số thực. Chứng minh rằng: 3(a + b + 1) + 1 ³ 3ab . Lưu ý: Lời giải tham khảo: 2 ổa + bử Áp dụng bất đẳng thức ab Ê ỗ ữ ốỗ 2 ứữ 3 nờn ta chứng minh 3(a + b + 1)2 + 1 ³ (a + b)2 (*) 4 Thật vậy : (*) Û 12(a + b)2 + 24(a + b) + 16 ³ 3(a + b)2 Û 9(a + b)2 + 24(a + b) + 16 ³ 0 Û (3a + 3b + 4)2 ³ 0 (đỳng) ĐPCM 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia = b = - . 3 6 2.1) 64a3b3(a2 + b2)2 Ê (a + b)
- Cõu 3 : Cho a, b, c dương thỏa món a + b + c = 3 . Chứng minh rằng Lưu a3 b3 c3 ý: + + ³ 3 bc ca ab Lời giải tham khảo: Áp dụng BĐT a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca này hai lần ta cú : a4 + b4 + c4 = (a2)2 + (b2)2 + (c2)2 ³ a2b2 + b2c2 + c2a2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 ³ ab.bc + bc.ca + ca.ab = abc(a + b + c) = 3abc (vỡa + b + c = 3 ) a4 + b4 + c4 a3 b3 c3 Suy ra ³ 3 hay + + ³ 3 ĐPCM. abc bc ca ab Đẳng thức xảy ra Û a = b = c 1 1 1 3.1) + + ³ a2 + b2 + c2 a2 b2 c2 4.1.9 TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC Lưu ý: Cõu 1: Tỡm giỏ trị lớn nhất của hàm số: 1 2 a. y = (2x + 1)(2 - 3x), với x [- ; ]. 2 3 Lời giải tham khảo: 1 2 Với x thỡ 2x + 1 0 và 2 - 3x 0, do đú sử dụng bất đẳng thức Cụsi ta 2 3 1 1 1 2 1 1 2 được:y = (2x + 1)(2 3x) = (x + ). ( x) = (x + )( - x) 2 2 3 3 6 2 3 2 1 2 (x ) ( x) 2 1 2 3 1 5 25 = . = . 6 2 6 12 864 25 1 2 1 Từ đú suy ra yMax = , đạt được khi:x + = x x = . 864 2 3 12 1.1) y = x(1 - x) 3, với 0 x 1.